探尋數學解題之“路”

解數學題不僅能提高我們的解題能力，重要的是通過解題的探路過程，讓我們獲得數學思維方法，領悟數學中育人的文化內涵.

題目：a，b，c分別是△ABC三內角A，B，C的對邊，且滿足5（a2-b2）=3c2，求■的值.

解題最容易想到的方法就是最熟悉的思路. 本題已知條件是三角形的三邊關系，結論所要求的是A，B的正切值的比值.我們最熟悉的思路，是利用余弦定理或正弦定理將條件中的邊關系轉化為角關系.

熟路 由正弦定理將5（a2-b2）=3c2轉化為5sin2A-5sin2B=3sin2C，即5sin2A-5sin2B=3sin2Acos2B+6sinA·cosBsinBcosA+3sin2Bcos2A？搖①.

斷路 sin2A（5-3cos2B）-sin2B·（5+3cos2A）=6sinAcosBsinBcosA.

問路 此路為什么不通？是否走錯了方向？其原因在哪？等式的左邊很難繼續變形，且左邊與右邊差異性變大. 這表明移項化簡時缺少全局眼光，沒有考慮到各項之間的關系和所求的目標.

修路 由結論■=■知需要將條件轉化為含有sinAcosB和sinBcosA的因式，即通過適當的變換將5sin2A，5sin2B轉化為與3sin2A·cos2B，3sin2Bcos2A有關的項. 我們不難得5sin2A=5sin2A（sin2B+cos2B），5sin2B=5sin2B（sin2A+cos2A）.

①式可化為5sin2A（sin2B+cos2B）-5sin2B（sin2A+cos2A）=3sin2Acos2B+6sinAcosBsinBcosA+3sin2Bcos2A，即可得sin2Acos2B-3sinAcosBsinBcosA-4sin2Bcos2A=0，（sinAcosB-4sinBcosA）·（sinAcosB+sinBcosA）=0. 又因為tanA+tanB≠0，所以sinAcosB-4sinBcosA=0，即■=4.

熟路 由余弦定理c2=a2+b2-2ab·cosA得5a2-5b2=3a2+3b2-6abcosC，

即2a2-8b2=-6abcosC ②.

回路？搖 一些同學再用余弦定理2abcosC=a2+b2-c2代入②式得5（a2-b2）=3c2重回條件. 余弦定理不行，能否用改用正弦定理？

改路 由正弦定理得2sin2A-8sin2B=6sinAsinB（cosAcosB-sinAsinB）.

斷路 2sin2A-8sin2B+6sin2Asin2B=6sinAsinBcosAcosB（以下變形類似①式，略）.

問路 為什么用余弦定理還是這樣煩瑣？此路真的這樣難走嗎？余弦定理用好了嗎？條件中等式特征發揮作用了嗎？

修路 若用a2=b2+c2-2bccosA，則■c=c-2bcosA，c=5bcosA.

根據正弦定理得sinC=5sinBcosA，即sinAcosB+sinBcosA=5sinBcosA，所以■=4.

改路 由于bcosA是AC在AB上的投影，此題能否利用幾何法進行處理？

在△ABC中，作CD⊥AB，垂足為D，由c=5bcosA得4AD=DB，則■=4.

新路 此題能否直接從條件出發用幾何法進行解決？

設CD為AB邊上的高，記CD=h，AD=x，DB=y，則a2-b2=y2-x2，

5（y2-x2）=3（x+y）2，即5y-5x=3x+3y，y=4x，■=■=4.

新路 以上各思路都是從條件出發，將邊關系轉化為角關系，通過變形化簡求出結論. 此題能否從結論出發，將角關系轉化為邊關系？

■=■=■=■=■=4.

此路需要逆向思維，雖然此路我們不習慣，但確實是一個行之有效的方法.

領悟 多數人解題喜歡走熟路.面對“新”題，由于題目的條件和情境發生了變化，過去的熟路，現在可能成為生路，或對此路感到不習慣了. 那就需要對老路進行修理或改路，然后再上路，甚至重開新路. 不然的話，最終只能“無”路可走. 解數學題是這樣，人生之路也不就是如此嗎？我們學數學，學會解題是必需的，更重要的是要通過學習，提高我們的思維能力，讓我們走進數學，讓數學走進生活. ■endprint

解數學題不僅能提高我們的解題能力，重要的是通過解題的探路過程，讓我們獲得數學思維方法，領悟數學中育人的文化內涵.

題目：a，b，c分別是△ABC三內角A，B，C的對邊，且滿足5（a2-b2）=3c2，求■的值.

解題最容易想到的方法就是最熟悉的思路. 本題已知條件是三角形的三邊關系，結論所要求的是A，B的正切值的比值.我們最熟悉的思路，是利用余弦定理或正弦定理將條件中的邊關系轉化為角關系.

熟路 由正弦定理將5（a2-b2）=3c2轉化為5sin2A-5sin2B=3sin2C，即5sin2A-5sin2B=3sin2Acos2B+6sinA·cosBsinBcosA+3sin2Bcos2A？搖①.

斷路 sin2A（5-3cos2B）-sin2B·（5+3cos2A）=6sinAcosBsinBcosA.

問路 此路為什么不通？是否走錯了方向？其原因在哪？等式的左邊很難繼續變形，且左邊與右邊差異性變大. 這表明移項化簡時缺少全局眼光，沒有考慮到各項之間的關系和所求的目標.

修路 由結論■=■知需要將條件轉化為含有sinAcosB和sinBcosA的因式，即通過適當的變換將5sin2A，5sin2B轉化為與3sin2A·cos2B，3sin2Bcos2A有關的項. 我們不難得5sin2A=5sin2A（sin2B+cos2B），5sin2B=5sin2B（sin2A+cos2A）.

①式可化為5sin2A（sin2B+cos2B）-5sin2B（sin2A+cos2A）=3sin2Acos2B+6sinAcosBsinBcosA+3sin2Bcos2A，即可得sin2Acos2B-3sinAcosBsinBcosA-4sin2Bcos2A=0，（sinAcosB-4sinBcosA）·（sinAcosB+sinBcosA）=0. 又因為tanA+tanB≠0，所以sinAcosB-4sinBcosA=0，即■=4.

熟路 由余弦定理c2=a2+b2-2ab·cosA得5a2-5b2=3a2+3b2-6abcosC，

即2a2-8b2=-6abcosC ②.

回路？搖 一些同學再用余弦定理2abcosC=a2+b2-c2代入②式得5（a2-b2）=3c2重回條件. 余弦定理不行，能否用改用正弦定理？

改路 由正弦定理得2sin2A-8sin2B=6sinAsinB（cosAcosB-sinAsinB）.

斷路 2sin2A-8sin2B+6sin2Asin2B=6sinAsinBcosAcosB（以下變形類似①式，略）.

問路 為什么用余弦定理還是這樣煩瑣？此路真的這樣難走嗎？余弦定理用好了嗎？條件中等式特征發揮作用了嗎？

修路 若用a2=b2+c2-2bccosA，則■c=c-2bcosA，c=5bcosA.

根據正弦定理得sinC=5sinBcosA，即sinAcosB+sinBcosA=5sinBcosA，所以■=4.

改路 由于bcosA是AC在AB上的投影，此題能否利用幾何法進行處理？

在△ABC中，作CD⊥AB，垂足為D，由c=5bcosA得4AD=DB，則■=4.

新路 此題能否直接從條件出發用幾何法進行解決？

設CD為AB邊上的高，記CD=h，AD=x，DB=y，則a2-b2=y2-x2，

5（y2-x2）=3（x+y）2，即5y-5x=3x+3y，y=4x，■=■=4.

新路 以上各思路都是從條件出發，將邊關系轉化為角關系，通過變形化簡求出結論. 此題能否從結論出發，將角關系轉化為邊關系？

■=■=■=■=■=4.

此路需要逆向思維，雖然此路我們不習慣，但確實是一個行之有效的方法.

領悟 多數人解題喜歡走熟路.面對“新”題，由于題目的條件和情境發生了變化，過去的熟路，現在可能成為生路，或對此路感到不習慣了. 那就需要對老路進行修理或改路，然后再上路，甚至重開新路. 不然的話，最終只能“無”路可走. 解數學題是這樣，人生之路也不就是如此嗎？我們學數學，學會解題是必需的，更重要的是要通過學習，提高我們的思維能力，讓我們走進數學，讓數學走進生活. ■endprint

解數學題不僅能提高我們的解題能力，重要的是通過解題的探路過程，讓我們獲得數學思維方法，領悟數學中育人的文化內涵.

題目：a，b，c分別是△ABC三內角A，B，C的對邊，且滿足5（a2-b2）=3c2，求■的值.

解題最容易想到的方法就是最熟悉的思路. 本題已知條件是三角形的三邊關系，結論所要求的是A，B的正切值的比值.我們最熟悉的思路，是利用余弦定理或正弦定理將條件中的邊關系轉化為角關系.

熟路 由正弦定理將5（a2-b2）=3c2轉化為5sin2A-5sin2B=3sin2C，即5sin2A-5sin2B=3sin2Acos2B+6sinA·cosBsinBcosA+3sin2Bcos2A？搖①.

斷路 sin2A（5-3cos2B）-sin2B·（5+3cos2A）=6sinAcosBsinBcosA.

問路 此路為什么不通？是否走錯了方向？其原因在哪？等式的左邊很難繼續變形，且左邊與右邊差異性變大. 這表明移項化簡時缺少全局眼光，沒有考慮到各項之間的關系和所求的目標.

修路 由結論■=■知需要將條件轉化為含有sinAcosB和sinBcosA的因式，即通過適當的變換將5sin2A，5sin2B轉化為與3sin2A·cos2B，3sin2Bcos2A有關的項. 我們不難得5sin2A=5sin2A（sin2B+cos2B），5sin2B=5sin2B（sin2A+cos2A）.

①式可化為5sin2A（sin2B+cos2B）-5sin2B（sin2A+cos2A）=3sin2Acos2B+6sinAcosBsinBcosA+3sin2Bcos2A，即可得sin2Acos2B-3sinAcosBsinBcosA-4sin2Bcos2A=0，（sinAcosB-4sinBcosA）·（sinAcosB+sinBcosA）=0. 又因為tanA+tanB≠0，所以sinAcosB-4sinBcosA=0，即■=4.

熟路 由余弦定理c2=a2+b2-2ab·cosA得5a2-5b2=3a2+3b2-6abcosC，

即2a2-8b2=-6abcosC ②.

回路？搖 一些同學再用余弦定理2abcosC=a2+b2-c2代入②式得5（a2-b2）=3c2重回條件. 余弦定理不行，能否用改用正弦定理？

改路 由正弦定理得2sin2A-8sin2B=6sinAsinB（cosAcosB-sinAsinB）.

斷路 2sin2A-8sin2B+6sin2Asin2B=6sinAsinBcosAcosB（以下變形類似①式，略）.

問路 為什么用余弦定理還是這樣煩瑣？此路真的這樣難走嗎？余弦定理用好了嗎？條件中等式特征發揮作用了嗎？

修路 若用a2=b2+c2-2bccosA，則■c=c-2bcosA，c=5bcosA.

根據正弦定理得sinC=5sinBcosA，即sinAcosB+sinBcosA=5sinBcosA，所以■=4.

改路 由于bcosA是AC在AB上的投影，此題能否利用幾何法進行處理？

在△ABC中，作CD⊥AB，垂足為D，由c=5bcosA得4AD=DB，則■=4.

新路 此題能否直接從條件出發用幾何法進行解決？

設CD為AB邊上的高，記CD=h，AD=x，DB=y，則a2-b2=y2-x2，

5（y2-x2）=3（x+y）2，即5y-5x=3x+3y，y=4x，■=■=4.

新路 以上各思路都是從條件出發，將邊關系轉化為角關系，通過變形化簡求出結論. 此題能否從結論出發，將角關系轉化為邊關系？

■=■=■=■=■=4.

此路需要逆向思維，雖然此路我們不習慣，但確實是一個行之有效的方法.

領悟 多數人解題喜歡走熟路.面對“新”題，由于題目的條件和情境發生了變化，過去的熟路，現在可能成為生路，或對此路感到不習慣了. 那就需要對老路進行修理或改路，然后再上路，甚至重開新路. 不然的話，最終只能“無”路可走. 解數學題是這樣，人生之路也不就是如此嗎？我們學數學，學會解題是必需的，更重要的是要通過學習，提高我們的思維能力，讓我們走進數學，讓數學走進生活. ■endprint