一類三角形問題的兩種常規(guī)解法

三角形的問題一直是高考的重點，縱觀多年的高考試卷，很多題目都是圍繞三角形的角和邊進行拓展，如何解決這一類的問題，嚴謹踏實不丟分，作者憑借多年的經(jīng)驗提出精彩的闡述，希望對同學們有所幫助.

題：△ABC中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，tanC=，

（1）求角C的大小；

（2）若△ABC外接圓的直徑為1，求a2+b2的取值范圍.

這是一道高三復習三角知識時常選的一例，解決第一個問題時首先從條件出發(fā)求出角C的大小，有如下兩種常用方法：

方法1：化角：由已知條件tanC=得=，故sinC（cosA+cosB）=cosC（sinA+sinB），所以sinC·cosA+sinC·cosB=cosC·sinA+cosC·sinB，不難得到sin（C-A）=sin（B-C）. 因為A，B，C∈（0，π），所以C-A∈（-π，π），B-C∈（-π，π），所以C-A=B-C或C-A=π-（B-C）或C-A= -π-（B-C），即C=或B-A=π（舍）或 A-B=π（舍），故C=.

方法2：化邊：由tanC=變形得sinC·cosA+sinC·cosB=cosC·sinA+cosC·sinB. 同時使用正弦、余弦定理得：c·+c·=a·+b·，經(jīng)整理得：ac3+bc3-a3c-b3c=0，進一步可化為c2（a+b）=a3+b3，故有c2（a+b）=（a+b）（a2-ab+b2），？搖所以c2=a2-ab+b2，所以a2+b2-c2=ab，故有==cosC. 因為c∈（0，π），所以c=.

這是對第（1）問的兩種處理方案，顯然方法1較為容易. 但本文所要介紹的重點是第（2）問的處理方法.

方法1：由（1）知c=，又外接圓直徑2R=1，所以c=2RsinC=. 又由余弦定理知c2=a2+b2-2abcosC，即c2=a2+b2-ab=，所以ab=a2+b2-. 又由基本不等式知ab≤，所以a2+b2-≤，所以a2+b2≤，當且僅當a=b時取等號. 再由a2+b2-ab=c2知a2+b2>c2=，所以a2+b2的取值范圍是，. 這一方法是利用了余弦定理及基本不等式求出了a2+b2的最大值，又抓住a2+b2-ab=c2得出a2+b2的下限是. 所用知識廣而不深，處理得靈活便捷.

方法2：由（1）知c=，外接圓直徑2R=1，所以根據(jù)正弦定理a2+b2=（2RsinA）2+（2RsinB）2=4R2·sin2A+4R2sin2B=sin2A+sin2B=+. 又A+B+C=π，C=，B=π-A且A∈0，π，？搖所以原式=+=1-·cos2A+cosπ-2A=1-·cos2A-·cos2A-·sin2A=1-·cos2A-·sin2A=1+sin2A-. 因為A∈0，π，所以2A-∈-，，所以1+sin2A-∈，.

方法2與方法1的風格截然不同，它是利用正弦定理，通過消元將目標式a2+b2逐步化成Asin（ωx+φ）+k的形式，再根據(jù)角的取值范圍求出目標式的取值范圍，這一做法雖沒有方法1快捷，但能把不少的三角公式——兩角和差、降冪公式、輔助角公式作了考查，也不失為一個好方法.

細細體會本題，其實質是已知三角形的一角及其對邊，再求相關目標式的取值范圍，這類問題筆者認為均可利用類似前面的方法1、方法2加以解決. 不妨請看下面兩道變式題.

變式1：已知C=，c=，求△ABC周長l的取值范圍.

分析：為求周長的取值范圍，只需求出a+b的取值范圍.

方法1：c2=a2+b2-2abcosC，所以

（下轉37頁）

a2+b2-ab=，所以（a+b）2-3ab=，所以3ab=（a+b）2-. 又因為ab≤，所以（a+b）2-≤（a+b）2，a+b≤，當且僅當a=b時取“=”. 同時在△ABC中，根據(jù)兩邊之和大于第三邊得a+b>c，所以

方法2：因為C=，c=，所以2R==1，所以a+b=2RsinA+2RsinB=sinA+sinB=sinA+sin-A=sinA+·cosA=·sinA+cosA=·sinA+. 因為A∈0，π，所以A+∈，π，所以a+b∈，.所以周長l的取值范圍是，

變式2：已知C=，c=，求△ABC面積S的取值范圍.

分析：S=absinC，即只需要求出ab的取值范圍.

方法1：由c2=a2+b2-2abcosC得a2+b2-ab=，所以a2+b2=ab+. 又a2+b2≥2ab，所以ab+≥2ab，ab≤. 所以S=absinC≤××=（當且僅當a=b時，取“=”）. 又S=absinC=ab>0（當a，b兩邊中一邊趨向于0時，S趨向于0），所以0

方法2：同樣的，已知ab=2RsinA·2RsinB=sinA·sinB=sinA·sinπ-A=sinA·cosA+sinA=·sinAcosA+sin2A=sin2A+×=+sin2A-·cos2A=+sin2A-. 因為A∈0，π，2A-∈-，，所以ab∈0，，所以S=absinC∈0，.

類似的例子還有許多，在此不一一贅述，兩種方法各有優(yōu)劣. 方法1需對基本不等式能正確應用，對目標式的下限能靈活應對；方法2則需對三角表達式的變形嚴謹踏實，不在符號、數(shù)字上出差錯.

三角形的問題一直是高考的重點，縱觀多年的高考試卷，很多題目都是圍繞三角形的角和邊進行拓展，如何解決這一類的問題，嚴謹踏實不丟分，作者憑借多年的經(jīng)驗提出精彩的闡述，希望對同學們有所幫助.

題：△ABC中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，tanC=，

（1）求角C的大小；

（2）若△ABC外接圓的直徑為1，求a2+b2的取值范圍.

這是一道高三復習三角知識時常選的一例，解決第一個問題時首先從條件出發(fā)求出角C的大小，有如下兩種常用方法：

方法1：化角：由已知條件tanC=得=，故sinC（cosA+cosB）=cosC（sinA+sinB），所以sinC·cosA+sinC·cosB=cosC·sinA+cosC·sinB，不難得到sin（C-A）=sin（B-C）. 因為A，B，C∈（0，π），所以C-A∈（-π，π），B-C∈（-π，π），所以C-A=B-C或C-A=π-（B-C）或C-A= -π-（B-C），即C=或B-A=π（舍）或 A-B=π（舍），故C=.

方法2：化邊：由tanC=變形得sinC·cosA+sinC·cosB=cosC·sinA+cosC·sinB. 同時使用正弦、余弦定理得：c·+c·=a·+b·，經(jīng)整理得：ac3+bc3-a3c-b3c=0，進一步可化為c2（a+b）=a3+b3，故有c2（a+b）=（a+b）（a2-ab+b2），？搖所以c2=a2-ab+b2，所以a2+b2-c2=ab，故有==cosC. 因為c∈（0，π），所以c=.

這是對第（1）問的兩種處理方案，顯然方法1較為容易. 但本文所要介紹的重點是第（2）問的處理方法.

方法1：由（1）知c=，又外接圓直徑2R=1，所以c=2RsinC=. 又由余弦定理知c2=a2+b2-2abcosC，即c2=a2+b2-ab=，所以ab=a2+b2-. 又由基本不等式知ab≤，所以a2+b2-≤，所以a2+b2≤，當且僅當a=b時取等號. 再由a2+b2-ab=c2知a2+b2>c2=，所以a2+b2的取值范圍是，. 這一方法是利用了余弦定理及基本不等式求出了a2+b2的最大值，又抓住a2+b2-ab=c2得出a2+b2的下限是. 所用知識廣而不深，處理得靈活便捷.

方法2：由（1）知c=，外接圓直徑2R=1，所以根據(jù)正弦定理a2+b2=（2RsinA）2+（2RsinB）2=4R2·sin2A+4R2sin2B=sin2A+sin2B=+. 又A+B+C=π，C=，B=π-A且A∈0，π，？搖所以原式=+=1-·cos2A+cosπ-2A=1-·cos2A-·cos2A-·sin2A=1-·cos2A-·sin2A=1+sin2A-. 因為A∈0，π，所以2A-∈-，，所以1+sin2A-∈，.

方法2與方法1的風格截然不同，它是利用正弦定理，通過消元將目標式a2+b2逐步化成Asin（ωx+φ）+k的形式，再根據(jù)角的取值范圍求出目標式的取值范圍，這一做法雖沒有方法1快捷，但能把不少的三角公式——兩角和差、降冪公式、輔助角公式作了考查，也不失為一個好方法.

細細體會本題，其實質是已知三角形的一角及其對邊，再求相關目標式的取值范圍，這類問題筆者認為均可利用類似前面的方法1、方法2加以解決. 不妨請看下面兩道變式題.

變式1：已知C=，c=，求△ABC周長l的取值范圍.

分析：為求周長的取值范圍，只需求出a+b的取值范圍.

方法1：c2=a2+b2-2abcosC，所以

（下轉37頁）

a2+b2-ab=，所以（a+b）2-3ab=，所以3ab=（a+b）2-. 又因為ab≤，所以（a+b）2-≤（a+b）2，a+b≤，當且僅當a=b時取“=”. 同時在△ABC中，根據(jù)兩邊之和大于第三邊得a+b>c，所以

方法2：因為C=，c=，所以2R==1，所以a+b=2RsinA+2RsinB=sinA+sinB=sinA+sin-A=sinA+·cosA=·sinA+cosA=·sinA+. 因為A∈0，π，所以A+∈，π，所以a+b∈，.所以周長l的取值范圍是，

變式2：已知C=，c=，求△ABC面積S的取值范圍.

分析：S=absinC，即只需要求出ab的取值范圍.

方法1：由c2=a2+b2-2abcosC得a2+b2-ab=，所以a2+b2=ab+. 又a2+b2≥2ab，所以ab+≥2ab，ab≤. 所以S=absinC≤××=（當且僅當a=b時，取“=”）. 又S=absinC=ab>0（當a，b兩邊中一邊趨向于0時，S趨向于0），所以0

方法2：同樣的，已知ab=2RsinA·2RsinB=sinA·sinB=sinA·sinπ-A=sinA·cosA+sinA=·sinAcosA+sin2A=sin2A+×=+sin2A-·cos2A=+sin2A-. 因為A∈0，π，2A-∈-，，所以ab∈0，，所以S=absinC∈0，.

類似的例子還有許多，在此不一一贅述，兩種方法各有優(yōu)劣. 方法1需對基本不等式能正確應用，對目標式的下限能靈活應對；方法2則需對三角表達式的變形嚴謹踏實，不在符號、數(shù)字上出差錯.

三角形的問題一直是高考的重點，縱觀多年的高考試卷，很多題目都是圍繞三角形的角和邊進行拓展，如何解決這一類的問題，嚴謹踏實不丟分，作者憑借多年的經(jīng)驗提出精彩的闡述，希望對同學們有所幫助.

題：△ABC中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，tanC=，

（1）求角C的大小；

（2）若△ABC外接圓的直徑為1，求a2+b2的取值范圍.

這是一道高三復習三角知識時常選的一例，解決第一個問題時首先從條件出發(fā)求出角C的大小，有如下兩種常用方法：

方法1：化角：由已知條件tanC=得=，故sinC（cosA+cosB）=cosC（sinA+sinB），所以sinC·cosA+sinC·cosB=cosC·sinA+cosC·sinB，不難得到sin（C-A）=sin（B-C）. 因為A，B，C∈（0，π），所以C-A∈（-π，π），B-C∈（-π，π），所以C-A=B-C或C-A=π-（B-C）或C-A= -π-（B-C），即C=或B-A=π（舍）或 A-B=π（舍），故C=.

方法2：化邊：由tanC=變形得sinC·cosA+sinC·cosB=cosC·sinA+cosC·sinB. 同時使用正弦、余弦定理得：c·+c·=a·+b·，經(jīng)整理得：ac3+bc3-a3c-b3c=0，進一步可化為c2（a+b）=a3+b3，故有c2（a+b）=（a+b）（a2-ab+b2），？搖所以c2=a2-ab+b2，所以a2+b2-c2=ab，故有==cosC. 因為c∈（0，π），所以c=.

這是對第（1）問的兩種處理方案，顯然方法1較為容易. 但本文所要介紹的重點是第（2）問的處理方法.

方法1：由（1）知c=，又外接圓直徑2R=1，所以c=2RsinC=. 又由余弦定理知c2=a2+b2-2abcosC，即c2=a2+b2-ab=，所以ab=a2+b2-. 又由基本不等式知ab≤，所以a2+b2-≤，所以a2+b2≤，當且僅當a=b時取等號. 再由a2+b2-ab=c2知a2+b2>c2=，所以a2+b2的取值范圍是，. 這一方法是利用了余弦定理及基本不等式求出了a2+b2的最大值，又抓住a2+b2-ab=c2得出a2+b2的下限是. 所用知識廣而不深，處理得靈活便捷.

方法2：由（1）知c=，外接圓直徑2R=1，所以根據(jù)正弦定理a2+b2=（2RsinA）2+（2RsinB）2=4R2·sin2A+4R2sin2B=sin2A+sin2B=+. 又A+B+C=π，C=，B=π-A且A∈0，π，？搖所以原式=+=1-·cos2A+cosπ-2A=1-·cos2A-·cos2A-·sin2A=1-·cos2A-·sin2A=1+sin2A-. 因為A∈0，π，所以2A-∈-，，所以1+sin2A-∈，.

方法2與方法1的風格截然不同，它是利用正弦定理，通過消元將目標式a2+b2逐步化成Asin（ωx+φ）+k的形式，再根據(jù)角的取值范圍求出目標式的取值范圍，這一做法雖沒有方法1快捷，但能把不少的三角公式——兩角和差、降冪公式、輔助角公式作了考查，也不失為一個好方法.

細細體會本題，其實質是已知三角形的一角及其對邊，再求相關目標式的取值范圍，這類問題筆者認為均可利用類似前面的方法1、方法2加以解決. 不妨請看下面兩道變式題.

變式1：已知C=，c=，求△ABC周長l的取值范圍.

分析：為求周長的取值范圍，只需求出a+b的取值范圍.

方法1：c2=a2+b2-2abcosC，所以

（下轉37頁）

a2+b2-ab=，所以（a+b）2-3ab=，所以3ab=（a+b）2-. 又因為ab≤，所以（a+b）2-≤（a+b）2，a+b≤，當且僅當a=b時取“=”. 同時在△ABC中，根據(jù)兩邊之和大于第三邊得a+b>c，所以

方法2：因為C=，c=，所以2R==1，所以a+b=2RsinA+2RsinB=sinA+sinB=sinA+sin-A=sinA+·cosA=·sinA+cosA=·sinA+. 因為A∈0，π，所以A+∈，π，所以a+b∈，.所以周長l的取值范圍是，

變式2：已知C=，c=，求△ABC面積S的取值范圍.

分析：S=absinC，即只需要求出ab的取值范圍.

方法1：由c2=a2+b2-2abcosC得a2+b2-ab=，所以a2+b2=ab+. 又a2+b2≥2ab，所以ab+≥2ab，ab≤. 所以S=absinC≤××=（當且僅當a=b時，取“=”）. 又S=absinC=ab>0（當a，b兩邊中一邊趨向于0時，S趨向于0），所以0

方法2：同樣的，已知ab=2RsinA·2RsinB=sinA·sinB=sinA·sinπ-A=sinA·cosA+sinA=·sinAcosA+sin2A=sin2A+×=+sin2A-·cos2A=+sin2A-. 因為A∈0，π，2A-∈-，，所以ab∈0，，所以S=absinC∈0，.

類似的例子還有許多，在此不一一贅述，兩種方法各有優(yōu)劣. 方法1需對基本不等式能正確應用，對目標式的下限能靈活應對；方法2則需對三角表達式的變形嚴謹踏實，不在符號、數(shù)字上出差錯.