渦旋柱面垂直度誤差評定算法研究

胡瑢華 王 輪 陳中揚 劉國平

南昌大學，南昌，330031

0 引言

決定渦旋壓縮機諸多優良性能的關鍵點在于渦旋齒的加工精度。為了評價渦旋齒加工精度的高低，本文就渦旋齒柱面數據進行分析，從垂直度的角度來判斷渦旋齒柱面的加工性能。

國內外諸多學者從事著垂直度方面的研究工作。如，Peng等［1］提出了基于實數編碼的多種群遺傳方法評定軸線對平面的垂直度；Lai等［2］和Wen等［3］也同樣用遺傳算法以及遺傳優化算法評定了圓柱面的垂直度；侯宇［4］提出了采用非線性約束最優化算法評定三坐標上測量線對面垂直度的方法；朱振偉［5］采用光學技術研究了垂直度誤差測量系統。以上研究對于渦旋齒柱面垂直度誤差的研究具有參考價值，但是由于其研究的垂直度均為線對線、線對平面、平面對平面以及圓柱面對平面，且使用的遺傳算法、光學技術以及非線性約束最優化模型較為復雜，不易實施，因此，上述方法難以在工業上進行廣泛運用。針對渦旋齒柱面的特殊形狀，本文提出基于最小二乘的逼近優化算法來評定渦旋齒柱面垂直度，并將結果與ZEISS測量儀測量的結果進行比較。

1 渦旋型柱面的產生

用具有螺旋狀的渦旋型線構成具有一定厚度的動靜渦旋齒，并使動靜渦旋齒之間滿足正確嚙合，這一過程稱為渦旋齒型線的生成［6］。本文中的渦旋齒型線采用法向等距法生成［7］。渦旋柱面則是以該型線為準線，平行于Z軸的直線為母線所形成。該漸開線方程為

式中，r為基圓半徑；φ為漸開線漸開角；±α為內外渦旋準線的起始角。

2 建立數學模型

垂直度誤差屬于相對位置誤差，柱面對基準平面相對位置關系及精度要求如圖1所示。

2.1 基準平面的確定

設基準平面上點的坐標為 Qi（xi，yi，zi），i＝1，2，…，m，基準平面方程為

則基準實際面上各采樣點Qi對基準平面的偏差為

根據最小二乘法原理，令偏差平方和最小，即可表示為

圖1 渦旋齒外形及其垂直度要求

將式（3）代入式（4）進行展開，分別對a、b、c求導且令S·a＝0，S·b＝0，S·c＝0，采用矩陣法求取a、b、c的值，基準平面即可確定。同時可知該基準平面的法向量為v＝ （a，b，－1），該平面與理想XOY平面的夾角為γ，則

2.2 逼近參數的求取

設渦旋型柱面的實測數據為P＊i（x＊i，y＊i，z＊i），i＝1，2，…，n，將該實測點數據向基準平面投影，投影點的坐標為P′i（x′i，y′i，z′i）。由于基準平面方程已知，且該平面的法向量v＝ （a，b，－1），則投影線方程為

式中，ti為任意非零實數。

將式（6）中的x′i、y′i、z′i的表達式代入到式（3）可求得

于是各實測點P＊i（x＊i，y＊i，z＊i）到基準平面的投影點Pi（xi，yi，zi）的值分別為

如此即可將渦旋型柱面上的點投影到基準平面上，將三維問題轉化為二維問題來計算。由于式（2）是建立在XOY平面內的理想方程，而基準平面并不一定與該平面重合，因此為了方便計算，需要將基準平面的點再次投影到理想平面，設投影點坐 標 為 Pi（xi，yi，zi），則 xi＝ x′i，yi＝ y′i，zi＝0。

將實測點投影到理想平面后，即將三維垂直度的問題轉化為二維平面上的點到渦旋線之間的距離問題，可將此距離進行反投影后來表示渦旋型柱面的垂直度誤差。

將式（2）表示平面曲線設為Π，那么可以將Π看成是相應的柱面f（x，y）＝0與平面z＝0的交線。在Π充分光滑的情況下，Π上任意一點的特征可以用下面兩個矢量來表示：矢徑p，單位法矢量n，切線矢量τ。

由于實測點P＊i（x＊i，y＊i，z＊i）投影到XOY平面的坐標為Pi（xi，yi），均在理想曲線Π 附近，設理想曲 線 Π 上與點Pi（xi，yi）相對應的 點 為Pφ（xφ，yφ），該點的切向量為m，法向量為k，如圖2所示。

圖2 渦旋型柱面在XOY平面投影

根據理想方程的數學特性，對漸開線方程中的x、y求導，即可求得m ＝ （x′φ，y′φ）。由于向量m與向量k相互垂直，那么k＝ （－y′φ，x′φ）。將向量k單位化后可得到k的單位向量，即可得到理論曲線上漸開角為φ的點在向量k方向上的梯度為

對于渦旋線，定義影響函數［8］為

設Pi（xi，yi）與其對應的理論點 Pφ（xφ，yφ）之間形成的向量為f，則f可以表示為

向量f方向與k的方向相反。那么Pi（xi，yi）到理想曲線Π的距離的第一部分可以表示為

將式（10）與式（12）代入到式（13），即可得到垂直度誤差的第一部分距離的詳細公式：

為了減小由于設計基準、加工基準和測量基準不重合帶來的誤差，提高算法精度，評定時需要進行微量調整。針對本文中的渦旋柱面，微量調整包括兩個方向上的微分移動量δx、δy與繞一個軸的微分旋轉量θz［8］。設u＝ （δx，δy，θz）T為逼近參數，并用它來描述曲線的位置和姿態。設Pi（xi，yi）經過微量調整后的坐標為P＃φ（x＃φ，y＃φ），那么P＃φ與Pi之間的關系［9］為

通過式（15）可知，Pi（xi，yi）到理想曲線Π的距離與逼近參數u及P＃φ（x＃φ，y＃φ）到理想平面的距離兩個因素相關，記

其中，d（Pi）為點到曲線的距離：

根據最小二乘原理求取逼近參數u，令

為了求出式（18）的最小值，需要對逼近參數u的各個分量進行求導，即對δx、δy、θz求導，并令其為0。將求導的3個式子進行整理可得如下等式：

利用以上整理出來兩個矩陣即可以求出逼近參數u。

2.3 垂直度的計算

將u代入式（16）得到：

利用式（20）即可求出每個實測投影點Pi（xi，yi）到理想曲線Π的距離，設這些數據中最大值與最小值之差為e′，即

由于e′是每個XOY理想平面上投影點到理想曲線Π的距離，為了反映實測點到渦旋柱面的真實距離，需要將e′進行反投影，設反投影后的距離為e。由式（5）可知理想平面與基準平面的夾角為γ，那么

以式（22）的結果來表示渦旋型柱面對底面的垂直度誤差。

在此特別提出，DuT＝CT的解法按照線性方程組的原始定義解法（即用CT取代D中的某列求解某未知數的方法）較uT＝D－1CT的解法精度高。

3 算法測試與分析

3.1 數據來源與數據格式

本文數據來源于德國ZEISS公司UMC 550型的三坐標測量機。被測的渦旋盤及三坐標探頭與渦旋齒相對位置如圖3所示，探頭的運動軌跡如圖4所示。

圖3 渦旋齒與探頭相對位置示意圖

圖4 型線與探頭的檢測軌跡俯視圖

圖3中，三坐標測量機的探頭（掃描式）置于高度1上，外圈從外到內，內圈從內到外，貼著渦旋齒面行走，探頭中心的移動軌跡為圖4中的虛線所示。在探頭運動的過程中采集高度1上的1000個數據點。同理，在高度2和3上進行同樣的數據采集工作，這樣得到三圈的數據經過ZEISS預處理后導出的數據便是本文的數據來源。

本文所使用的數據為某型號渦旋壓縮機靜盤渦旋齒內圈與外圈數據，以內圈數據為例，其格式以及部分數據見表1。表1中R－N，A－N，H－N分別為數學模型上的理論點的極半徑、極角、高度；R、A、H分別為實測點的極半徑、極角、高度。

3.2 測試結果與分析

德國ZEISS公司UMC 550型號的三坐標測量機作為本文的比較對象，其性能參數如表2所示。

表1 靜盤內圈部分數據及格式

表2 UMC 550型三坐標性能參數表

就采集到的靜盤內外渦旋齒面數據為例，通過ZEISS三坐標測量機的計算，每個點到理想柱面的距離組成的曲線如圖5和圖6所示。

圖5 靜盤內圈ZEISS計算結果曲線圖

圖6 靜盤外圈ZEISS計算結果曲線圖

圖5與圖6中橫坐標表示數據點的個數Ni，縱坐標表示距離di，di值精確到微米級，變化范圍均在－8～8μm之間，由此可知ZIESS的算法精度很高。

將同樣的數據導入本文算法程序中，其運行結果的數據曲線如圖7和圖8所示。

圖7 靜盤內圈本文算法計算結果曲線圖

圖8 靜盤外圈本文算法計算結果曲線圖

將圖5與圖7進行比較，本文算法結果曲線走勢與ZEISS計算結果曲線走勢完全一致，若將兩條曲線放在一張表中進行重合度比較，可以發現本文算法結果曲線與ZEISS算法結果曲線重合度在99%以上，這表明本文算法具有與ZEISS算法相同的精度。經過圖6與圖8的重合度比較，可得到相同的結論。為了說明重合度的問題，本文將部分數據點在本文算法中的結果與在ZEISS的結果進行比較，如表3所示。

表3 點到柱面距離結果比較 μm

表3為相同的數據在兩種不同算法中結果，可發現結果極其相近，差值僅微米之間，完全可以認為兩點重合。渦旋柱面垂直度誤差在兩種算法中的最終結果如表4所示。

表4 垂直度誤差結果比較 μm

通過表4的結果比較可知，本文算法與ZEISS算法結果基本相同，說明了本文算法的準確性。

4 結論

本文根據渦旋面的形成原理，基于最小二乘的逼近優化算法建立了評定渦旋面垂直度誤差的數學模型，并將算法予以編程實現。通過大量的數據對該算法進行測試，結果表明：本文算法的結果曲線圖與ZEISS的結果曲線圖走勢完全一致，重合度達到99%以上，精度可達到微米級。該算法可作為渦旋齒柱面垂直度的評定算法。

［1］Peng J，Zhong Y R，Huang M F.Perpendicularity Error Evaluation of an Axis Based on New Generation GPS［C］／／2009Third International Conference on Genetic and Evolution Computing.Guilin，2009：85－88.

［2］Lai H Y，Jywe W Y.Precision Modeling of Form Errors for Cylindricity Evaluation Using Genetic Algorithm［J］.Prec.Eng.，2000，24（4）：310－319.

［3］Wen X L，Song A G.Cylindricity Error Evaluation Based on an Improved Genetic Algorithm［J］.Acta Metrologica Sinica，2004，25（2）：115－118.

［4］侯宇.三坐標測量機上平行度和垂直度的精確評定［J］.計量學報，1994，15（3）：232－234.Hou Yu.The Exact Evaluation of Parallelism and Perpendicularity on Coordinate Measuring Machine［J］.Acta Metrologica Sinca，1994，15（3）：232－234.

［5］朱振偉.垂直度誤差測量系統的軟件開發［D］.武漢：華中科技大學，2009.

［6］Yu Chen，Nils P H，Eckhard A G.Mathematical Modeling of Scroll Compressors－Part I：Compression Process Modeling［J］.International Journal of Refrigeration，2002，25：731－750.

［7］胡瑢華，劉強飛，宋紅滾，等.渦旋壓縮機型線的加工及其誤差分析［J］.南昌大學學報（工科版），2012，34（1）：79－82.Hu Ronghua，Liu Qiangfei，Song Honggun，et al.Profile Processing of Scroll Compressor and Its Error Analysis［J］.Journal of Nanchang University（Engineering ＆ Technology），2012，34（1）：79－82.

［8］熊有倫.精密測量的數學方法［M］.北京：中國計量出版社，1989.

［9］全榮，楊泰來.計算機輔助復雜曲面輪廓度誤差評定的通用數學模型［J］.國防科技大學學報，1992，14（4）：86－92.Quan Rong，Yang Tailai.A General Mathematic Model of Computer Aided Evaluating Profile Error of Complex Surfaces［J］.Journal of National University of Defense Technology，1992，14（4）：86－92.