突出價值，優化方法

方常春

摘 要： 本全文剖析中學數學課程中導數的價值，尤其是工具價值.舉例說明了怎樣運用導數這一工具，優化、深化函數的研究.

關鍵詞： 導數 工具 價值 研究函數

從導數本身的重要性和高考的發展趨勢看，我們應該高度重視導數單元的學習.那么，我們應該采取怎樣的學習策略呢？本文試圖探討這一問題.

1.剖析中學數學課程中導數的價值

《普通高中數學課程標準教學要求》中的“課程目標”明確指出：通過導數及其應用的教學，（1）理解導數的含義，體會導數的思想及其內涵；（2）掌握導數在研究函數的單調性、極值等性質中的作用；（3）感受導數在解決數學問題和實際問題中的作用及變量數學的思想方法，提高學生運用導數的知識和函數的思想分析、解決數學問題與實際問題的能力.

由此可見，教學目標對導數及其應用的教學明顯地呈三個遞進的層面，其中（1）介紹了導數的文化價值，（2）（3）則突出強調了導數的工具價值.對中學生來說，后者無疑是重點.

2.導數的工具價值的主要體現

我們再從近幾年的全國高考新課程卷的命題重點來看，利用導數研究函數性態的數學試題有上升的趨勢.在這類試題中，導數只不過是一種工具，求導的過程并不難，它不是這類試題的最終落腳點，它的最終落腳點是考查函數的性質及其應用，即以導數為工具，優化、深化函數的研究.

中學數學新課程中導數的工具性和應用主要表現在三個方面：切線的斜率（導數的幾何意義）；函數的單調性；函數的極值和最值.

對這些內容學生應從基本概念、基本技能到思想方法都要清楚明了、爛熟于心，形成完善的認知結構.認知心理學告訴我們，學生只有形成完善的認知結構才能轉化為能力，從而解決更高層次的問題.

3.優化函數研究方法的應用示例

根據以上的剖析，我們應該把重點放在突出導數的工具價值，優化、深化函數的研究等方面，試舉一例說明之.

例：已知函數f（x）=■x■-ax+（a-1）lnx，a>1，

（1）討論函數f（x）的單調性；

（2）證明：若a<5，則對于任意x■，x■∈（0，+∞），x■≠x■，有■>-1.

解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞），.

f′（x）=x-a+■=■=■.

①若a-1=1，即a=2，則f′（x）=■，故f（x）在（0，+∞）上單調增加.

②若a-1<1，而a>1，故1

當x∈（0，a-1）及x∈（1，+∞）時，f′（x）>0.

故f（x）在（a-1，1）上單調減少，在（0，a-1），（1，+∞）上單調增加.

③若a-1<1，即a>2，同理可得f（x）在（1，a-1）上單調減少，在（0，1），（a-1，+∞）上單調增加.

（2）考慮函數g（x）=f（x）+x=■x■-ax+（a-1）lnx+x，

則g′（x）=x-（a-1）+■≥2■-（a-1）=1-（■-1）■，

由于10，即g（x）在（0，+∞）上單調增加，從而當0

有g（x■）-g（x■）>0，即f（x■）-f（x■）+x■-x■>0，故■>-1；

當0-1.

[簡評]本題運用導數研究函數性質的特點非常明顯，命題者的意圖是將導數作為研究函數性質的工具，求導的過程并不難，難點設計在第二問的構造思想，即構造一個函數：g（x）=f（x）+x=■x■-ax+（a-1）lnx+x.如果以“課程目標”為綱，類似的例子不勝枚舉.

由此可見，在導數單元的學習中，我們要防止僅僅將導數作為一種規則和步驟來學習，而忽視它的思想和價值.不應把重點放在求函數導數的純技巧、高難度的訓練上，避免過量的形式化的運算練習，而應該突出導數的工具價值，優化研究數學問題（特別是函數）的方法，從而強化學生的應用意識.