艦艇管路抗沖擊分析的傳遞矩陣法

周維星，姚熊亮，傅曉軍，李世銘（中國艦船研究設計中心，武漢430064；哈爾濱工程大學，哈爾濱5000）

艦艇管路抗沖擊分析的傳遞矩陣法

周維星1，姚熊亮2，傅曉軍1，李世銘2
（1中國艦船研究設計中心，武漢430064；2哈爾濱工程大學，哈爾濱150001）

國內管路抗沖擊研究主要采用有限元法，求解的精度很大程度上取決于網格劃分的密度。文章將傳遞矩陣法應用到艦艇管路抗沖擊分析中，建立了含有支管的空間復雜管路的傳遞矩陣。提出了多支座激勵下管路系統加載方法，并利用所建立的傳遞矩陣對某艦船冷卻水管路的沖擊響應進行了數值求解。研究結果表明，傳遞矩陣法用于管路抗沖擊研究是可行的，具有求解自由度少，計算精度高的優點。

艦艇；管路系統；傳遞矩陣法；沖擊響應

1 引言

艦船在服役過程中，不可避免地將遭受導彈、水雷、魚雷等武器的攻擊。艦艇管路系統作為全船機電設備的重要組成部分，提供艦艇航行、戰斗和人員生活的水、汽、油等保障[1]。管路系統在沖擊載荷作用下的動態響應直接影響到艦船機電設備的可靠性和安全性。

目前，國內對艦艇管路系統進行抗沖擊研究時，多采用有限元法進行[2]，其計算精度很大程度上取決于所劃分網格的密度。相比有限元法，傳遞矩陣法采用微分方程的解析解建立計算矩陣，對于結構頻率的計算具有更高的精度，而且力學概念簡單，便于編程[3-4]。劉忠族等[5]曾采用傳遞矩陣法求解了具有內流的空間管路的振動特性，并通過與解析值對比證實了方法的可行性。本文將傳遞矩陣法進一步應用到艦艇管系沖擊響應研究中，建立了含有分支管的空間管路傳遞矩陣；同時，將源自多個支座的加速度沖擊激勵轉化為管路上的等效慣性載荷，結合模態疊加法數值求解了艦艇復雜管路系統的沖擊響應。本文的研究工作旨在提供一套專門用于艦艇管路抗沖擊研究的計算方法。

2 復雜管路傳遞矩陣的建立

2.1 空間直管段的場傳遞矩陣

選取Timoshenko梁作為管路計算模型，同時考慮管路的拉伸、扭轉和彎曲變形。首先，分別建立各方向振動的傳遞矩陣，再將各傳遞矩陣組合成考慮六個自由度變形的空間直管的整體傳遞矩陣。對于圖1所示的均勻直管，自由振動時控制微分方程為：

軸向振動：

圖1 典型空間管段兩端的狀態向量Fig.1 State vector of typical space pipe section

上述方程中，u，v，w分別為沿管段局部坐標x，y，z軸的位移，φx，φy，φz為相應各坐標軸的轉角。E和G分別為管壁材料楊氏模量和剪切模量，ρ為管壁材料密度，A為管路截面面積，I為管路橫截面的慣性矩，J為管路極慣性矩，k為剪切分布不均勻系數。

在求解微分方程前，首先統一各管段兩端的狀態向量的方向。規定管段兩端力和位移與坐標軸正向一致時為正，如圖1所示。圖中Nx，Qy，Qz分別為沿管段局部坐標軸方向的力，Mx，My，Mz為相應各坐標軸的力矩。

對于軸向振動，選取狀態向量為［u，Nx］T。通過分離變量，利用方程(1)可獲得場傳遞矩陣：

式中：

在得到軸向、扭轉及彎曲振動傳遞矩陣后，綜合各傳遞矩陣可建立空間管段的傳遞矩陣。令空間管段各截面位移列向量為δ，載荷列向量為f，即：

式中分別為圖1中局部坐標系下直管右端和左端的狀態向量。傳遞矩陣U為12×12階矩陣，由（5），（6），（7），（8）式中的各項，按對應位置填充到總體傳遞U中得到。

2.2 坐標變換矩陣

對于直管路，各管段在同一直線上，根據各方向上的力平衡可以很方便地求得節點處的點傳遞矩陣。而對于空間管路系統，因為各管段不在一條直線上，故在求解點傳遞矩陣時必須將各管段局部坐標系下的狀態向量經過坐標變換，統一到總體坐標系中。狀態向量在局部坐標與總體坐標之間的轉換關系為[6]：

2.3 典型連接位置的點傳遞矩陣

實際管路系統中除了直管段外通常還包括法蘭、閥門、彈性支吊架及彎頭等部件。本節根據節點的力的平衡條件建立了這些典型部件處的點傳遞矩陣。為便于生成管系總體傳遞矩陣，本節推導的各類型點傳遞矩陣均對應于總體坐標系。

圖2 法蘭、閥門位置的力平衡示意圖Fig.2 Force balance diagram at flange,valve section

法蘭、閥門可視為集中質量，其節點力平衡關系如圖2所示。為簡明起見，圖中僅給出了一個方向的力平衡關系，下文與之相同。管路自由振動時，設in（ωt+θ），則有m可得空間管路法蘭及閥門處的傳遞矩陣為：

式中：I為6×6階的單位矩陣，Gm為對角陣，其表達式如下：

式中：m為法蘭或閥門的質量，ω為管路固有頻率，Jx，Jy，Jz分別為集中質量對局部坐標x軸，y軸及z軸的轉動慣量。

彈性支吊架可視為彈性支座，其力平衡關系如圖3所示。最終建立的傳遞矩陣為：

式中：kx，ky，kz，kφx，kφy，kφz分別對應總體坐標系下六個自由度上的剛度值。

圖3 彈性支撐位置的力平衡示意圖Fig.3 Force balance diagram at elastic support section

應用已經建立的坐標變換矩陣，將狀態向量由局部坐標系下轉到總體坐標系中，再根據2.1節對管路兩端狀態向量的方向規定，可得彎管處的傳遞矩陣為：

2.4 三通位置的點傳遞矩陣

傳統的傳遞矩陣多用于解決鏈式的結構，如連續梁，汽輪機轉子等等。對于艦艇上的管路，三通件的應用非常普遍，為此本文進一步研究了含有分支管路的傳遞矩陣，給出了空間管路三通處的傳遞矩陣。

設主管在j節點處連有支管，如圖4所示。設支管末端向量與初始端向量的關系為：，式中U支為支管段的整體傳遞矩陣0與局部坐標系下的狀態向量，將狀態向量分位移向量和力向量來表示，則：

圖4 三通處的力平衡示意圖Fig.4 Force balance diagram at tee section

為便于建立j點的力平衡方程，根據坐標變換關系Zj=［T］Zj，將支管j點處的位移向量和力向量轉換到總體坐標中，則：

注意到支管的初始狀態向量中總有六個分量為零，而其它六個未知。例如，剛性固定時六個位移分量為零，自由時六個載荷分量為零，其它邊界條件也總可以找到六個零值。記由狀態向量中六個未知量組成列向量為則將（17）式化為：

式中：Uδ，Uf均是6×6階矩陣，是在Uj中僅取出與Us相關的行和列的元素所構成的矩陣塊。由（18）式可得：

根據（20），（21），（22）式可得管路三通處的傳遞矩陣Ptri：

2.5 管路系統整體傳遞矩陣

得到了空間管段的場傳遞矩陣以及各典型連接位置的傳遞矩陣后，將其組合成管路系統的總體傳遞矩陣。設艦艇典型管路系統具有n節管段，如圖5所示。選取狀態向量為Z=［δT，fT］T，則空間管路的總體傳遞矩陣可表示為：

式中：Z0為初始截面狀態矢量，Zn為末端截面狀態向量，Utotal為空間管路整體傳遞矩陣：

上式表明，空間管路的傳遞矩陣是一系列點陣和場陣的連乘。對于空間管路該矩陣為12×12階，矩陣的階數不隨管段數目的增加而增大。

圖5 空間管路系統示意圖Fig.5 Diagram of space piping system

3 管路系統模態分析

利用管路兩端邊界條件，由（25）式可以得到管路末端零向量和始端非零向量的關系為：

式中：Δ（ω）為Utotal劃去6行6列元素后所剩的6×6階矩陣，與頻率ω有關。根據齊次方程有非零解的條件，即得到管路自由振動的頻率方程：

采用二分法等尋根方法即可獲得頻率方程的根，可得到管路系統的頻率和模態。為便于和理論解對比，首先對直管進行頻率計算。選取艦船機艙動力管系中常用的管路參數進行分析:管支架間距為2m，管子外徑32mm，壁厚為2mm。材料采用不銹鋼，其彈性模量E=2.1e11 Pa，泊松比為0.3，密度為7 850kg/m3，剪切修正系數取0.53。

管路內介質為水，密度為1 000kg/m3，如圖6所示。分析時忽略了水與管壁間的耦合效應，僅考慮水質量對固有頻率的影響，此做法在管路中低頻振動時是可行的，在高頻振動時應采用文獻[5]中的方法進行頻率計算。

分別應用傳遞矩陣法、有限元法進行固有頻率求解，并將結果與Timoshenko梁的解析解[7]進行對比。采用傳遞矩陣法時，選取試算頻率步長為1 Hz。有限元計算利用Abaqus有限元軟件，采用100個線性空間梁單元離散管路。表1給出了前十階固有頻率的對比結果。

圖6 兩端簡支直管模型Fig.6 Straight tubemodelwith both ends simply supported

表1 兩端簡支直管固有頻率（Hz）Tab.1 Natural frequency of straight tubew ith both ends sim ply supported(Hz)

由表1可見，傳遞矩陣法和有限元法的計算結果與理論解十分接近。隨著模態階數的增高，有限元法算得的固有頻率與理論值偏差逐漸增大，而此時傳遞矩陣法還具有很高的精度。此算例可說明，相比有限元法，采用傳遞矩陣法進行管路模態分析時，不必對各管段劃分網格，可將每段直管作為一個單元處理，求解自由度的數目大大減少。

4 空間復雜管路沖擊加載方法

與設備抗沖擊研究不同，艦艇管路系統分布范圍遍及全船，支座形式多種多樣。受到水下爆炸攻擊時，管路系統的沖擊載荷具有多點、多幅值和多頻率的特點。因此，管路系統的抗沖擊計算的難點在于沖擊載荷的施加。郭晉挺等[8]采用有限元法對管路進行抗沖擊性能評估時，提出將管路系統沖擊最原始的激勵源作為統一的激勵源，如將潛艇外殼，水面艦船殼體，設備基座等，該方法需建立管路和激勵源一體化的限元模型。本文提出了基于傳遞矩陣法的管路沖擊加載方法，將管路系統與激勵源分開，單獨就管路進行分析。這樣就不必建立激勵源等復雜的有限元模型，使分析模型得到很大程度上的簡化。

受水下爆炸沖擊時，沖擊載荷經由各支座傳遞至管路上，其力學機理可歸結為由支座引起梁的強迫振動。對于此類問題，文獻[9]論述了載荷計算方法，并給出了等效載荷的表達式：

式中：m為單位長度管路的質量；ajt（）為支座j處的沖擊加速度，vjx（）代表由支座j處單位位移引起的梁上各點變形模式，即位移影響函數。

本文將（28）式應用到空間管路系統沖擊載荷計算中。首先，采用傳遞矩陣法求解管路不同支座的位移影響函數，對圖7所示的空間管路，其各支座單位位移引起梁的變形如圖8所示。然后，結合位移影響函數和各支座的沖擊加速度可算得分布在管路上的等效載荷。

圖7 空間管路模型Fig.7 Space pipelinemodel

圖8 各支座單位位移引起管路的變形模式Fig.8 The deformation of the pipeline caused by unit displacement at certain support

5 空間復雜管路沖擊響應分析

某艦艇機艙冷卻水管路空間布置如圖9所示。管路總長為17.9 m，含9個彎頭和一個三通，管路直徑為70 mm，壁厚為3mm。

采用本文方法對該管路進行沖擊響應計算。首先，分析管路系統的模態，表2給出了前10階固有頻率。通過對比，本文計算結果和有限元結果前10階頻率相差不到1%。

在采用模態疊加法計算之前，還需計算管路的各階振型，圖10給出了前3階模態的振型。

圖9 某艦艇冷卻水管路模型Fig.9 Coolwater pipemodel of a warship

表2 管路系統固有頻率（Hz）Tab.2 Natural frequency of piping system(Hz)

圖10 管路系統前3階模態Fig.10 The first3modes of piping system

參考美國海軍進行管路系統抗沖擊分析的方法，根據艦艇不同部位的沖擊速度譜確定管路各支吊架的沖擊載荷[2]。在通過數值仿真或水下爆炸試驗獲得艦艇各部位的沖擊譜后，根據德國軍用標準BV0430-85[10]，可將沖擊譜轉換為等效組合三角波曲線，如圖11所示。應用此方法，根據A~H各支座在船體上的安裝位置，獲得管路各支座處的沖擊加速度，并結合上節中（28）式計算分布在管路上的等效載荷。

圖11 沖擊譜轉換為等效加速度時間曲線Fig.11 Shock spectrum be converted to an equivalentacceleration time curve

采用模態疊加法求解管路系統的沖擊響應。同時，作為對比，采用ABAQUS有限元直接積分法進行分析，直接輸入各支座處的沖擊加速度進行計算。本文分析了0.2 s內管路的響應，本文方法選取管路前30階模態進行疊加，時間步長取為0.000 1 s；有限元直接積分計算的時間步長為軟件默認值2e-5 s。

圖12 管路典型位置位移響應對比Fig.12 Comparison of displacement response at typical location

圖13管路典型位置應力響應對比Fig.13 Comparison of stress response at typical location

圖12 對比了兩方法求解的管路位移響應，兩者差別很小。相比之下，應力響應的差別更加明顯，如圖13所示。有限元算得曲線的高頻成分較明顯，原因在于本文采用模態疊加法計算，響應頻率取決于參與疊加的模態總數。但兩方法結果在峰值上十分接近，相差5%以內。以上通過與有限元結果的對比，驗證了本文方法的可行性。

6 結論

本文將傳遞矩陣法用于求解艦艇管路抗沖擊研究中，建立了含支管的管路系統的艦艇復雜管路傳遞矩陣。針對艦艇管路系統受沖擊激勵特點，研究了加載方法，并通過算例驗證了方法的可行性。最后，結合模態疊加法完成了某艦艇機艙內冷卻水管路沖擊響應的數值求解。通過本文研究，得到以下結論：

（1）傳遞矩陣法力學概念清晰，利于編程，適合于求解空間復雜管路的振動特性。

（2）將傳遞矩陣法用于管路抗沖擊研究是可行的，能夠充分發揮其求解自由度少，計算精度高的優點。

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App lication of transfer matrix methods in shock analysis of warship piping system

ZHOUWei-xing1,YAO Xiong-liang2,FU Xiao-jun1,LIShi-ming2
(1 China Ship Developmentand Design Center,Wuhan 430064,China;2 College of Shipbuilding Engineering, Harbin Engineering University,Harbin 150001,China)

The shock analysis of domestic piping system hasmainly adopted the finite elementmethod and the solution precision depends to a high degree on themesh density.In this paper,the transfermatrix method was applied to shock analysis ofwarship piping system.Transfermatrix of spatial complex piping system which includes pipe branch was established.The loadingmethod of piping system motivated bymultiple supportswas brought forward,and the numerical solution concerning the impulse response of a certain vessel's cooling water pipeline was carried out.The results show that the application of transfermatrix methods in shock analysis ofwarship piping system is feasible,and has the advantages of less solving degree of freedom and high computational accuracy.

vessels;piping system;transfermatrixmethod;shock response

文獻標識碼：A doi：10.3969/j.issn.1007-7294.2014.10.011

1007-7294（2014）10-1244-10

2014-03-14

國家安全重大基礎研究項目資助（No.613157）

周維星（1985-），男，中國艦船研究中心工程師，E-mail:zhouweixing98@126.com；姚熊亮（1963-），男，哈爾濱工程大學教授，博士生導師。