折出一片天地來

仇珺

一張正方形的紙?jiān)谌藗兊氖种心茏兂墒裁矗看鸢甘牵阂恢惶禊Z，一朵玫瑰，一個(gè)機(jī)器人，一名騎士……這不是魔術(shù)表演，而是我們剛懂事時(shí)就曾經(jīng)迷戀的折紙.雖然我們都有過折紙的經(jīng)歷，但是大多都在折疊后便收了起來，并不會(huì)去思考更深層次的問題. 事實(shí)上，折紙是一項(xiàng)教育與娛樂兩者兼?zhèn)涞幕顒?dòng)，它不僅超越了許多文化，成為一門藝術(shù)，更蘊(yùn)藏了豐富多彩的數(shù)學(xué)原理.

折紙與幾何的聯(lián)系

折紙的歷史可以追溯到公元583年，當(dāng)中國的和尚東渡到日本時(shí)，帶去了許多紙. 由于當(dāng)時(shí)紙張是很昂貴的，所以人們用時(shí)格外小心，而折紙就成了一些禮儀的一部分. 在公元7世紀(jì)中期，大唐帝國成為全球最強(qiáng)大和開放文明的國家，折紙藝術(shù)也就是在那時(shí)候伴隨著中國人民的美好祝福傳播到了世界各國. 在公元1200年左右，日本出現(xiàn)了比較復(fù)雜的紙模型. 當(dāng)時(shí)的日本武士流行一種禮儀，交換自己的刀和由一種特殊折法折出的紙花來證明友誼.

通過普及和發(fā)展，折紙成為一門藝術(shù)，并且一代代傳了下來. 幾個(gè)世紀(jì)來，人們對(duì)折紙的熱情有增無減. 從19世紀(jì)開始，折紙與自然科學(xué)也走到了一起，開始在西方成為教學(xué)和科學(xué)研究的工具. 尤其是，折紙可以幫助我們加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解.

折紙?jiān)趺春蛿?shù)學(xué)聯(lián)系在一起呢？我們注意到，在創(chuàng)作折紙圖形時(shí)，折紙能手是由一張正方形的紙開始的，然后運(yùn)用他們的想象、技巧和決心，變形為任意的形狀.一個(gè)正方形之所以可以選為折紙的初始單元，是因?yàn)榕c矩形和其他四邊形相比，它有四條對(duì)稱軸. 雖然圓和有些正多邊形有更多的對(duì)稱軸，但是它們又缺少正方形所擁有的四個(gè)直角，這就給制作帶來了較大的困難. 而且，純粹從正方形開始的折紙作品是不用膠水和剪刀的.

折紙和幾何的聯(lián)系是復(fù)雜的，一個(gè)折紙模型是一件藝術(shù)作品，當(dāng)你打開它，鋪平，它又是一系列的幾何圖形. 比如說，當(dāng)你折傳統(tǒng)的波紋狀的物體時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生一個(gè)具有8個(gè)直角三角形的折痕. 經(jīng)典的天鵝作品留下的折痕有更多的三角形，而每一個(gè)反向的折疊動(dòng)作，比如說折出鳥的脖子或者尾巴的步驟，都會(huì)產(chǎn)生更多的三角形. 事實(shí)上，每一種基本的折法都有相應(yīng)的幾何模式.

紙模型被創(chuàng)造出來后，留在紙張上的折痕揭示出大量幾何的對(duì)象和性質(zhì)：正方形、三角形、不規(guī)則四邊形、菱形，相似、軸對(duì)稱、心對(duì)稱、全等、比例……這里面暗藏的幾何學(xué)規(guī)則真是引人入勝！

研究折紙的創(chuàng)作過程是極具啟發(fā)性的，人們先用一個(gè)正方形（二維物體）的紙張來折成一個(gè)新的數(shù)學(xué)形體（三維物體）；然后，人們把模型鋪開來研究折痕（二維），顯然這個(gè)過程包含了維數(shù)的變化，折痕則表示了三維物體在扁平面（就是正方形）上的投影，這不是很奇妙嗎？從二維到三維，又回到二維，這過程本身就是一門學(xué)問. 學(xué)習(xí)幾何的時(shí)候，我們經(jīng)常會(huì)在將平面的信息擴(kuò)展到三維物體上感到困難，折紙為我們提供了如此直觀的視覺感染力.

幫我們解開謎題

折紙還引出了很多奇特的數(shù)學(xué)謎團(tuán)，如果你是一個(gè)酷愛解謎的人，你就一定會(huì)從其解答中尋到樂趣，并讓你的同學(xué)們對(duì)你刮目相看.

我們來看這樣一個(gè)問題：在一個(gè)紙模型的折痕圖案上挑一個(gè)頂點(diǎn)，在這個(gè)頂點(diǎn)上是否可以只有凹或者只有凸的折痕呢？凸的和凹的折痕之間的聯(lián)系又是怎樣的？答案是：一個(gè)頂點(diǎn)上不可能只有一種凹或者凸的折痕，必定是兩種折痕同時(shí)存在，而且折痕的數(shù)目總是偶數(shù)個(gè)，凹和凸的折痕數(shù)目差總是2個(gè).

還有一個(gè)問題，就是繞著這個(gè)頂點(diǎn)的角之間有怎樣非同尋常的大小關(guān)系呢？有一個(gè)定理叫做川崎定理，講的是在一個(gè)頂點(diǎn)周圍，當(dāng)你把每隔一個(gè)角的度數(shù)加起來時(shí)，得到的總和將一定是180度，大家不妨試試看.

想更深入了解數(shù)學(xué)和折紙之間的聯(lián)系嗎？先動(dòng)起手來，再好好思考吧，它們之間的聯(lián)系太多，太奇妙了.折紙行家們對(duì)數(shù)學(xué)的了解之透徹是我們所無法想象的，他們甚至可以把柏拉圖立體、鑲嵌等數(shù)學(xué)領(lǐng)域里的概念都給“折”出來！折紙還能幫我們作圖，“三等分角”是2400多年前的古希臘的三個(gè)著名的古典作圖難題之一，我們課堂上所熟知的“尺規(guī)作圖”的方法無法作出來，但一旦借助于折紙，這個(gè)問題就可以輕易解決. 它還能幫我們證明一些定理，比如我們常用的勾股定理. 其實(shí)，它自身就有很多定律，舉個(gè)例子，假設(shè)你把一個(gè)折好的模型鋪平，想用不同顏色來把折痕上所有毗鄰的區(qū)域分開來，那么一共需要幾種顏色呢？回答是：只需要兩種. 你自己試試看就知道了.

寓于折紙中的自然

折紙除了和數(shù)學(xué)有著這么廣泛的聯(lián)系外，還和大自然有著強(qiáng)有力的聯(lián)系.

紙模型被展開后，留下的折痕正是最終整個(gè)作品的“藍(lán)圖”. 自然界當(dāng)中普遍存在著種種“藍(lán)圖”，它們指導(dǎo)但不完全決定一個(gè)有意義的過程. 以有機(jī)體的發(fā)育進(jìn)程為例，我們已經(jīng)了解，人類基因組計(jì)劃要把我們DNA里的核酸序列分析出來，但是由基因所包含的信息是如何通過生長(zhǎng)和發(fā)育轉(zhuǎn)換成一個(gè)有機(jī)體的信息，也就是性狀呢？恐怕這才是對(duì)我們認(rèn)識(shí)生命和生命進(jìn)程的關(guān)鍵所在.要了解這個(gè)過程，我們就可以借用折紙手工的比喻：一個(gè)紙模型的折痕圖案就像是基因組，信息存在那里，但是這并不足以完成整個(gè)模型，而一步一步的折疊程序才是生命發(fā)育的程序.具有相似但不相同的折痕和折疊程序的折紙模型，就相當(dāng)于親緣關(guān)系很近的物種，它們具有相似但不相同的基因組和發(fā)育程序.endprint