透過現象看本質

著名數學家G·波利亞認為：掌握數學就意味著善于解題. 如何提高我們的解題能力？這是我們所期待的. 正確解題的關鍵是要善于挖掘和靈活處置問題中的隱含條件，我們在平時的學習中應有意識地培養這種“透過現象發現本質”，挖掘隱含條件的能力，這樣才能提高解題的正確率.

在高一的一次聯考試卷中筆者出了這樣的一道題：

如圖1所示，在等邊△ABC中，AB=a，O為三角形的中心，過O的直線交AB于M，交AC于N，（1）設■=m■，■=n■，求■+■的值；

（2）求■+■的最大值和最小值.

■

圖1

因為開學初到月考時間不長，所學內容只有“平面向量”和“解三角形”，而且又作為考試的最后一題，本來原題是只求第（2）問中■+■的最大值和最小值. 考慮到很多同學沒有思路，可能得分很低，甚至不能得分，所以添了第（1）問“求■+■的值”. 因為前不久的例題中剛出現過這樣的一道題：“經過△OAB的重心G的直線l與OA，OB兩邊分別交于P，Q兩點，設■=m■，■=n■，則■+■=_________.”

這樣的話筆者想，第（1）問應該沒問題，基本上都能得到正確答案.

出乎意料的是，第（1）問的得分依然不高，更甚至有同學連答案都寫不出，第（2）問更離譜，很少有學生能解出正確答案來. 主要差錯是解第（1）問時，想不到“正三角形的中心也是它的重心，而且如圖1所示的O為三角形的中心，則■=■（■+■）”，抓不住問題的本質；第（2）問很多同學試圖利用（1）中的結論，從向量出發，先求出■+■，再來求最值. 實際上對于第（2）問，很多同學不會化簡變形■+■的表達式，即使稍作化簡的也不能求出最值. 當然，對于這樣的兩問放在同一個題目中是否合適確實也值得商榷. 跳開這一點，從同學們的答題情況來分析，大多數同學都受思維定式的影響：解綜合題時上一問的結論對下一問一定是有用的. 實際上，本題中的（1）（2）問之間的聯系不大，用（1）問中■+■=3去解第（2）問會使運算煩瑣，并且技巧性很強. 很多同學都是這樣來解的：■2=（■-■）2=（m■-■）2=m2■2-2m■·■+■2=m2a2-2ma×■a×■+■=m2-m+■a2.

同理可得：

■2=（■-■）2=（n■-■）2=n2■2-2n■·■+■2=n2-n+■a2，所以■+■=■■+■（？鄢）.

接下來就不知道怎么做或取幾個特殊值找出大概的特殊值，因此出現了一部分過程錯或根本沒有過程但答案正確的情況. 受第（1）問的影響，利用向量能解出答案嗎？其實用上第（1）問中的■+■=3，代入上述表達式進行化簡變形，也可以繼續解下去.

解：因為■+■=3，所以m+n=3mn，對上述（？鄢）式通分，分子為m2-m+■+n2-n+■=m2+n2-m-n+■=（m+n）2-2mn-（m+n）+■=9（mn）2-2mn-3mn+■=9（mn）2-5mn+■=mn-■（9mn-2）.

分母為：m2-m+■·n2-n+■=m2n2-m2n+■-mn2+mn-■+■-■+■=（mn）2-mn（m+n）+■+mn-■+■=（mn）2-3（mn）2+■+■=（mn）2-■mn+■=mn-■■，所以可得■+■=■·■+■=■×■=■×■=■×■=■×■=■·1+■=■+■. 因為■+■=3，所以m+n=3mn，所以（3n-1）m=n？圯m=■，所以mn=■=■=■. 因為■≤n≤1，所以1≤■≤2，結合二次函數圖象可得：當■=1或2，即n=1或■時，（mn）max=■，從而■+■min=■+■×2=■；當■=■，即n=■時，（mn）min=■，從而■+■max=■+■=■.

第（2）問從向量角度考慮明顯復雜，但只要有扎實的基本功，耐心地算下去也能得出正確解答. 其實再回頭來考慮第（2）問，要求“■+■的最大、最小值”，首先把■+■的表達式寫出來，再利用求最值的方法來求解，思路很清晰. 仔細剖析，注意到OM，ON分別在△AOM和△AON中，而且這兩個三角形的頂角∠MAO=∠NAO=30°，設∠MOA=α，則∠NOA=180°-α，因此還可以利用正弦定理來解.

在本題中，很多同學沒有抓住∠MOA和∠NOA互補這一隱含條件，只局限于向量方法，給解題帶來困難. 我們應該如何提高解這種類型的數學題的正確率呢？正確解題的關鍵是要善于挖掘和靈活處置問題中的隱含條件. 只有對相關的數學概念、符號、關系式的意義及有關知識的縱橫聯系做到心中有數、熟練掌握、靈活運用，才能不被表象迷惑，才能抓住題目的本質，全面理解所給數學材料，正確解題.

■從概念特征挖掘隱含條件

很多數學概念本身就有其特殊性，譬如：數列是定義在正整數集或它的有限子集上的一種特殊函數；三角函數中的正、余弦的有界性：-1≤sinα≤1，-1≤cosα≤1；向量中特殊的零向量；集合問題中經常會涉及空集……限于篇幅，這里取三個例題示意.

1. 數列定義域的特殊性

例1 已知an=n2+λn，且數列{an}是單調遞增的，則實數λ的取值范圍是________.

很多同學會這樣解：an=n2+λn=n+■■-■，要使{an}是單調遞增的，所以對稱軸-■≤1，從而λ≥-2. 其實本題中隱含著n∈N*，數列是一種特殊的函數，它的定義域是正整數集或它的有限子集，圖象由一些孤立點組成，因此只需-■<■，從而正確答案是λ>-3. 當然本題還可以從條件“{an}是單調遞增數列”出發來解.

另解：因{an}是單調遞增數列，所以an+1>an對？坌n∈N*恒成立？圯（n+1）2+λ（n+1）>n2+λn？圯λ>（-2n-1）max？圯λ>-3.

2. 圓錐曲線的統一定義endprint

例2 方程■=x+y-2表示的曲線是___________.

本題若通過化簡方程，與常見的曲線方程進行比較，得出曲線形狀，運算量大，結果也并不直觀. 應跳出定式思維，注意方程的特點，觀察特征，聯系到圓錐曲線的統一定義. 方程可變形為：

■=■，即平面上點P（x，y）到點（-1，-1）的距離與到直線x+y-2=0的距離之比為■，由圓錐曲線的統一定義可知，該方程表示的曲線為雙曲線.

3. 三角函數的有界性：-1≤sinα≤1，-1≤cosα≤1

例3 已知sinx+siny=■，求t=sinx-cos2y的最值.

錯解：由已知條件可得：sinx=■-siny，所以t=sinx-cos2y=■-siny-cos2y=■-siny-（1-sin2y）=sin2y-siny-■=siny-■■-■. 又-1≤siny≤1，所以當siny=■時，t的最小值為-■；當siny=-1時，t的最大值為■.

很多同學在解本題時只關注了 -1≤siny≤1，忽略sinx+siny=■這一隱含條件，事實上，-1≤siny≤1，-1≤■-siny≤1？圯-■≤siny≤1，因此，當siny=■時，t的最小值為-■；當siny=-■時，t的最大值為■.

■從題目條件挖掘隱含條件

1. 思維嚴密，判斷完整

例4 在△ABC中，已知2a=b+c，sin2A=sinBsinC，則△ABC的形狀為____.

結合正弦定理可得：a2=bc，所以4a2=（b+c）2=4bc？圯（b-c）2=0？圯b=c，看似答案是“等腰三角形”，實際上再代入到2a=b+c中，進一步可得a=b=c，所以正確答案是“等邊三角形”. 因此要挖掘條件，用好、用透題中已知條件，判斷完整.

2. 用好“遞進式”問題間的關系

例5 在△ABC中，已知■·■=3■·■.

（1）求證：tanB=3tanA；

（2）若cosC=■，求A的值.

這道題目的第（1）問同學們能很順利地解出來，設△ABC的三邊長分別為a，b，c，則有cbcosA=3cacosB，結合正弦定理得：sinBcosA=3sinAcosB，所以tanB=3tanA. 第（2）問很多同學根據以往解題經驗認為解三角形問題應該要用到正弦、余弦定理，雖然能解，但需要經過多次邊角互化，浪費很多時間，也不一定能得出正確答案. 這是2012年江蘇高考數學的第15題，考試中就有很多同學沒能解出正確結果，解答題的第一題做得這么棘手，也影響了整場考試的發揮. 其實這道題目的設置是“遞進式”設問，如能注意發現第（1）問中tanB=3tanA的關系，結合第（2）問中cosC=■，可以求出tanC=2，然后利用三角形中三個內角和為180°，結合誘導公式可得：tan（A+B）=-2，即■=-2. 又tanB=3tanA，代入前式得：■=-2，所以tanA=1或tanA=-■. 由tanB=3tanA>0可得A∈0，■，所以tanA=1.

注：很多解答題一般以多個設問形式給出，起點低，有梯度，對于這類“遞進式”設問、難度逐漸增大的題目，在解題時我們要擺脫定式思維，充分挖掘隱含信息，注意上一問對下一問的暗示，我們可以通過前一個設問的鋪墊和提示確定下一個問題的解題方向.

■從解題答案挖掘隱含條件

例6 在等比數列{an}中，S2=7，S6=91，則S4=________.

在等比數列中，若Sn≠0，則Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…依次成等比數列，因此可以設S4=x，則7，x-7，91-x成等比，所以（x-7）2=7（91-x）？圯x2-7x-28×21=0？圯x=28或-21，所以S4=28或-21. 此時不禁要問：兩解都符合要求嗎？事實上，本題中S4=（a1+a2）+（a3+a4）=S2+S2×q2=S2·（1+q2）>0，所以S4=28.

因此，當答案中出現兩解時我們要謹慎，注意是否有增根，要舍去其中的解的話一定要找到舍去理由，因為有的題目確實有兩解. 如：“在△ABC中，若b=2asinB，則∠A=________.” 利用正弦定理：■=■？圯sinA=■，所以∠A=30°或150°. 本題確實有兩解.

當然也會存在解出兩解，其中一解不太容易舍去的情況. 比如：

例7 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，已知a+c=10，C=2A，cosA=■.

（1）求■的值；（2）求b的值.

解：（1）由正弦定理可得：■=■=■？圯■=2cosA=■.

（2）由（1）得■=■，a+c=10？圯a=4，c=6. 因為a2=b2+c2-2bccosA，所以16=b2+36-2b×6×■？圯b2-9b+20=0？圯b=4或5.

看上去解答很完美，也比較簡略. 事實上，把b=4代入已知條件發現此時a=b，C=A+B. 又C=2A，所以C=■，A=B=■，這與已知cosA=■產生矛盾. 所以b=5.

所謂“隱含條件”是指隱含在文字敘述中，需要認真分析才能挖掘出來的條件. 現在高考命題總是從一個具體的角度切入并與教材知識點有機結合，將所考查的知識點巧妙地隱藏在所設置的情景中，考查我們是否具備一種去粗取精、去偽存真、由表及里的提煉加工能力. 因此，解題時要能做到“透過現象看本質”，把隱含條件分析挖掘出來，這常常是解題的關鍵.

著名數學家G·波利亞認為：掌握數學就意味著善于解題，不僅要掌握標準題的解法，還要善于獨立思考，并通過自我探索尋找解題途徑.

“透過現象抓住本質”，注意挖掘題目中的隱含條件，巧妙進行變形，既能加快解題速度，又可避免不必要的錯誤. 總之，我們解題能力的提高，不是一朝一夕能做到的，若能牢牢樹立“只看書不做題不行，埋頭做題不總結積累不行”的思想，對待數學題要既能鉆進去，又要能跳出來，堅持有目的、有計劃地進行訓練，這樣做可以使我們的解題能力得到發展和提高！■endprint

例2 方程■=x+y-2表示的曲線是___________.

本題若通過化簡方程，與常見的曲線方程進行比較，得出曲線形狀，運算量大，結果也并不直觀. 應跳出定式思維，注意方程的特點，觀察特征，聯系到圓錐曲線的統一定義. 方程可變形為：

■=■，即平面上點P（x，y）到點（-1，-1）的距離與到直線x+y-2=0的距離之比為■，由圓錐曲線的統一定義可知，該方程表示的曲線為雙曲線.

3. 三角函數的有界性：-1≤sinα≤1，-1≤cosα≤1

例3 已知sinx+siny=■，求t=sinx-cos2y的最值.

錯解：由已知條件可得：sinx=■-siny，所以t=sinx-cos2y=■-siny-cos2y=■-siny-（1-sin2y）=sin2y-siny-■=siny-■■-■. 又-1≤siny≤1，所以當siny=■時，t的最小值為-■；當siny=-1時，t的最大值為■.

很多同學在解本題時只關注了 -1≤siny≤1，忽略sinx+siny=■這一隱含條件，事實上，-1≤siny≤1，-1≤■-siny≤1？圯-■≤siny≤1，因此，當siny=■時，t的最小值為-■；當siny=-■時，t的最大值為■.

■從題目條件挖掘隱含條件

1. 思維嚴密，判斷完整

例4 在△ABC中，已知2a=b+c，sin2A=sinBsinC，則△ABC的形狀為____.

結合正弦定理可得：a2=bc，所以4a2=（b+c）2=4bc？圯（b-c）2=0？圯b=c，看似答案是“等腰三角形”，實際上再代入到2a=b+c中，進一步可得a=b=c，所以正確答案是“等邊三角形”. 因此要挖掘條件，用好、用透題中已知條件，判斷完整.

2. 用好“遞進式”問題間的關系

例5 在△ABC中，已知■·■=3■·■.

（1）求證：tanB=3tanA；

（2）若cosC=■，求A的值.

這道題目的第（1）問同學們能很順利地解出來，設△ABC的三邊長分別為a，b，c，則有cbcosA=3cacosB，結合正弦定理得：sinBcosA=3sinAcosB，所以tanB=3tanA. 第（2）問很多同學根據以往解題經驗認為解三角形問題應該要用到正弦、余弦定理，雖然能解，但需要經過多次邊角互化，浪費很多時間，也不一定能得出正確答案. 這是2012年江蘇高考數學的第15題，考試中就有很多同學沒能解出正確結果，解答題的第一題做得這么棘手，也影響了整場考試的發揮. 其實這道題目的設置是“遞進式”設問，如能注意發現第（1）問中tanB=3tanA的關系，結合第（2）問中cosC=■，可以求出tanC=2，然后利用三角形中三個內角和為180°，結合誘導公式可得：tan（A+B）=-2，即■=-2. 又tanB=3tanA，代入前式得：■=-2，所以tanA=1或tanA=-■. 由tanB=3tanA>0可得A∈0，■，所以tanA=1.

注：很多解答題一般以多個設問形式給出，起點低，有梯度，對于這類“遞進式”設問、難度逐漸增大的題目，在解題時我們要擺脫定式思維，充分挖掘隱含信息，注意上一問對下一問的暗示，我們可以通過前一個設問的鋪墊和提示確定下一個問題的解題方向.

■從解題答案挖掘隱含條件

例6 在等比數列{an}中，S2=7，S6=91，則S4=________.

在等比數列中，若Sn≠0，則Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…依次成等比數列，因此可以設S4=x，則7，x-7，91-x成等比，所以（x-7）2=7（91-x）？圯x2-7x-28×21=0？圯x=28或-21，所以S4=28或-21. 此時不禁要問：兩解都符合要求嗎？事實上，本題中S4=（a1+a2）+（a3+a4）=S2+S2×q2=S2·（1+q2）>0，所以S4=28.

因此，當答案中出現兩解時我們要謹慎，注意是否有增根，要舍去其中的解的話一定要找到舍去理由，因為有的題目確實有兩解. 如：“在△ABC中，若b=2asinB，則∠A=________.” 利用正弦定理：■=■？圯sinA=■，所以∠A=30°或150°. 本題確實有兩解.

當然也會存在解出兩解，其中一解不太容易舍去的情況. 比如：

例7 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，已知a+c=10，C=2A，cosA=■.

（1）求■的值；（2）求b的值.

解：（1）由正弦定理可得：■=■=■？圯■=2cosA=■.

（2）由（1）得■=■，a+c=10？圯a=4，c=6. 因為a2=b2+c2-2bccosA，所以16=b2+36-2b×6×■？圯b2-9b+20=0？圯b=4或5.

看上去解答很完美，也比較簡略. 事實上，把b=4代入已知條件發現此時a=b，C=A+B. 又C=2A，所以C=■，A=B=■，這與已知cosA=■產生矛盾. 所以b=5.

所謂“隱含條件”是指隱含在文字敘述中，需要認真分析才能挖掘出來的條件. 現在高考命題總是從一個具體的角度切入并與教材知識點有機結合，將所考查的知識點巧妙地隱藏在所設置的情景中，考查我們是否具備一種去粗取精、去偽存真、由表及里的提煉加工能力. 因此，解題時要能做到“透過現象看本質”，把隱含條件分析挖掘出來，這常常是解題的關鍵.

著名數學家G·波利亞認為：掌握數學就意味著善于解題，不僅要掌握標準題的解法，還要善于獨立思考，并通過自我探索尋找解題途徑.

“透過現象抓住本質”，注意挖掘題目中的隱含條件，巧妙進行變形，既能加快解題速度，又可避免不必要的錯誤. 總之，我們解題能力的提高，不是一朝一夕能做到的，若能牢牢樹立“只看書不做題不行，埋頭做題不總結積累不行”的思想，對待數學題要既能鉆進去，又要能跳出來，堅持有目的、有計劃地進行訓練，這樣做可以使我們的解題能力得到發展和提高！■endprint

例2 方程■=x+y-2表示的曲線是___________.

本題若通過化簡方程，與常見的曲線方程進行比較，得出曲線形狀，運算量大，結果也并不直觀. 應跳出定式思維，注意方程的特點，觀察特征，聯系到圓錐曲線的統一定義. 方程可變形為：

■=■，即平面上點P（x，y）到點（-1，-1）的距離與到直線x+y-2=0的距離之比為■，由圓錐曲線的統一定義可知，該方程表示的曲線為雙曲線.

3. 三角函數的有界性：-1≤sinα≤1，-1≤cosα≤1

例3 已知sinx+siny=■，求t=sinx-cos2y的最值.

錯解：由已知條件可得：sinx=■-siny，所以t=sinx-cos2y=■-siny-cos2y=■-siny-（1-sin2y）=sin2y-siny-■=siny-■■-■. 又-1≤siny≤1，所以當siny=■時，t的最小值為-■；當siny=-1時，t的最大值為■.

很多同學在解本題時只關注了 -1≤siny≤1，忽略sinx+siny=■這一隱含條件，事實上，-1≤siny≤1，-1≤■-siny≤1？圯-■≤siny≤1，因此，當siny=■時，t的最小值為-■；當siny=-■時，t的最大值為■.

■從題目條件挖掘隱含條件

1. 思維嚴密，判斷完整

例4 在△ABC中，已知2a=b+c，sin2A=sinBsinC，則△ABC的形狀為____.

結合正弦定理可得：a2=bc，所以4a2=（b+c）2=4bc？圯（b-c）2=0？圯b=c，看似答案是“等腰三角形”，實際上再代入到2a=b+c中，進一步可得a=b=c，所以正確答案是“等邊三角形”. 因此要挖掘條件，用好、用透題中已知條件，判斷完整.

2. 用好“遞進式”問題間的關系

例5 在△ABC中，已知■·■=3■·■.

（1）求證：tanB=3tanA；

（2）若cosC=■，求A的值.

這道題目的第（1）問同學們能很順利地解出來，設△ABC的三邊長分別為a，b，c，則有cbcosA=3cacosB，結合正弦定理得：sinBcosA=3sinAcosB，所以tanB=3tanA. 第（2）問很多同學根據以往解題經驗認為解三角形問題應該要用到正弦、余弦定理，雖然能解，但需要經過多次邊角互化，浪費很多時間，也不一定能得出正確答案. 這是2012年江蘇高考數學的第15題，考試中就有很多同學沒能解出正確結果，解答題的第一題做得這么棘手，也影響了整場考試的發揮. 其實這道題目的設置是“遞進式”設問，如能注意發現第（1）問中tanB=3tanA的關系，結合第（2）問中cosC=■，可以求出tanC=2，然后利用三角形中三個內角和為180°，結合誘導公式可得：tan（A+B）=-2，即■=-2. 又tanB=3tanA，代入前式得：■=-2，所以tanA=1或tanA=-■. 由tanB=3tanA>0可得A∈0，■，所以tanA=1.

注：很多解答題一般以多個設問形式給出，起點低，有梯度，對于這類“遞進式”設問、難度逐漸增大的題目，在解題時我們要擺脫定式思維，充分挖掘隱含信息，注意上一問對下一問的暗示，我們可以通過前一個設問的鋪墊和提示確定下一個問題的解題方向.

■從解題答案挖掘隱含條件

例6 在等比數列{an}中，S2=7，S6=91，則S4=________.

在等比數列中，若Sn≠0，則Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…依次成等比數列，因此可以設S4=x，則7，x-7，91-x成等比，所以（x-7）2=7（91-x）？圯x2-7x-28×21=0？圯x=28或-21，所以S4=28或-21. 此時不禁要問：兩解都符合要求嗎？事實上，本題中S4=（a1+a2）+（a3+a4）=S2+S2×q2=S2·（1+q2）>0，所以S4=28.

因此，當答案中出現兩解時我們要謹慎，注意是否有增根，要舍去其中的解的話一定要找到舍去理由，因為有的題目確實有兩解. 如：“在△ABC中，若b=2asinB，則∠A=________.” 利用正弦定理：■=■？圯sinA=■，所以∠A=30°或150°. 本題確實有兩解.

當然也會存在解出兩解，其中一解不太容易舍去的情況. 比如：

例7 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，已知a+c=10，C=2A，cosA=■.

（1）求■的值；（2）求b的值.

解：（1）由正弦定理可得：■=■=■？圯■=2cosA=■.

（2）由（1）得■=■，a+c=10？圯a=4，c=6. 因為a2=b2+c2-2bccosA，所以16=b2+36-2b×6×■？圯b2-9b+20=0？圯b=4或5.

看上去解答很完美，也比較簡略. 事實上，把b=4代入已知條件發現此時a=b，C=A+B. 又C=2A，所以C=■，A=B=■，這與已知cosA=■產生矛盾. 所以b=5.

所謂“隱含條件”是指隱含在文字敘述中，需要認真分析才能挖掘出來的條件. 現在高考命題總是從一個具體的角度切入并與教材知識點有機結合，將所考查的知識點巧妙地隱藏在所設置的情景中，考查我們是否具備一種去粗取精、去偽存真、由表及里的提煉加工能力. 因此，解題時要能做到“透過現象看本質”，把隱含條件分析挖掘出來，這常常是解題的關鍵.

著名數學家G·波利亞認為：掌握數學就意味著善于解題，不僅要掌握標準題的解法，還要善于獨立思考，并通過自我探索尋找解題途徑.

“透過現象抓住本質”，注意挖掘題目中的隱含條件，巧妙進行變形，既能加快解題速度，又可避免不必要的錯誤. 總之，我們解題能力的提高，不是一朝一夕能做到的，若能牢牢樹立“只看書不做題不行，埋頭做題不總結積累不行”的思想，對待數學題要既能鉆進去，又要能跳出來，堅持有目的、有計劃地進行訓練，這樣做可以使我們的解題能力得到發展和提高！■endprint