南京師大附中南京外國語學校月考試卷調研

何曉勤

本試卷嚴格按照高考《考試說明》命制，符合高考的命題規律，難易程度上貼近高考要求. 試卷第一部分（必做題）的填空題主要考查基本概念、基礎知識和基本能力，解答題突出考查理性思維和思想方法；試卷涵蓋了高中數學的主要內容，而且主干知識地位突出，重點內容重點考查，如三角與向量（第15題）、立體幾何（第16題）、函數和導數應用問題（第17題）、解析幾何綜合問題（第18題）、函數與導數綜合問題（第19題）、數列綜合問題（第20題）等都是必考的重點內容；在試題的設計上，注重知識的交匯，如第10題考查解三角形與基本不等式的交匯，第12題考查函數與不等式的交匯，第15題考查三角與向量的交匯等.

？搖？搖試卷第二部分（附加題）的選做題第21題注重考查基本知識和基本方法，難度不大；必做題第22題考查空間向量在求解立體幾何問題中的應用，難度中等；第23題屬于創新題型，主要考查計數原理、二項式系數的性質、數列等知識的綜合，對理科學生的能力要求較高，有較大的區分度.

難度系數：★★★★

第一部分

一、填空題：本題共14小題，每小題5分，共70分，請將答案填寫在答題卷相應的位置上.

1. 已知集合A={xy=log■（x-1）}，B={xx2-x-6≤0}，則A∩B=________.

2. 已知i是虛數單位，且■=a+bi（a，b∈R），則a-b=________.

3. 如圖1是一個算法的流程圖，若輸出的結果是1023，則判斷框中的整數M的值是________.

4. 從高三年級隨機抽取100名學生，將他們的某次考試數學成績繪制成頻率分布直方圖. 由圖中數據可知成績在[130，140）內的學生人數為________.

5. 一個正四面體玩具的四個面分別標有數字1，2，3，4，現投擲該玩具兩次，觀察向下一面的數字，則事件“兩次出現的數字中至少有一個比2大”發生的概率為________.

6. 已知F1，F2分別是雙曲線C：■-■=1（a>0，b>0）的左、右焦點. 若雙曲線C上一點P滿足∠F1PF2=90°，且PF1=3PF2，則雙曲線C的漸近線方程為________.

7. 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1=3，點M，N在棱CC1，BB1上，且CM=B1N，則四棱錐A-BCMN的體積為________.

8. 已知奇函數f（x）是定義在實數集R上的單調函數，若函數g（x）=f（x2）+f（2-kx）（x∈R）有唯一的零點，則實數k的值為________.

9. 函數f（x）=2sin（ωx+φ）ω>0，φ<■的圖象如圖4所示，若將函數f（x）的圖象向右平移■個單位得到函數g（x）的圖象，則函數g（x）的解析式為_________.

10. 如圖5，在△ABC中，已知AB=4，AC=3，∠BAC=60°，點D，E分別是邊AB，AC上的點，且DE=2，則■的最小值等于________.

11. 如圖6，半圓的直徑AB=6，O為圓心，C為半圓上不同于A，B的任意一點，若P為半徑OC上的動點，則（■+■）·■的取值范圍為________.

12. 若函數F（x）為二次函數，且F（x）的導函數為f（x），若存在實數a∈（-2，-1），使f（-a）=-f（a）>0，則不等式F（2x-1）>F（x）的解集為________.

13. 在平面直角坐標系xOy中，已知直線l：y=k（x+2■）和點A（-■，0），B（■，0），動點P滿足PA=■PB，且存在兩點P到直線l的距離等于1，則k的取值范圍是________.

14. 已知數列{an}滿足a■=0，an≤a■≤an+1（n∈N？鄢），記Sn=■（-1）k-1a■（0

二、解答題：本題共6道題，計90分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.

15. （本小題滿分14分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量m=（sinB-sinA，sinC），n=（sinB-sinC，sinB+sinA），且m∥n.

（1）求角A的值；

（2）若△ABC為銳角三角形，且a=2，求b-■c的取值范圍.

16. （本小題滿分14分）如圖7，AB為圓O的直徑，點E，F在圓上，四邊形ABCD為矩形，AB∥EF，∠BAF=■，M為BD的中點，平面ABCD⊥平面ABEF. 求證：

（1）BF⊥平面DAF；

（2）ME∥平面DAF.

17. （本小題滿分14分）某商場為促銷要準備一些正三棱錐形狀的裝飾品，用半徑為10 cm的圓形包裝紙包裝.要求如下：正三棱錐的底面中心與包裝紙的圓心重合，包裝紙不能裁剪，沿底邊向上翻折，其邊緣恰好達到三棱錐的頂點，如圖8所示. 設正三棱錐的底面邊長為x cm，體積為V cm3. 在所有能用這種包裝紙包裝的正三棱錐裝飾品中，V的最大值是多少？并求此時x的值.

18. （本小題滿分16分）已知橢圓C：■+■=1（a>b>0）上任一點P到兩個焦點的距離的和為2■，P與橢圓長軸兩頂點連線的斜率之積為-■. 設直線l過橢圓C的右焦點F，交橢圓C于兩點A（x1，y1），B（x2，y2）.

（1）若■·■=■（O為坐標原點），求y1-y2的值；

（2）當直線l與兩坐標軸都不垂直時，在x軸上是否總存在點Q，使得直線QA，QB的傾斜角互為補角？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

19. （本小題滿分16分）設n∈N？鄢，函數f■（x）=xnx-a（x≠a），其中常數a>0.

（1）求函數f■（x）的極值.

（2）設一直線與函數f■（x）的圖象切于兩點A（x1，y1），B（x2，y2），且x1

①求x■■+x■■的值；

②求證：y■

20. （本小題滿分16分）已知無窮數列{an}的各項均為正整數，Sn為數列{an}的前n項和.

（1）若數列{an}是等差數列，且對任意正整數n都有S■=（Sn）3成立，求數列{an}的通項公式；

（2）對任意正整數n，從集合{a1，a2，…，an}中不重復地任取若干個數，這些數之間經過加減運算后所得數的絕對值為互不相同的正整數，且這些正整數與a1，a2，…，an一起恰好是1至Sn全體正整數組成的集合.

①求a1，a2的值；

②求數列{an}的通項公式.

第二部分（加試部分）

（總分40分，加試時間30分鐘）

21. 【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分. 請在答卷紙指定區域內作答.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

A. [選修4-1：幾何證明選講]（本小題滿分10分）

如圖9，⊙O是△ABC的外接圓，AB=AC，延長BC到點D，使得CD=AC，連結AD交⊙O于點E，連結BE與AC交于點F，求證：BE平分∠ABC.

B. [選修4-2：矩陣與變換]（本小題滿分10分）

已知矩陣M有特征值λ1=8及對應特征向量α1=11，且矩陣M對應的變換將點（1，-1）變換成（4，0），求矩陣M的另一個特征值.

C. [選修4-4：坐標系與參數方程]（本小題滿分10分）

圓C的參數方程為x=1+2cosθ，y=■+2sinθ（θ為參數），設P是圓C與x軸正半軸的交點. 以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系. 設過點P的圓C的切線為l，求直線l的極坐標方程.

D. [選修4-5：不等式選講]（本小題滿分10分）

已知a，b，c均為正實數，且a+b+c=1，求■+■+■的最大值.

22. （本小題滿分10分）如圖10，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF=90°，AD=■，EF=2，BE=3，CF=4.

（1）求證：平面DEF⊥平面DCE；

（2）若AB=■，求二面角A-EF-C的大小.

23. （本小題滿分10分）設整數n≥3，集合P={1，2，3，…，n}，A，B是P的兩個非空子集. 記an為所有滿足A中的最大數小于B中的最小數的集合對（A，B）的個數.

（1）求a3；

（2）求an.

（1）求函數f■（x）的極值.

（2）設一直線與函數f■（x）的圖象切于兩點A（x1，y1），B（x2，y2），且x1

①求x■■+x■■的值；

②求證：y■

20. （本小題滿分16分）已知無窮數列{an}的各項均為正整數，Sn為數列{an}的前n項和.

（1）若數列{an}是等差數列，且對任意正整數n都有S■=（Sn）3成立，求數列{an}的通項公式；

（2）對任意正整數n，從集合{a1，a2，…，an}中不重復地任取若干個數，這些數之間經過加減運算后所得數的絕對值為互不相同的正整數，且這些正整數與a1，a2，…，an一起恰好是1至Sn全體正整數組成的集合.

①求a1，a2的值；

②求數列{an}的通項公式.

第二部分（加試部分）

（總分40分，加試時間30分鐘）

21. 【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分. 請在答卷紙指定區域內作答.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

A. [選修4-1：幾何證明選講]（本小題滿分10分）

如圖9，⊙O是△ABC的外接圓，AB=AC，延長BC到點D，使得CD=AC，連結AD交⊙O于點E，連結BE與AC交于點F，求證：BE平分∠ABC.

B. [選修4-2：矩陣與變換]（本小題滿分10分）

已知矩陣M有特征值λ1=8及對應特征向量α1=11，且矩陣M對應的變換將點（1，-1）變換成（4，0），求矩陣M的另一個特征值.

C. [選修4-4：坐標系與參數方程]（本小題滿分10分）

圓C的參數方程為x=1+2cosθ，y=■+2sinθ（θ為參數），設P是圓C與x軸正半軸的交點. 以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系. 設過點P的圓C的切線為l，求直線l的極坐標方程.

D. [選修4-5：不等式選講]（本小題滿分10分）

已知a，b，c均為正實數，且a+b+c=1，求■+■+■的最大值.

22. （本小題滿分10分）如圖10，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF=90°，AD=■，EF=2，BE=3，CF=4.

（1）求證：平面DEF⊥平面DCE；

（2）若AB=■，求二面角A-EF-C的大小.

23. （本小題滿分10分）設整數n≥3，集合P={1，2，3，…，n}，A，B是P的兩個非空子集. 記an為所有滿足A中的最大數小于B中的最小數的集合對（A，B）的個數.

（1）求a3；

（2）求an.

（1）求函數f■（x）的極值.

（2）設一直線與函數f■（x）的圖象切于兩點A（x1，y1），B（x2，y2），且x1

①求x■■+x■■的值；

②求證：y■

20. （本小題滿分16分）已知無窮數列{an}的各項均為正整數，Sn為數列{an}的前n項和.

（1）若數列{an}是等差數列，且對任意正整數n都有S■=（Sn）3成立，求數列{an}的通項公式；

（2）對任意正整數n，從集合{a1，a2，…，an}中不重復地任取若干個數，這些數之間經過加減運算后所得數的絕對值為互不相同的正整數，且這些正整數與a1，a2，…，an一起恰好是1至Sn全體正整數組成的集合.

①求a1，a2的值；

②求數列{an}的通項公式.

第二部分（加試部分）

（總分40分，加試時間30分鐘）

21. 【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分. 請在答卷紙指定區域內作答.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

A. [選修4-1：幾何證明選講]（本小題滿分10分）

如圖9，⊙O是△ABC的外接圓，AB=AC，延長BC到點D，使得CD=AC，連結AD交⊙O于點E，連結BE與AC交于點F，求證：BE平分∠ABC.

B. [選修4-2：矩陣與變換]（本小題滿分10分）

已知矩陣M有特征值λ1=8及對應特征向量α1=11，且矩陣M對應的變換將點（1，-1）變換成（4，0），求矩陣M的另一個特征值.

C. [選修4-4：坐標系與參數方程]（本小題滿分10分）

圓C的參數方程為x=1+2cosθ，y=■+2sinθ（θ為參數），設P是圓C與x軸正半軸的交點. 以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系. 設過點P的圓C的切線為l，求直線l的極坐標方程.

D. [選修4-5：不等式選講]（本小題滿分10分）

已知a，b，c均為正實數，且a+b+c=1，求■+■+■的最大值.

22. （本小題滿分10分）如圖10，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF=90°，AD=■，EF=2，BE=3，CF=4.

（1）求證：平面DEF⊥平面DCE；

（2）若AB=■，求二面角A-EF-C的大小.

23. （本小題滿分10分）設整數n≥3，集合P={1，2，3，…，n}，A，B是P的兩個非空子集. 記an為所有滿足A中的最大數小于B中的最小數的集合對（A，B）的個數.

（1）求a3；

（2）求an.