數學建模教學中存在的若干問題及其對策

鐘一兵

（肇慶學院 數學與統計學院，廣東 肇慶 526061）

1 開展數學建模教學的意義

伴隨科學技術的不斷發展，人類的認知領域也得到延伸拓展.作為基礎科學的數學，其發展越來越迅速,它已經被當作“一種文化”[1]而存在.數學理論體系具有很強的邏輯性，但近幾年來由于主干課程學時縮減而教學內容偏多，教師在教學中除了直接進行抽象的推導，就是訓練學生的解題能力與解題技巧，無暇或很少涉及數學方法在生產實踐及實際生活中的應用.這使得學生對很多數學知識只知其然而不知其所以然，感受不到數學文化的魅力.同時，由于欠缺實際應用，學生對數學思想及方法的理解往往不夠深刻，應用能力較差.

為解決上述問題，20世紀80年代初[2]，許多高校開始將數學模型、數學實驗等數學建模課程引入數學課堂，這門新數學課在90年代得到快速普及，目前全國已有1 000多所高校開設各種類型的數學建模課.

2 數學建模教學中存在的問題

2.1 開設的課程過于單調

除了一些起步較早且師資力量雄厚的高校外，多數高校只對數學專業學生開設“數學模型和數學實驗”一門必修課；對非數學專業學生，僅將該課程設為公選課.選修這門課程的學生相對較少，由此產生以下幾個問題：

其一，學生的實踐機會少.除了安排少量的實驗課外（約占10學時），學生大部分時間集中在教室里聽教師授課；即使是實驗課，學生絕大部分時間也是在驗算教師在課上所授方法，真正得到的實踐機會很少，這與開設數學建模相關課程的初衷相悖.這樣既不利于提高學生的數學實踐能力和應用能力，也不利于提高學生的發現及創造能力.

其二，學生的參與程度低.因為課程學時的關系，教師為趕教學進度，在教學中使用的很多范例已被數學化了，解決方法通常也只有1種.這導致學生在思維方面缺乏自由度，學生的參與和教師的互動不夠，學生的主觀能動性難以調動起來.

其三，學生的編程能力差.非數學專業學生的數學實驗能力及數學軟件的使用水平普遍不高，一些學生甚至根本不會使用常用的數學軟件，如MATLAB,SPSS等；而數學專業的學生這方面情況雖然稍好，但也不容樂觀，其不足具體體現在將數學方法轉化為算法的能力差，以及將算法編為相應軟件程序的能力差.

2.2 培訓模式過于簡單

目前，在多數同類院校中數學建模培訓主要采取以下模式：開設“數學模型和數學實驗”課程，再加上一個階段（如暑假）的強化培訓.這種模式經實踐檢驗收效良好，但也存在一些問題，具體如下：

其一，數學建模課的受眾面小.“數學模型和數學實驗”課除數學專業設為必修課外，在非數學專業均設為公選課.而學生選擇公選課時以能輕松拿到學分為優選，因此他們一般會首選藝術、美學或者生活與休閑之類較輕松的課程，很少選擇專業性較強的數學課程.

其二，數學建模課的交流討論機會較少.建模課的大部分課時用作講授課程相關內容，即使是上實驗課，一名教師也需要應對眾多學生.如此一來，教師與學生、學生與學生之間的互動機會減少，就某一實際問題展開討論與交流的機會則更少.

其三，數學建模課接觸的實際問題少.為了完成教學任務，教師只能按部就班地按照教材章節逐一演示課件中所述建模方法，不能在課堂上就大量的實際問題展開討論，因此學生習得的只是一些抽象的方法.

2.3 培訓效果較差

從以往的校內賽及模擬競賽情況看，雖然已經開設過“數學模型和數學實驗”課，但學生對大部分實際問題的解決，仍是一籌莫展.盡管想法很多，卻不知如何入手建立模型；有時學生甚至已經想到可用某種方法解決問題，但卻不知如何通過設立變量建立關系式.筆者在培訓中曾將以往的全國大學生數學建模競賽題提前發給學生，幾天后再讓學生進行集中討論.每次都有學生對問題的求解方法侃侃而談，但要求其板演求解過程或者步驟時卻往往無法順利寫出，從而發現絕大部分想法無法實現.此外，由于實訓太少，學生的寫作能力和使用數學軟件的能力也都未能盡如人意.多數學生寫作的文法、格式及表達方式存在明顯缺陷，摘要部分的寫作問題尤為突出.

3 應對之策

3.1 開設系列課程

如前所述，僅開設“數學模型和數學實驗”一門課程，給予學生的實踐機會過少，由此導致學生編程能力差.為此，筆者建議將“數學模型和數學實驗”一門課分為“數學模型”和“數學軟件與數學實驗”2門課程.數學專業可將“數學模型”作為必修課，將“數學軟件與數學實驗”作為任意選修課；而非數學專業可將“數學模型”和“數學軟件與數學實驗”均作為通識課.在課程內容方面也做些小范圍的調整：“數學模型”課只講數學建模方法，不必涉及相關數學軟件的內容，節省下來的學時可作為數學建模實踐的教學時間，實驗課可直接用以解決實際問題；“數學軟件與數學實驗”課的內容主要為各種數學方法的實現，如最小二乘法、多項式回歸、線性規劃等.這樣調整一方面可以增加學生的實踐機會，強化其實踐能力;另一方面也使學生能更廣泛地接觸實際問題，提升其軟件編程能力.

3.2 在其他基礎課教學中融入數學建模的相關內容

無論是數學專業還是非數學專業的數學課，其絕大部分課的理論與方法都可應用于實際問題中.以下例題的求解可使用矩陣方法.

例1（Fibnacci數列）假定1對成熟的兔子每個月能生1對小兔子，而每對小兔子在其出生后的第3個月，又開始生1對小兔子.假定在不發生死亡的情況下，由1對初生兔子開始計算，1年后共能繁殖出多少對兔子？

解 用xk表示第k 個月的兔子總數，并記x0=1,則由題意，x1=1,且xk=xk-1+xk-2,k≥2,

所以，當k≥2 時，有

由此即可求得xk.

3.3 豐富培訓模式

在已有培訓模式基礎上，筆者建議增加一些新的培訓模式，培訓主要由以下3部分組成.

1）集中培訓.集中培訓主要用于課程教學、假期培訓、周末的開班培訓.除“數學模型”和“數學軟件與數學實驗”課的教學必須集中外，一些教材之外的經典建模方法的教學，如模糊綜合評價法、神經網絡法、主成分分析法、灰色預測法，一般也以集中培訓為宜.

2）分組培訓.為加強師生間的交流與互動，方便教師更好地指導學生開展建模實踐，分組培訓也是一個不可或缺的重要方法.可考慮將參訓學生分成若干組，每組學生配備一名指導教師，學生可在教師指導下閱讀一些補充讀物，同時開展一定的建模實踐.考慮到教師的知識局限性，不同組的指導教師可進行輪換.

3）讓學生以老帶新.由于指導教師有限，可考慮挑選一些基礎較好且有一定經驗的學生，用以老帶新的形式開展培訓.教師可發動學生自行開辦講座，對一些實際問題展開數學建模實踐.

3.4 開展各種科研活動

開展數學建模活動和提高學生數學建模能力，對于強化學生的科研能力有顯而易見的作用；從另一方面說，科研水平的提高對增強建模能力的作用也是不言而喻的.目前，高校學生可以2 種方式參與科研活動：1）參與教師的科研項目.教師部分課題中的一些小問題，是可以讓學生參與解決的，吸納他們進來對師生雙方均有益處.2）學生自己的科研項目，如各級別的大學生創新、創業項目.在一些創新、創業項目中，若使用數學方法進行分析處理，往往能得到優化結果.

3.5 將一些講授課變為討論課

討論課是測試教學效果、增強學生學習興趣、提高教學質量的行之有效的教學手段.若能將部分講授課變為討論課，則既可讓學生通過討論深化對課程內容的理解，又可通過討論強化學生的參與感，從而增強學生的學習興趣.只要把握適度的原則，討論課既不會影響教學進度，也不會加大教師的教學難度，它反而有助于教師了解學生的學習情況，及時掌握學生在學習中存在的問題.

[1]李大潛.將數學建模思想融入數學類主干課程[J].中國大學教學,2006(1):9-11.

[2]楊啟帆,談之奕.通過數學建模教學培養創新人才[J].中國高教研究,2011(12):84-85.