平面向量的概念與平面向量基本定理

褚人統

重點：①平面向量的概念；②平面向量的加法與減法的三角形法則、平行四邊形法則，運算律及其性質；③向量數乘的定義及其運算律；④

1. 飲水思源——運算律法

向量加、減法的運算法則在形式上與實數的加、減法的運算法則相同. 因此，實數運算中的去括號、移項、合并同類項的變形手段在平面向量的線性運算中仍然有效.

2. 借石攻玉——幾何意義法

數缺形時少直觀，形少數時難入微. 在求解平面向量的線性運算過程中要善于把握“向量幾何意義”這一利器，注意平面向量的三角形法則和平行四邊形法則適用的條件：運用平行四邊形法則時兩個向量的起點必須重合；運用三角形法則時兩個向量必須首尾相接，否則就要把向量進行平移，使之符合條件.

3. 中間橋梁——待定系數法

有關向量共線或三點共線的問題，常利用向量共線定理（向量b與非零向量a共線的充要條件是“有且只有一個實數λ使b=λa”）得到關于相關參數的方程組，通過待定系數這一橋梁，使得這類難題變得平凡. 注意：向量共線也稱向量平行，它與直線平行有區別. 直線平行不包括共線（即重合）的情況，而向量平行則包括共線（重合）的情況.

4. 移花接木——平面向量基本定理

平面向量基本定理實際上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理論依據，也是向量坐標表示的基礎. 用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用平面向量的基本定理將條件和結論表示成基底的線性組合，再通過向量的運算來證明. 在基底未給出的情況下，合理地選取基底會給解題帶來方便.

1. 平面向量的有關概念

例1 （2014年高考遼寧卷）設a，b，c是非零向量. 已知命題p：若a·b=0，b·c=0，則a·c=0；命題q：若a∥b，b∥c，則a∥c.下列命題中真命題是（ ）

A. p∨q B. p∧q

C. （？劭p）∧（？劭q） D. p∨（？劭q）

思索 向量作為工具所起的作用有兩個：一是向量可以作為語言工具，二是向量可以作為解決幾何問題的工具. 本題就是向量作為語言工具的體現.

破解 首先要注意大前提：a，b，c是非零向量.所以，無論此題是平面向量背景還是空間向量背景，a與b垂直，且b與c垂直，都無法推出a與c垂直，命題p一定是錯誤的. 同理，a與b平行，且b與c平行，都可以推出a與c平行，命題q一定是正確的. 接下來，就是命題運算了. 答案為A.

2. 平面向量的線性運算

例2 如圖1，向量e1，e2，a的起點與終點均在正方形網格的格點上，則向量a可用基底e1，e2表示為（ ）

A. e1+e2

B. -2e1+e2

C. 2e1-e2

D. 2e1+e2

思索 利用向量的加法及實數與向量數乘的幾何意義，即可得正確選項.

破解 如圖2所示，a=+= -2e1+e2，應選B.

3.平面向量的線性運算與幾何運算的關系

例3 已知△ABC的面積為12，P是△ABC所在平面上的一點，滿足++2=3，則△ABP的面積為（ ）

A. 3 B. 4 C. 6 D. 9

思索 由于題中只給了一個條件++2=3，那么解題的關鍵就是怎樣使用該條件. 等式左邊這三個向量不太好直接相加，所以把等式右邊的3拆成3（-），結合向量共線定理，即可判斷出點P的位置，從而可得出△ABP的面積與△ABC的面積的關系，即可求出△ABP的面積.

破解 由++2=3得++2=3（-），所以4+2（-）=0，所以2=. 由此可得PA與CB平行且CB=2PA，故△ABP的面積為△ABC的面積的一半，應選C.

4. 平面向量的共線定理

例4 （2014年高考新課標卷I）已知A，B，C為圓O上三點，若=（+），則與的夾角為________.

思索 平面上三點共線的充要條件：若平面上三點A，B，C共線，O是另外一個定點，則必存在實數m，n，使得=m+n成立，其中m+n=1；或存在λ，使得=λ+（1-λ）·成立.

破解 由=（+）得出點O是△ABC的邊BC的中點，所以BC就是圓O的直徑，根據圓的幾何性質有與的夾角為90°.

5. 平面向量定理

例5 如圖3，已知△OAB，點P是在線段OB及AB的延長線所圍成的陰影區域內（含邊界）的任意一點，且=x+y，則在直角坐標平面上，實數對（x，y）所表示的區域在直線y=4的下側部分的面積是________.

圖3

思索 筆者曾在今年4月份在一次數學模擬考試中用了此題，讓我的高三學生（省首批一級重點中學）做了一下，但只有的學生得出了正確的結果. 錯誤的原因主要有兩處：第一處，大部分同學不知道如何著手建立與，的關系，從而無法發現x，y的正確范圍；第二處，當然也有少數同學通過中介找出了與，正確的關系，但在不等式關系轉換時還是發生了錯誤. 這是一道綜合性比較高的好題.

破解 在這里由于與，的關系的幾何特征不明顯，要直接把表示成x+y的形式，很難發現實數x，y的范圍，就是估計出來也是不確切的.因此，在原來的圖中，只要連接BP，則由題意有=+=+m+n，其中m≥0 ，n≥0（這個范圍是確切的）. 則=（m+1）·+n=（m+1）+n（-）=（-n）·+（m+n+1），所以有x=-n，y=m+n+1.可以推出x≤0，y+x-1≥0，則在直線y=4的下側部分的可行域如圖4所示，面積為.

6.用平面向量基本定理來表示向量

例6 如圖5，點E是平行四邊形ABCD對角線BD的n（n∈N且n≥2）等分點中最靠近點D的那點. 線段AE的延長線交CD于點F，則向量可用與表示為_________.endprint

圖5

思索 這里選取與兩不共線向量為基底，利用點E是平行四邊形ABCD對角線BD的n（n∈N且n≥2）等分點中最靠近點D的那點，求出與的關系；再利用向量的加法，即可用與表示出.

破解 依題意與圖形得==（n∈N且n≥2），所以=，所以=+=+，即=+.

1. 設O是正三角形ABC的中心，則向量，，是（ ）

A. 相等向量

B. 模相等的向量

C. 共線向量

D. 共起點的向量

2. 如圖6，e1，e2是互相垂直的單位向量，則向量a-b可表示為（ ）

A. -2e1-4e2

B. 3e2-e1

C. 3e1-e2

D. e1-3e2

3. 設向量e1和e2是某一平面內所有向量的一組基底，若3xe1+（10-y）e2=（4y-7）e1+2xe2，則實數y的值為（ ）

A. 3 B. 4

C. - D. -

4. 如圖7，在平行四邊形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，·=2，則·=______.

圖7

5. 如圖8，四邊形ABCD是正方形，延長CD至E，使得DE=CD，若動點P從點A出發，沿正方形的邊按如下路線運動：A→B→C→D→E→A→D.

（1）當點P為邊BC的中點時，請用，表示；？搖

（2）滿足=λ+μ且λ+μ=1的點P有幾個？

參考答案

1. 因為點O是△ABC的中心，所以點O到△ABC的三個頂點的距離都相等，即==，所以應選B.

2. 如圖9，a-b==-=e1-3e2. 選D.

圖9

3. 因為3xe1+（10-y）e2=（4y-7）e1+2xe2，所以（3x-4y+7）e1+（10-y-2x）e2=0. 又因為向量e1和e2是某一平面內所有向量的一組基底，所以可得3x-4y+7=0，10-y-2x=0，解得x=3，y=4.選B.

4. 以，為基底，將已知條件中的有關向量用，表示出來，列方程組求解. =+，=-+；代入·=2，得 -2-·+2=2，得·=22.

5. （1）因為點P為邊BC的中點，所以=+？搖①. 因為DE=CD，所以=2，所以=+=+2=-2. 因為，不共線，根據平面向量基本定理，存在實數λ，μ，使=λ+μ，所以=（λ-2μ）+μ？搖②. 因為，不共線，由①②可得λ-2μ=，μ=，解得λ=，μ=.所以=+.

（2）若λ+μ=1，則λ=1-μ，因為=λ+μ，所以=（1-μ）+μ，所以-=μ（-），所以=μ，所以B，P，E三點共線，所以動點P落在點B，E，以及BE與邊AD的交線上，即滿足λ+μ=1的點P有三個.endprint

圖5

思索 這里選取與兩不共線向量為基底，利用點E是平行四邊形ABCD對角線BD的n（n∈N且n≥2）等分點中最靠近點D的那點，求出與的關系；再利用向量的加法，即可用與表示出.

破解 依題意與圖形得==（n∈N且n≥2），所以=，所以=+=+，即=+.

1. 設O是正三角形ABC的中心，則向量，，是（ ）

A. 相等向量

B. 模相等的向量

C. 共線向量

D. 共起點的向量

2. 如圖6，e1，e2是互相垂直的單位向量，則向量a-b可表示為（ ）

A. -2e1-4e2

B. 3e2-e1

C. 3e1-e2

D. e1-3e2

3. 設向量e1和e2是某一平面內所有向量的一組基底，若3xe1+（10-y）e2=（4y-7）e1+2xe2，則實數y的值為（ ）

A. 3 B. 4

C. - D. -

4. 如圖7，在平行四邊形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，·=2，則·=______.

圖7

5. 如圖8，四邊形ABCD是正方形，延長CD至E，使得DE=CD，若動點P從點A出發，沿正方形的邊按如下路線運動：A→B→C→D→E→A→D.

（1）當點P為邊BC的中點時，請用，表示；？搖

（2）滿足=λ+μ且λ+μ=1的點P有幾個？

參考答案

1. 因為點O是△ABC的中心，所以點O到△ABC的三個頂點的距離都相等，即==，所以應選B.

2. 如圖9，a-b==-=e1-3e2. 選D.

圖9

3. 因為3xe1+（10-y）e2=（4y-7）e1+2xe2，所以（3x-4y+7）e1+（10-y-2x）e2=0. 又因為向量e1和e2是某一平面內所有向量的一組基底，所以可得3x-4y+7=0，10-y-2x=0，解得x=3，y=4.選B.

4. 以，為基底，將已知條件中的有關向量用，表示出來，列方程組求解. =+，=-+；代入·=2，得 -2-·+2=2，得·=22.

5. （1）因為點P為邊BC的中點，所以=+？搖①. 因為DE=CD，所以=2，所以=+=+2=-2. 因為，不共線，根據平面向量基本定理，存在實數λ，μ，使=λ+μ，所以=（λ-2μ）+μ？搖②. 因為，不共線，由①②可得λ-2μ=，μ=，解得λ=，μ=.所以=+.

（2）若λ+μ=1，則λ=1-μ，因為=λ+μ，所以=（1-μ）+μ，所以-=μ（-），所以=μ，所以B，P，E三點共線，所以動點P落在點B，E，以及BE與邊AD的交線上，即滿足λ+μ=1的點P有三個.endprint

圖5

思索 這里選取與兩不共線向量為基底，利用點E是平行四邊形ABCD對角線BD的n（n∈N且n≥2）等分點中最靠近點D的那點，求出與的關系；再利用向量的加法，即可用與表示出.

破解 依題意與圖形得==（n∈N且n≥2），所以=，所以=+=+，即=+.

1. 設O是正三角形ABC的中心，則向量，，是（ ）

A. 相等向量

B. 模相等的向量

C. 共線向量

D. 共起點的向量

2. 如圖6，e1，e2是互相垂直的單位向量，則向量a-b可表示為（ ）

A. -2e1-4e2

B. 3e2-e1

C. 3e1-e2

D. e1-3e2

3. 設向量e1和e2是某一平面內所有向量的一組基底，若3xe1+（10-y）e2=（4y-7）e1+2xe2，則實數y的值為（ ）

A. 3 B. 4

C. - D. -

4. 如圖7，在平行四邊形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，·=2，則·=______.

圖7

5. 如圖8，四邊形ABCD是正方形，延長CD至E，使得DE=CD，若動點P從點A出發，沿正方形的邊按如下路線運動：A→B→C→D→E→A→D.

（1）當點P為邊BC的中點時，請用，表示；？搖

（2）滿足=λ+μ且λ+μ=1的點P有幾個？

參考答案

1. 因為點O是△ABC的中心，所以點O到△ABC的三個頂點的距離都相等，即==，所以應選B.

2. 如圖9，a-b==-=e1-3e2. 選D.

圖9

3. 因為3xe1+（10-y）e2=（4y-7）e1+2xe2，所以（3x-4y+7）e1+（10-y-2x）e2=0. 又因為向量e1和e2是某一平面內所有向量的一組基底，所以可得3x-4y+7=0，10-y-2x=0，解得x=3，y=4.選B.

4. 以，為基底，將已知條件中的有關向量用，表示出來，列方程組求解. =+，=-+；代入·=2，得 -2-·+2=2，得·=22.

5. （1）因為點P為邊BC的中點，所以=+？搖①. 因為DE=CD，所以=2，所以=+=+2=-2. 因為，不共線，根據平面向量基本定理，存在實數λ，μ，使=λ+μ，所以=（λ-2μ）+μ？搖②. 因為，不共線，由①②可得λ-2μ=，μ=，解得λ=，μ=.所以=+.

（2）若λ+μ=1，則λ=1-μ，因為=λ+μ，所以=（1-μ）+μ，所以-=μ（-），所以=μ，所以B，P，E三點共線，所以動點P落在點B，E，以及BE與邊AD的交線上，即滿足λ+μ=1的點P有三個.endprint