三角函數的最值和綜合應用

吳文堯

重點：熟悉基本三角函數最值的求法；通過變形、換元等方法把非基本的三角函數化為基本的三角函數或基本的代數函數的最值問題.

難點：含參數的三角函數最值問題；三角函數最值的綜合應用問題.

1. 三角函數的值域或最值的考查，一般有以下兩種形式：一種是化為一個角的三角函數的形式，如y=Asin（ωx+φ）+k，要注意角的取值范圍的考慮；另一種是轉化為以某一三角函數為未知數的常見函數問題，如y=f（sinx），要注意數形結合思想的應用. 具體類型有：

（1）y=asinx+b（或y=acosx+b）型：利用三角函數的有界性或單調性求解.

（2）y=asinx+bcosx型：引用輔助角化為y=sin（x+φ）的形式再利用三角函數的有界性求解.

（3）y=asin2x+bcosx+c（或y=acos2x+bsinx+c）型：先進行換元，化為一個角的同名三角函數形式的一元二次式，利用配方法或圖象法求解.

（4）y=或y=型：用分離常數法化為只在分母上含有變量的關系，再根據有界性求解.

（5）y=或y=型：可借助直線的斜率的關系用數形結合的方法求解.

（6）含有sinx±cosx，sinx·cosx型：設t=sinx±cosx，將sinx·cosx轉化為t的關系式，化為關于t的函數的最值問題進行處理.

（7）y=asinx+型：利用函數的單調性求解.

2.對于三角函數最值的應用問題通常可用“目標函數”的方法解決，其解題步驟可總結為：“變量→函數→值域”.變量：選擇一個量為目標函數的自變量（通常選擇某一個角為變量）；函數：求出目標函數的解析式及定義域；最值：求出目標函數的值域，即得所需結論.

例1 （2014年高考新課標卷II）設函數f（x）=sin.若存在f（x）的極值點x0滿足x+[f（x0）]2

A. （-∞，-6）∪（6，+∞）

B. （-∞，-4）∪（4，+∞）

C. （-∞，-2）∪（2，+∞）

D. （-∞，-1）∪（4，+∞）

思索 要求得m的取值范圍，只需要得到m滿足的不等式，故把條件“存在f（x）的極值點x0滿足x+[f（x0）]2

破解 由=kπ+解得x0=k+m，此時f（x0）=±. x+[f（x0）]24，即m<-2或m>2. 故選C.

例2 在△ABC中，已知內角A=，邊BC=2. 設內角B=x，周長為y.

（1）求函數y=f（x）的解析式和定義域；

（2）求y的最大值.

思索 三角函數最值的考查更多是綜合性的應用，三角函數中的三角形問題與三角公式的恒等變換的結合是近年高考考查的熱點.本題第（1）問利用正弦定理表示出三角形另兩邊關于角B的函數關系；第（2）問利用三角公式進行恒等變換，將函數化為y=Asin（ωx+φ）+k的形式，再求最值.

破解 （1）△ABC的內角和A+B+C=π，由A=，B>0，C>0得0

（2）因為y=4sinx+cosx+sinx+2=4sinx++2

例3 （2014年高考浙江卷）如圖1，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點A處進行射擊訓練. 已知點A到墻面的距離為AB，某目標點P沿墻面的射線CM移動，此人為了準確瞄準目標點P，需計算由點A觀察點P的仰角θ的大小. 若AB=15 m，AC=25 m，∠BCM=30°，則tanθ的最大值是________.（仰角θ為直線AP和平面ABC所成的角）

圖1

思索 （1）注意到在圖中沒有畫出角θ，所以首先要畫出直線AP和平面ABC所成的角.

圖2

（2）如圖2，要求tanθ的最大值，即求PQ∶QA的最大值，注意到CQ=PQ，所以原問題轉化為：在△AQC中，求兩邊長的比QC∶QA的最大值.已知∠ACQ為定值，因此可選擇∠QAC=φ為目標函數的變量，然后把tanθ表示成φ的函數，進而求出tanθ的最大值.

破解 作PQ⊥BC于Q，則PQ⊥平面ABC，連接AQ，則∠PAQ為直線AP和平面ABC所成的角θ.

由已知，BC=20 m，所以sin∠ACB=，令∠QAC=φ，在△AQC中，由正弦定理可知===AQ，即=sinφ. 又因為CQ=PQ，在Rt△PQA中，tanθ==·sinφ≤，即φ=90°時，tanθ的最大值為.

點評 這是一個立體幾何與三角函數綜合的最值問題，解決這類問題通常有以下兩種方法：一是利用目標函數法解決；二是利用幾何意義法解決. 在用目標函數法求最值時，當可用某一線段長作為目標函數的變量，也可用某一角的大小作為目標函數的變量時，多數情況下選擇以角為變量，因為角的幾何意義比較明顯，且學過的一些三角公式可以發揮作用（如該例題沒有選擇以BQ或CQ為目標函數的變量，而選擇∠QAC為目標函數的變量）. 本題還可以利用幾何意義法解決，你能想到嗎？

例4 （2014年高考遼寧卷）對于c>0，當非零實數a，b滿足4a2-2ab+4b2-c=0，且使u=2a+b最大時，S=-+的最小值為________.

思索 本題可以運用三角代換的方法，把它化歸為三角函數的最值問題.

破解 4a2-2ab+4b2-c=0？圳5（a-b）2+3（a+b）2=2c？圳2+2=1，所以可令a-b=cosθ，a+b=sinθ，解得

a=sinθ+cosθ，b=sinθ-cosθ.？搖所以u=2a+b=（3sinθ+cosθ）=（sinθ+cosθ）=sinθ+cosθ=·sin（θ+φ）（其中φ=arcsin）. 所以θ+φ=時，umax=，此時，sinθ=cosφ=，cosθ=sinφ=.由此可得a=，b=，所以S=-+=-+= -+=--2.所以=，即c=時，Smin=-2.

1.若△ABC的內角滿足sinA+sinB=2sinC，則cosC的最小值是________.

2. 已知函數f（x）=-sin2x++6sinxcosx-2cos2x+1，x∈R.

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）在區間0，上的最大值和最小值.？搖

3. 如圖3，A是單位圓與x軸正半軸的交點，點B，P在單位圓上，且已知B-，，∠AOB=α，∠AOP=θ（0<θ<π），=+，四邊形OAQP的面積為S.

（1）求cosα+sinα；

（2）求·+S的最大值及此時θ的值θ0 .

圖3

4. 已知向量a=cosx，sinx，b=cos，-sin，c=（1，-1），其中 -≤x≤， f（x）=（a+c2-3）（b+c2-3），求f（x）的最大值和最小值.

5. 如圖4，扇形OPQ的半徑為R，圓心角∠POQ=α0<α<，求扇形的內接矩形的面積S的最大值.

圖4

參考答案

1.

2. （1）函數f（x）的最小正周期為π.

（2）函數f（x）的最小值為-2，最大值為2.

3. （1）因B-，，∠AOB=α，cosα=-，sinα=，故cosα+sinα=.

（2）由已知得，A（1，0），P（cosθ，sinθ），所以=（1+cosθ，sinθ），·=1+cosθ. 又S=sinθ，所以·+S=sinθ+cosθ+1=sinθ++1（0<θ<π），則·+S的最大值為+1，此時θ=.

4. 最大值為，最小值為-8.

5. （1）當內接矩形僅有一個頂點在弧PQ上時（如圖5），設∠AOP=θ，在Rt△AOD中，AD=Rsinθ，OD=Rcosθ.在Rt△BOC中，OC=BCcotα=ADcotα=Rsinθcotα，所以CD=OD-OC=Rcosθ-Rsinθcotα.其面積S=f（θ）=CD·DA=R2（sinθcosθ-cotαsin2θ）？搖=R2（sin2θ+cotα·cos2θ-cotα）=·（sin2θsinα+cosα·cos2θ-cosα）=·[cos（α-2θ）-cosα]，所以θ=時，Smax=R2=R2tan.

圖5 圖6

（2）當內接矩形有且僅有兩個頂點在弧PQ上時（如圖6），設弧PQ的中點為T，A，B在OT上的射影分別為F，E，則矩形ABEF是扇形OTP的內接矩形，且僅有一個頂點在弧TP上，∠POT=. 由（1）可知，矩形ABEF的面積的最大值為R2tan，所以矩形ABCD的面積的最大值Smax=R2tan.由于tan=>2tan，所以R2tan>R2tan. 由（1）（2）可知，Smax=R2tan.endprint

破解 4a2-2ab+4b2-c=0？圳5（a-b）2+3（a+b）2=2c？圳2+2=1，所以可令a-b=cosθ，a+b=sinθ，解得

a=sinθ+cosθ，b=sinθ-cosθ.？搖所以u=2a+b=（3sinθ+cosθ）=（sinθ+cosθ）=sinθ+cosθ=·sin（θ+φ）（其中φ=arcsin）. 所以θ+φ=時，umax=，此時，sinθ=cosφ=，cosθ=sinφ=.由此可得a=，b=，所以S=-+=-+= -+=--2.所以=，即c=時，Smin=-2.

1.若△ABC的內角滿足sinA+sinB=2sinC，則cosC的最小值是________.

2. 已知函數f（x）=-sin2x++6sinxcosx-2cos2x+1，x∈R.

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）在區間0，上的最大值和最小值.？搖

3. 如圖3，A是單位圓與x軸正半軸的交點，點B，P在單位圓上，且已知B-，，∠AOB=α，∠AOP=θ（0<θ<π），=+，四邊形OAQP的面積為S.

（1）求cosα+sinα；

（2）求·+S的最大值及此時θ的值θ0 .

圖3

4. 已知向量a=cosx，sinx，b=cos，-sin，c=（1，-1），其中 -≤x≤， f（x）=（a+c2-3）（b+c2-3），求f（x）的最大值和最小值.

5. 如圖4，扇形OPQ的半徑為R，圓心角∠POQ=α0<α<，求扇形的內接矩形的面積S的最大值.

圖4

參考答案

1.

2. （1）函數f（x）的最小正周期為π.

（2）函數f（x）的最小值為-2，最大值為2.

3. （1）因B-，，∠AOB=α，cosα=-，sinα=，故cosα+sinα=.

（2）由已知得，A（1，0），P（cosθ，sinθ），所以=（1+cosθ，sinθ），·=1+cosθ. 又S=sinθ，所以·+S=sinθ+cosθ+1=sinθ++1（0<θ<π），則·+S的最大值為+1，此時θ=.

4. 最大值為，最小值為-8.

5. （1）當內接矩形僅有一個頂點在弧PQ上時（如圖5），設∠AOP=θ，在Rt△AOD中，AD=Rsinθ，OD=Rcosθ.在Rt△BOC中，OC=BCcotα=ADcotα=Rsinθcotα，所以CD=OD-OC=Rcosθ-Rsinθcotα.其面積S=f（θ）=CD·DA=R2（sinθcosθ-cotαsin2θ）？搖=R2（sin2θ+cotα·cos2θ-cotα）=·（sin2θsinα+cosα·cos2θ-cosα）=·[cos（α-2θ）-cosα]，所以θ=時，Smax=R2=R2tan.

圖5 圖6

（2）當內接矩形有且僅有兩個頂點在弧PQ上時（如圖6），設弧PQ的中點為T，A，B在OT上的射影分別為F，E，則矩形ABEF是扇形OTP的內接矩形，且僅有一個頂點在弧TP上，∠POT=. 由（1）可知，矩形ABEF的面積的最大值為R2tan，所以矩形ABCD的面積的最大值Smax=R2tan.由于tan=>2tan，所以R2tan>R2tan. 由（1）（2）可知，Smax=R2tan.endprint

破解 4a2-2ab+4b2-c=0？圳5（a-b）2+3（a+b）2=2c？圳2+2=1，所以可令a-b=cosθ，a+b=sinθ，解得

a=sinθ+cosθ，b=sinθ-cosθ.？搖所以u=2a+b=（3sinθ+cosθ）=（sinθ+cosθ）=sinθ+cosθ=·sin（θ+φ）（其中φ=arcsin）. 所以θ+φ=時，umax=，此時，sinθ=cosφ=，cosθ=sinφ=.由此可得a=，b=，所以S=-+=-+= -+=--2.所以=，即c=時，Smin=-2.

1.若△ABC的內角滿足sinA+sinB=2sinC，則cosC的最小值是________.

2. 已知函數f（x）=-sin2x++6sinxcosx-2cos2x+1，x∈R.

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）在區間0，上的最大值和最小值.？搖

3. 如圖3，A是單位圓與x軸正半軸的交點，點B，P在單位圓上，且已知B-，，∠AOB=α，∠AOP=θ（0<θ<π），=+，四邊形OAQP的面積為S.

（1）求cosα+sinα；

（2）求·+S的最大值及此時θ的值θ0 .

圖3

4. 已知向量a=cosx，sinx，b=cos，-sin，c=（1，-1），其中 -≤x≤， f（x）=（a+c2-3）（b+c2-3），求f（x）的最大值和最小值.

5. 如圖4，扇形OPQ的半徑為R，圓心角∠POQ=α0<α<，求扇形的內接矩形的面積S的最大值.

圖4

參考答案

1.

2. （1）函數f（x）的最小正周期為π.

（2）函數f（x）的最小值為-2，最大值為2.

3. （1）因B-，，∠AOB=α，cosα=-，sinα=，故cosα+sinα=.

（2）由已知得，A（1，0），P（cosθ，sinθ），所以=（1+cosθ，sinθ），·=1+cosθ. 又S=sinθ，所以·+S=sinθ+cosθ+1=sinθ++1（0<θ<π），則·+S的最大值為+1，此時θ=.

4. 最大值為，最小值為-8.

5. （1）當內接矩形僅有一個頂點在弧PQ上時（如圖5），設∠AOP=θ，在Rt△AOD中，AD=Rsinθ，OD=Rcosθ.在Rt△BOC中，OC=BCcotα=ADcotα=Rsinθcotα，所以CD=OD-OC=Rcosθ-Rsinθcotα.其面積S=f（θ）=CD·DA=R2（sinθcosθ-cotαsin2θ）？搖=R2（sin2θ+cotα·cos2θ-cotα）=·（sin2θsinα+cosα·cos2θ-cosα）=·[cos（α-2θ）-cosα]，所以θ=時，Smax=R2=R2tan.

圖5 圖6

（2）當內接矩形有且僅有兩個頂點在弧PQ上時（如圖6），設弧PQ的中點為T，A，B在OT上的射影分別為F，E，則矩形ABEF是扇形OTP的內接矩形，且僅有一個頂點在弧TP上，∠POT=. 由（1）可知，矩形ABEF的面積的最大值為R2tan，所以矩形ABCD的面積的最大值Smax=R2tan.由于tan=>2tan，所以R2tan>R2tan. 由（1）（2）可知，Smax=R2tan.endprint