證明三角形角平分線定理的六法

李奇

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）20-282-01

定理：在ΔABC中，∠A的平分線AD交BC邊于點D，則： 。

證明：

一、構造平行線法

如圖，過點C作CE∥AD交BA的延長線于點E，

∴ ∵ AD平分∠A ∴ ∠BAD=∠CAD

∵AD∥CE ∴ ∠E=∠BAD ∠ACE=∠CAD ∴ ∠E=∠ACE

∴AC=AE ∴

二、構造相似三角形法

如圖，過點B作BE⊥AD，交AD的延長線于點E，

過點C作CF⊥AD于F，則BE∥CF，∴ΔBDE∽ΔCDF

∴ ∵ ∠BAD=∠CAD，∠AEB=∠AFC=90°

∴ΔAEB∽ΔAFC ∴ ∴

三、面積法

如圖，過點D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，

∵ ∠BAD=∠CAD ∴ DE=DF ∴

∴ 又∵ΔABD和ΔACD同高

∴ ∴

四、構造圓法

如圖，作ΔABC的外接圓，延長AD交圓于點E，

連接BE、CE，∵ ∠BAD=∠CAD ∴ BE=CE

∴∠EBD=∠BAE ∠AEB=∠BED ∴ ΔAEB∽ΔBED

∴ 同理ΔAEC∽ΔCED ∴

∴ ∴

五、應用正弦定理

如圖，∵ ∠BAD=∠CAD ∴ sin ∠BAD=sin∠CAD

∵∠BDA+∠CDA=180° ∴ sin∠BDA=sin（180°-∠CDA）=sin∠CDA

在ΔABD中， （1）；在ΔACD中， （2）

（1）÷（2） ∴

六、解析法

如圖，以點A為坐標原點，AD為x軸建立平面直角坐標系，設AB=m，AC=n，∠BAD=∠CAD=

則點B的坐標為（mcos ，msin ），點C的坐標為（ncos ，-nsin ）

設直線BC為： y=kx+b 則

解之得： b= -

∴ 直線BC為： y= x-- ∴ 點D的坐標為（ ，0）

∴ = = = .