平面向量的數量積及其應用

邱小瑾

重點：①掌握向量的數量積的定義，體會平面向量的數量積與向量投影的關系，并理解其幾何意義；②掌握平面向量數量積的重要性質及運算律，掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量積的運算；③能運用平面向量的數量積處理三角、幾何等問題.

難點：①從數與形兩個方面體會向量數量積的定義，理解向量數量積的相關性質并能進行簡單的探究；②運用向量數量積工具性的作用，靈活處理向量與幾何、圓錐曲線、三角函數等其他數學知識的綜合問題.

在解決關于向量數量積的問題時，一是要善于運用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換，正確地進行向量的各種運算，進一步加深對“向量”這一二維性的量的本質的認識，并體會用向量處理問題的優越性；二是向量的坐標運算體現了數與形互相轉化和密切結合的思想，所以要通過向量法和坐標法的運用，進一步體會數形結合思想在解決數學問題上的作用. 本節內容常見的題型與方法是：

（1）數量積概念的考查：要理解向量的數量積為“數”的意義，要注意向量的數量積的運算律不同于實數乘法的運算律，向量的數量積運算不滿足結合律等.

（2）數量積公式與性質的應用：分為“基底法”與“坐標法”兩類處理.

求長度：a·a=a2=a2=x2+y2.

證垂直、平行：a⊥b？圳x1x2+y■y■=0；a∥b？圳x1y2-x2y1=0.

求兩直線夾角：cosθ=■=■（可用于判定角是銳角還是鈍角）.

（3）數量積與其他數學知識的交匯與融合.

例1 設a，b，c是任意的非零向量，且互不共線. 已知下列命題：

①（a·b）·c-（c·a）·b=0；

②a-b

③（b·c）·a-（c·a）·b不與c垂直；

④（3a+2b）（3a-2b）=9a2-4b2.

其中是真命題的有（ ）

A. ①② B. ②③

C. ③④ D. ②④

思索 因為向量的數量積是新運算，所以不能將代數運算的運算律完全照搬過來. 以下三點要特別注意：①在代數中我們常用的“若ab=0，則a=0或b=0”在向量的數量積中不適用. ②由a·b=b·c不能推出a=c，即等式兩邊都是數量積時，其公因式不能約去. 另外，我們學習的向量運算中沒有除法，相約的實質是相除，這是不允許的. ③結合律對數量積不成立，即（a·b）c≠a（b·c）.

破解 對于①，只有b和c方向相同時，兩者才可能相等，所以①錯. 考慮②式對應的幾何意義，由“三角形兩邊之差小于第三邊”知②正確.因為[（b·c）·a-（c·a）·b]·c=0，所以（b·c）·a-（c·a）·b與c垂直，③錯. 對于④，向量的乘法運算符合多項式乘法法則，所以④對. 答案為D.

例2 （2014年高考湖北卷） 設向量a=（3，3），b=（1，-1）. 若（a+λb）⊥（a-λb），則實數λ=________.

思索 本題考查兩向量垂直的性質的應用，利用數量積為零可求得λ的值.

破解 因為a+λb=（3+λ，3-λ），a-λb=（3-λ，3+λ），又（a+λb）⊥（a-λb），所以（a+λb）·（a-λb）=（3+λ）·（3-λ）+（3-λ）（3+λ）=0，解得λ=±3.

例3 （2014年高考四川卷） 平面向量a=（1，2），b=（4，2），c=ma+b（m∈R），且c與a的夾角等于c與b的夾角，則m等于（ ）

A. -2？搖？搖？搖？搖？搖 B. -1？搖？搖？搖？搖？搖？搖C. 1？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖D. 2

思索 本題考查數量積求角的坐標公式，求出c后代入公式即可.

破解 因為a=（1，2），b=（4，2），c=ma+b，所以c=（m+4，2m+2）. 由已知可得cos？骉a，c？骍=cos？骉b，c？骍，所以=，

即=，所以m=2. 選D.

例4 （2014年高考天津卷） 已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD=120°，點E，F分別在邊BC，DC上，BE=λBC，DF=μDC. 若·=1，·= -，則λ+μ等于（ ）

A. ？搖？搖？搖？搖？搖B.？搖？搖？搖？搖？搖 C.？搖？搖？搖？搖 D.

思索 這是近年高考的熱點題目，一般有“基底法”與“坐標法”兩種處理方法. 一是先建立坐標系，分別求得相關坐標，再利用數量積公式列出方程求解；二是直接利用向量運算變形，其過程要用到向量的數量積公式及求模公式，達到同樣的求解目的.

破解 建立如圖1所示的坐標系，則A（-1，0），B（0，-），C（1，0），D（0，）.

設E（x1，y1），F（x2，y2）. 由BE=λBC得（x1，y1+）=λ（1，），解得x1=λ，y1=（λ-1），即點E（λ，（λ-1））.

由DF=μDC得（x2，y2-）=μ（1，-），解得x2=μ，y2=（1-μ），即點F（μ，（1-μ））.

又因為·=（λ+1，（λ-1））·（μ+1，（1-μ））=1 ①，·=（λ-1，（λ-1））·（μ-1，·（1-μ））=- ②.

由①-②得λ+μ=.

圖1

例5 平面上，⊥，==1，=+，若<，則的取值范圍是_____.

思索 考慮求的取值范圍，則構建關于的不等式或不等式組. 由于題目中給出了<，所以要圍繞<去求的取值范圍. 先把用來表示. 由⊥，==1可得=+-，平方轉化得 2=2-2，再代入<，求出的取值范圍.

破解 因為⊥，所以得·=（-）·（-）？圯·-·-·+2=0？圯·-·-·=-2. 因為=+？圯-=-+-，所以=+-. 因為==1，所以 2=1+1+2+2（·-·-·），所以 2=2-2. 又<，0≤2<，所以<2≤2，即∈，.

例6 已知銳角三角形ABC中的三個內角分別為A，B，C.

（1）設·=·，求證：△ABC是等腰三角形；

（2）設向量s=2sinC，-，t=cos2C，2cos2-1，且s∥t，若sinA=，求sin-B的值.

思索 向量的數量積既反映了長度關系又體現了角度關系，它是解決三角形問題的較好方法. 因此，這類問題在高考試題中總是大量存在，復習時要引起足夠的重視.

破解 （1）因為·=·，所以·（-）=0.又++=0，所以=-（+），所以-（+）·（-）=0，所以2-2=0.所以2=2，即=，故△ABC為等腰三角形.？搖

（2）因為s∥t，故2sinC2cos2-1=

-cos2C，所以sin2C=-cos2C，即tan2C=-.因為C為銳角，所以2C∈（0，π），所以2C=，解得C=. 所以A=-B，從而有sin-B=sin-B？搖-=sinA-. 又sinA=，且A為銳角，所以cosA=，所以sin-B=sinA-=sinAcos-cosAsin=.

1. 已知a，b是兩個非零向量，同時滿足a=b=a-b，求a與a+b的夾角.

2. 已知向量a≠e，e=1，滿足：對任意t∈R，恒有a-te≥a-e，則（ ）

A. a⊥e B. a⊥（a-e）

C. e⊥（a-e） D. （a+e）⊥（a-e）

3. 已知平面上三點A，B，C滿足=3，=4，=5，則·+·+·的值等于_______.

4. 如圖2，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是邊BC上一點，DC=2BD，則·=_______.

圖2

5. 給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為120°. 如圖3所示，點C在以O為圓心的圓弧AB上變動. 若=x+y，其中x，y∈R，則x+y的最大值是_________.

圖3

參考答案

1. 根據a=b，有a2=b2，又由b=a-b得b2=a2-2a·b+b2，所以a·b=a2. 而a+b2=a2+2a·b+b2=3a2，所以a+b=a. 設a與a+b的夾角為θ，則cosθ===. 所以θ=30°.

2. 解法一：由已知，任意t∈R，恒有a-te≥a-e成立，所以a-te2≥a-e2，即a2-2ta·e+t2e2≥a2-2a·e+e2，所以t2-2ta·e+2a·e-1≥0恒成立？圳Δ≤0，即4（a·e）2-4（2a·e-1）≤0？圳（a·e-1）2≤0，所以a·e-1=a·e-e2=e·（a-e）=0，即e⊥（a-e）. 選C.

解法二：如圖4所示，構造圖象解題. 設=a，=e，=a-e，顯然，當OB⊥BE時，a-te≥a-e恒成立.

圖4

3. 注意到++=0，兩邊平方可得2+2+2+2·+2·+2·=0，所以·+·+·=-25.

4. 由=2得-=2（-），即=+，=-，所以·=2+·-2=-.

5. 解法一：設∠AOC=α（α∈[0，120°]），則·=x·+y，·=x·+y·，即cosα=x-y，cos（120°-α）=-x+y.

所以x+y=2[cosα+cos（120°-α）]=2sinα+≤2.

解法二：如圖5所示，建立直角坐標系，則A（1，0），B-，，設∠AOC=α，則cosα=x-y，sinα=y，即x=cosα+sinα，y=sinα，所以x+y=2sinα+≤2.

圖5endprint

例6 已知銳角三角形ABC中的三個內角分別為A，B，C.

（1）設·=·，求證：△ABC是等腰三角形；

（2）設向量s=2sinC，-，t=cos2C，2cos2-1，且s∥t，若sinA=，求sin-B的值.

思索 向量的數量積既反映了長度關系又體現了角度關系，它是解決三角形問題的較好方法. 因此，這類問題在高考試題中總是大量存在，復習時要引起足夠的重視.

破解 （1）因為·=·，所以·（-）=0.又++=0，所以=-（+），所以-（+）·（-）=0，所以2-2=0.所以2=2，即=，故△ABC為等腰三角形.？搖

（2）因為s∥t，故2sinC2cos2-1=

-cos2C，所以sin2C=-cos2C，即tan2C=-.因為C為銳角，所以2C∈（0，π），所以2C=，解得C=. 所以A=-B，從而有sin-B=sin-B？搖-=sinA-. 又sinA=，且A為銳角，所以cosA=，所以sin-B=sinA-=sinAcos-cosAsin=.

1. 已知a，b是兩個非零向量，同時滿足a=b=a-b，求a與a+b的夾角.

2. 已知向量a≠e，e=1，滿足：對任意t∈R，恒有a-te≥a-e，則（ ）

A. a⊥e B. a⊥（a-e）

C. e⊥（a-e） D. （a+e）⊥（a-e）

3. 已知平面上三點A，B，C滿足=3，=4，=5，則·+·+·的值等于_______.

4. 如圖2，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是邊BC上一點，DC=2BD，則·=_______.

圖2

5. 給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為120°. 如圖3所示，點C在以O為圓心的圓弧AB上變動. 若=x+y，其中x，y∈R，則x+y的最大值是_________.

圖3

參考答案

1. 根據a=b，有a2=b2，又由b=a-b得b2=a2-2a·b+b2，所以a·b=a2. 而a+b2=a2+2a·b+b2=3a2，所以a+b=a. 設a與a+b的夾角為θ，則cosθ===. 所以θ=30°.

2. 解法一：由已知，任意t∈R，恒有a-te≥a-e成立，所以a-te2≥a-e2，即a2-2ta·e+t2e2≥a2-2a·e+e2，所以t2-2ta·e+2a·e-1≥0恒成立？圳Δ≤0，即4（a·e）2-4（2a·e-1）≤0？圳（a·e-1）2≤0，所以a·e-1=a·e-e2=e·（a-e）=0，即e⊥（a-e）. 選C.

解法二：如圖4所示，構造圖象解題. 設=a，=e，=a-e，顯然，當OB⊥BE時，a-te≥a-e恒成立.

圖4

3. 注意到++=0，兩邊平方可得2+2+2+2·+2·+2·=0，所以·+·+·=-25.

4. 由=2得-=2（-），即=+，=-，所以·=2+·-2=-.

5. 解法一：設∠AOC=α（α∈[0，120°]），則·=x·+y，·=x·+y·，即cosα=x-y，cos（120°-α）=-x+y.

所以x+y=2[cosα+cos（120°-α）]=2sinα+≤2.

解法二：如圖5所示，建立直角坐標系，則A（1，0），B-，，設∠AOC=α，則cosα=x-y，sinα=y，即x=cosα+sinα，y=sinα，所以x+y=2sinα+≤2.

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例6 已知銳角三角形ABC中的三個內角分別為A，B，C.

（1）設·=·，求證：△ABC是等腰三角形；

（2）設向量s=2sinC，-，t=cos2C，2cos2-1，且s∥t，若sinA=，求sin-B的值.

思索 向量的數量積既反映了長度關系又體現了角度關系，它是解決三角形問題的較好方法. 因此，這類問題在高考試題中總是大量存在，復習時要引起足夠的重視.

破解 （1）因為·=·，所以·（-）=0.又++=0，所以=-（+），所以-（+）·（-）=0，所以2-2=0.所以2=2，即=，故△ABC為等腰三角形.？搖

（2）因為s∥t，故2sinC2cos2-1=

-cos2C，所以sin2C=-cos2C，即tan2C=-.因為C為銳角，所以2C∈（0，π），所以2C=，解得C=. 所以A=-B，從而有sin-B=sin-B？搖-=sinA-. 又sinA=，且A為銳角，所以cosA=，所以sin-B=sinA-=sinAcos-cosAsin=.

1. 已知a，b是兩個非零向量，同時滿足a=b=a-b，求a與a+b的夾角.

2. 已知向量a≠e，e=1，滿足：對任意t∈R，恒有a-te≥a-e，則（ ）

A. a⊥e B. a⊥（a-e）

C. e⊥（a-e） D. （a+e）⊥（a-e）

3. 已知平面上三點A，B，C滿足=3，=4，=5，則·+·+·的值等于_______.

4. 如圖2，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是邊BC上一點，DC=2BD，則·=_______.

圖2

5. 給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為120°. 如圖3所示，點C在以O為圓心的圓弧AB上變動. 若=x+y，其中x，y∈R，則x+y的最大值是_________.

圖3

參考答案

1. 根據a=b，有a2=b2，又由b=a-b得b2=a2-2a·b+b2，所以a·b=a2. 而a+b2=a2+2a·b+b2=3a2，所以a+b=a. 設a與a+b的夾角為θ，則cosθ===. 所以θ=30°.

2. 解法一：由已知，任意t∈R，恒有a-te≥a-e成立，所以a-te2≥a-e2，即a2-2ta·e+t2e2≥a2-2a·e+e2，所以t2-2ta·e+2a·e-1≥0恒成立？圳Δ≤0，即4（a·e）2-4（2a·e-1）≤0？圳（a·e-1）2≤0，所以a·e-1=a·e-e2=e·（a-e）=0，即e⊥（a-e）. 選C.

解法二：如圖4所示，構造圖象解題. 設=a，=e，=a-e，顯然，當OB⊥BE時，a-te≥a-e恒成立.

圖4

3. 注意到++=0，兩邊平方可得2+2+2+2·+2·+2·=0，所以·+·+·=-25.

4. 由=2得-=2（-），即=+，=-，所以·=2+·-2=-.

5. 解法一：設∠AOC=α（α∈[0，120°]），則·=x·+y，·=x·+y·，即cosα=x-y，cos（120°-α）=-x+y.

所以x+y=2[cosα+cos（120°-α）]=2sinα+≤2.

解法二：如圖5所示，建立直角坐標系，則A（1，0），B-，，設∠AOC=α，則cosα=x-y，sinα=y，即x=cosα+sinα，y=sinα，所以x+y=2sinα+≤2.

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