“退維”思想的妙用

戴耀藝+戴延清

一、問題的產(chǎn)生——“不安分”引發(fā)的思維躁動(dòng).

人教A版高中數(shù)學(xué)必修2立體幾何教學(xué)中，學(xué)生問過這么一個(gè)問題：

問題：三個(gè)平面至多能把空間分割成幾個(gè)區(qū)域？

這是立體幾何中的一個(gè)常見問題，能夠很好地考查學(xué)生的空間想象能力.利用空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)平面很容易得出本題的解：三個(gè)平面至多能把空間分割成8個(gè)區(qū)域.筆者突然有一種“不安分”的想法：如果是四個(gè)平面呢，至多能把空間分割成幾個(gè)區(qū)域呢？花了一些功夫筆者才得出答案，四個(gè)平面至多能把空間分割成15個(gè)區(qū)域.那么五個(gè)平面、六個(gè)平面，甚至更多的平面呢，至多能把空間分成多少區(qū)域呢？靠空間想象力想象出模型來解決這一類問題，顯然不可能.

至此筆者將問題一般化，得到以下變式題：

題目1：n個(gè)平面至多能把空間分割成幾個(gè)區(qū)域？

那么有什么好的辦法能夠解決上面這個(gè)問題呢？經(jīng)過一番探索，筆者有了解決這個(gè)問題的靈感與思路，現(xiàn)細(xì)細(xì)道來，以饗讀者.

二、問題的解決——“不走尋常路”的“退維”思想

我們先撇開這個(gè)問題，轉(zhuǎn)而研究較為簡單的類型題——不走尋常路.

從題目1產(chǎn)生較為簡單的類型題，一個(gè)簡單的做法就是——退維.

退一維，得到：題目2：n條直線至多能把平面分成幾部分？

還不夠簡單，再退一維，得到：題目3：n個(gè)點(diǎn)至多能把直線分割成幾段？

題目3已經(jīng)夠簡單了，接下來，我們從題目3入手，尋求題目1的解決方法.解題過程需要用到以下知識(shí)：

知識(shí)1數(shù)列{an}滿足an+1-an=bn，若數(shù)列{bn}是一個(gè)k-1階等差數(shù)列，則數(shù)列{an}是k階等差數(shù)列.

知識(shí)2k階等差數(shù)列通項(xiàng)公式：f（k，n）=f（k，0）C0n+f（k-1，0）C1n+…+f（0，0）Ckn=ki=0f（k-i，0）C1n （其中f（k，n）即是k階數(shù)列第n項(xiàng)）.

1.題目3的解決.

n個(gè)點(diǎn)至多能把直線分割成幾段？

解析設(shè)n個(gè)點(diǎn)至多能把直線分成f（n）段.觀察： f（1）=2，f（2）=3，f（3）=4，f（4）=5.

猜想：{f（n）}是一個(gè)1階等差數(shù)列.

因?yàn)閒（1，n）=1i=0f（1-i，0）Cin，f（1-i，0）=1（i=0，1），

∴f（n）=C0n+C1n=n+1.

所以， 個(gè)點(diǎn)至多能把直線分割成n+1段.

2.題目2的解決.

n條直線至多能把平面分成幾部分？

解析設(shè)n條直線至多能把平面分成g（n）部分.觀察：g（1）=2，g（2）=4，g（3）=7，g（4）=11

猜想：{g（n）}是一個(gè)2階等差數(shù)列.

因?yàn)閒（2，n）=2i=0f（2-i，0）C1n，f（2-i，0）=1（i=0，1，2），

∴g（n）=C0n+C1n+C2n=12n2+12n+1.

所以，n條線至多能把平面分割成12n2+12n+1個(gè)部分.

先來一個(gè)1階等差數(shù)列，再來一個(gè)2階等差數(shù)列，接下來會(huì)不會(huì)是一個(gè)3階等差數(shù)列呢？從上面兩題的解題過程中，我們似乎發(fā)現(xiàn)了某種規(guī)律，請接著往下看.

3.題目1的解決.

n個(gè)平面至多能把空間分割成幾個(gè)區(qū)域？

解析n個(gè)平面就能把空間分割得最多區(qū)域.設(shè)n個(gè)平面至多能把空間分成h（n）個(gè)區(qū)域.

觀察：h（1）=2，h（2）=4，h（3）=8，h（4）=15.

猜想3：{h（n）}是一個(gè)3階等差數(shù)列.

簡證：n-1個(gè)平面至多可以把空間分成h（n-1）個(gè)區(qū)域，再增加一個(gè)平面的時(shí)候，這個(gè)平面與前n-1個(gè)平面都相交，得到n-1條交線，要使得所增加的區(qū)域達(dá)到最多，則這n-1條交線就要把新增加的平面分割得到最多區(qū)域，可知增加的最大區(qū)域數(shù)為g（n-1）個(gè).所以h（n）=h（n-1）+g（n-1），由題目2可知{g（n-1）}是一個(gè)2階等差數(shù)列，由知識(shí)2知{h（n）}是一個(gè)3階等差數(shù)列.

果然是一個(gè)3階等差數(shù)列，接下來問題就好辦了.

因?yàn)閒（3，n）=3i=0f（3-i，0）Cin，f（3-i，0）=1（i=0，1，2，3），∴h（n）=C0n+C1n+C2n+C3n=16n3+56n+1.

所以n個(gè)平面至多能把空間分割成16n3+56n+1個(gè)區(qū)域.

鑒于此，筆者提出一個(gè)猜想：

猜想：設(shè)n個(gè)k-1維超平面至多能把k維空間分割成t（n）個(gè)區(qū)域，則{t（n）}是一個(gè)k階等差數(shù)列（k≥1，k∈N*），且t（n）=C0n+C1n+C2n+…+Ckn=ki=0Cin.

證明：對k值用數(shù)學(xué)歸納法證明.

（ⅰ）當(dāng)k=1時(shí)，由題目1知結(jié)論成立.

（ⅱ）假設(shè)當(dāng)k=r（r≥2）時(shí)，n個(gè)r-1維超平面至多能把r維空間分割成y（n）個(gè)區(qū)域，{y（n）}是一個(gè)r階等差數(shù)列. 則當(dāng)k=r+1（r≥2）時(shí)，設(shè)n個(gè)r維超平面至多能把r+1維空間分割成z（n）個(gè)區(qū)域. 則n-1個(gè)r維超平面至多能把r+1維空間分割成z（n-1）個(gè)區(qū)域，再增加一個(gè)r維超平面時(shí)，這個(gè)r維超平面與前n-1個(gè)r維超平面都相交，得到n-1條r-1維超直線，要使得所增加的區(qū)域達(dá)到最多，則這n-1條r-1維超直線就要把新增加的r維超平面分割得到最多區(qū)域，于是增加了y（n-1）個(gè)區(qū)域，∴z（n）=z（n-1）+y（n-1）.由假設(shè)可知其中{y（n-1）}是一個(gè)r階等差數(shù)列.由推論便知{z（n）}是一個(gè)r+1階等差數(shù)列.

綜合（ⅰ）（ⅱ）猜想得證.

三、解題之感悟

數(shù)學(xué)上有些問題的求解，十分繁瑣，甚至無法解決，這時(shí)，我們不妨“退一步海闊天空”，采用“退維”的思想，構(gòu)造出新的模型，通過探索新模型的解法，獲得一些解題規(guī)律，這樣有時(shí)能夠使得原問題化繁為簡，化難為易，從而迅速獲解.

數(shù)學(xué)就是一個(gè)大花園，不安分的思想若能成為一顆種子，既可讓花園繁花似錦也能使花園雜草叢生.成功的關(guān)鍵取決于我們能否抓住解題的規(guī)律，抓住數(shù)學(xué)的真諦.

一、問題的產(chǎn)生——“不安分”引發(fā)的思維躁動(dòng).

人教A版高中數(shù)學(xué)必修2立體幾何教學(xué)中，學(xué)生問過這么一個(gè)問題：

問題：三個(gè)平面至多能把空間分割成幾個(gè)區(qū)域？

這是立體幾何中的一個(gè)常見問題，能夠很好地考查學(xué)生的空間想象能力.利用空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)平面很容易得出本題的解：三個(gè)平面至多能把空間分割成8個(gè)區(qū)域.筆者突然有一種“不安分”的想法：如果是四個(gè)平面呢，至多能把空間分割成幾個(gè)區(qū)域呢？花了一些功夫筆者才得出答案，四個(gè)平面至多能把空間分割成15個(gè)區(qū)域.那么五個(gè)平面、六個(gè)平面，甚至更多的平面呢，至多能把空間分成多少區(qū)域呢？靠空間想象力想象出模型來解決這一類問題，顯然不可能.

至此筆者將問題一般化，得到以下變式題：

題目1：n個(gè)平面至多能把空間分割成幾個(gè)區(qū)域？

那么有什么好的辦法能夠解決上面這個(gè)問題呢？經(jīng)過一番探索，筆者有了解決這個(gè)問題的靈感與思路，現(xiàn)細(xì)細(xì)道來，以饗讀者.

二、問題的解決——“不走尋常路”的“退維”思想

我們先撇開這個(gè)問題，轉(zhuǎn)而研究較為簡單的類型題——不走尋常路.

從題目1產(chǎn)生較為簡單的類型題，一個(gè)簡單的做法就是——退維.

退一維，得到：題目2：n條直線至多能把平面分成幾部分？

還不夠簡單，再退一維，得到：題目3：n個(gè)點(diǎn)至多能把直線分割成幾段？

題目3已經(jīng)夠簡單了，接下來，我們從題目3入手，尋求題目1的解決方法.解題過程需要用到以下知識(shí)：

知識(shí)1數(shù)列{an}滿足an+1-an=bn，若數(shù)列{bn}是一個(gè)k-1階等差數(shù)列，則數(shù)列{an}是k階等差數(shù)列.

知識(shí)2k階等差數(shù)列通項(xiàng)公式：f（k，n）=f（k，0）C0n+f（k-1，0）C1n+…+f（0，0）Ckn=ki=0f（k-i，0）C1n （其中f（k，n）即是k階數(shù)列第n項(xiàng)）.

1.題目3的解決.

n個(gè)點(diǎn)至多能把直線分割成幾段？

解析設(shè)n個(gè)點(diǎn)至多能把直線分成f（n）段.觀察： f（1）=2，f（2）=3，f（3）=4，f（4）=5.

猜想：{f（n）}是一個(gè)1階等差數(shù)列.

因?yàn)閒（1，n）=1i=0f（1-i，0）Cin，f（1-i，0）=1（i=0，1），

∴f（n）=C0n+C1n=n+1.

所以， 個(gè)點(diǎn)至多能把直線分割成n+1段.

2.題目2的解決.

n條直線至多能把平面分成幾部分？

解析設(shè)n條直線至多能把平面分成g（n）部分.觀察：g（1）=2，g（2）=4，g（3）=7，g（4）=11

猜想：{g（n）}是一個(gè)2階等差數(shù)列.

因?yàn)閒（2，n）=2i=0f（2-i，0）C1n，f（2-i，0）=1（i=0，1，2），

∴g（n）=C0n+C1n+C2n=12n2+12n+1.

所以，n條線至多能把平面分割成12n2+12n+1個(gè)部分.

先來一個(gè)1階等差數(shù)列，再來一個(gè)2階等差數(shù)列，接下來會(huì)不會(huì)是一個(gè)3階等差數(shù)列呢？從上面兩題的解題過程中，我們似乎發(fā)現(xiàn)了某種規(guī)律，請接著往下看.

3.題目1的解決.

n個(gè)平面至多能把空間分割成幾個(gè)區(qū)域？

解析n個(gè)平面就能把空間分割得最多區(qū)域.設(shè)n個(gè)平面至多能把空間分成h（n）個(gè)區(qū)域.

觀察：h（1）=2，h（2）=4，h（3）=8，h（4）=15.

猜想3：{h（n）}是一個(gè)3階等差數(shù)列.

簡證：n-1個(gè)平面至多可以把空間分成h（n-1）個(gè)區(qū)域，再增加一個(gè)平面的時(shí)候，這個(gè)平面與前n-1個(gè)平面都相交，得到n-1條交線，要使得所增加的區(qū)域達(dá)到最多，則這n-1條交線就要把新增加的平面分割得到最多區(qū)域，可知增加的最大區(qū)域數(shù)為g（n-1）個(gè).所以h（n）=h（n-1）+g（n-1），由題目2可知{g（n-1）}是一個(gè)2階等差數(shù)列，由知識(shí)2知{h（n）}是一個(gè)3階等差數(shù)列.

果然是一個(gè)3階等差數(shù)列，接下來問題就好辦了.

因?yàn)閒（3，n）=3i=0f（3-i，0）Cin，f（3-i，0）=1（i=0，1，2，3），∴h（n）=C0n+C1n+C2n+C3n=16n3+56n+1.

所以n個(gè)平面至多能把空間分割成16n3+56n+1個(gè)區(qū)域.

鑒于此，筆者提出一個(gè)猜想：

猜想：設(shè)n個(gè)k-1維超平面至多能把k維空間分割成t（n）個(gè)區(qū)域，則{t（n）}是一個(gè)k階等差數(shù)列（k≥1，k∈N*），且t（n）=C0n+C1n+C2n+…+Ckn=ki=0Cin.

證明：對k值用數(shù)學(xué)歸納法證明.

（ⅰ）當(dāng)k=1時(shí)，由題目1知結(jié)論成立.

（ⅱ）假設(shè)當(dāng)k=r（r≥2）時(shí)，n個(gè)r-1維超平面至多能把r維空間分割成y（n）個(gè)區(qū)域，{y（n）}是一個(gè)r階等差數(shù)列. 則當(dāng)k=r+1（r≥2）時(shí)，設(shè)n個(gè)r維超平面至多能把r+1維空間分割成z（n）個(gè)區(qū)域. 則n-1個(gè)r維超平面至多能把r+1維空間分割成z（n-1）個(gè)區(qū)域，再增加一個(gè)r維超平面時(shí)，這個(gè)r維超平面與前n-1個(gè)r維超平面都相交，得到n-1條r-1維超直線，要使得所增加的區(qū)域達(dá)到最多，則這n-1條r-1維超直線就要把新增加的r維超平面分割得到最多區(qū)域，于是增加了y（n-1）個(gè)區(qū)域，∴z（n）=z（n-1）+y（n-1）.由假設(shè)可知其中{y（n-1）}是一個(gè)r階等差數(shù)列.由推論便知{z（n）}是一個(gè)r+1階等差數(shù)列.

綜合（ⅰ）（ⅱ）猜想得證.

三、解題之感悟

數(shù)學(xué)上有些問題的求解，十分繁瑣，甚至無法解決，這時(shí)，我們不妨“退一步海闊天空”，采用“退維”的思想，構(gòu)造出新的模型，通過探索新模型的解法，獲得一些解題規(guī)律，這樣有時(shí)能夠使得原問題化繁為簡，化難為易，從而迅速獲解.

數(shù)學(xué)就是一個(gè)大花園，不安分的思想若能成為一顆種子，既可讓花園繁花似錦也能使花園雜草叢生.成功的關(guān)鍵取決于我們能否抓住解題的規(guī)律，抓住數(shù)學(xué)的真諦.

一、問題的產(chǎn)生——“不安分”引發(fā)的思維躁動(dòng).

人教A版高中數(shù)學(xué)必修2立體幾何教學(xué)中，學(xué)生問過這么一個(gè)問題：

問題：三個(gè)平面至多能把空間分割成幾個(gè)區(qū)域？

這是立體幾何中的一個(gè)常見問題，能夠很好地考查學(xué)生的空間想象能力.利用空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)平面很容易得出本題的解：三個(gè)平面至多能把空間分割成8個(gè)區(qū)域.筆者突然有一種“不安分”的想法：如果是四個(gè)平面呢，至多能把空間分割成幾個(gè)區(qū)域呢？花了一些功夫筆者才得出答案，四個(gè)平面至多能把空間分割成15個(gè)區(qū)域.那么五個(gè)平面、六個(gè)平面，甚至更多的平面呢，至多能把空間分成多少區(qū)域呢？靠空間想象力想象出模型來解決這一類問題，顯然不可能.

至此筆者將問題一般化，得到以下變式題：

題目1：n個(gè)平面至多能把空間分割成幾個(gè)區(qū)域？

那么有什么好的辦法能夠解決上面這個(gè)問題呢？經(jīng)過一番探索，筆者有了解決這個(gè)問題的靈感與思路，現(xiàn)細(xì)細(xì)道來，以饗讀者.

二、問題的解決——“不走尋常路”的“退維”思想

我們先撇開這個(gè)問題，轉(zhuǎn)而研究較為簡單的類型題——不走尋常路.

從題目1產(chǎn)生較為簡單的類型題，一個(gè)簡單的做法就是——退維.

退一維，得到：題目2：n條直線至多能把平面分成幾部分？

還不夠簡單，再退一維，得到：題目3：n個(gè)點(diǎn)至多能把直線分割成幾段？

題目3已經(jīng)夠簡單了，接下來，我們從題目3入手，尋求題目1的解決方法.解題過程需要用到以下知識(shí)：

知識(shí)1數(shù)列{an}滿足an+1-an=bn，若數(shù)列{bn}是一個(gè)k-1階等差數(shù)列，則數(shù)列{an}是k階等差數(shù)列.

知識(shí)2k階等差數(shù)列通項(xiàng)公式：f（k，n）=f（k，0）C0n+f（k-1，0）C1n+…+f（0，0）Ckn=ki=0f（k-i，0）C1n （其中f（k，n）即是k階數(shù)列第n項(xiàng)）.

1.題目3的解決.

n個(gè)點(diǎn)至多能把直線分割成幾段？

解析設(shè)n個(gè)點(diǎn)至多能把直線分成f（n）段.觀察： f（1）=2，f（2）=3，f（3）=4，f（4）=5.

猜想：{f（n）}是一個(gè)1階等差數(shù)列.

因?yàn)閒（1，n）=1i=0f（1-i，0）Cin，f（1-i，0）=1（i=0，1），

∴f（n）=C0n+C1n=n+1.

所以， 個(gè)點(diǎn)至多能把直線分割成n+1段.

2.題目2的解決.

n條直線至多能把平面分成幾部分？

解析設(shè)n條直線至多能把平面分成g（n）部分.觀察：g（1）=2，g（2）=4，g（3）=7，g（4）=11

猜想：{g（n）}是一個(gè)2階等差數(shù)列.

因?yàn)閒（2，n）=2i=0f（2-i，0）C1n，f（2-i，0）=1（i=0，1，2），

∴g（n）=C0n+C1n+C2n=12n2+12n+1.

所以，n條線至多能把平面分割成12n2+12n+1個(gè)部分.

先來一個(gè)1階等差數(shù)列，再來一個(gè)2階等差數(shù)列，接下來會(huì)不會(huì)是一個(gè)3階等差數(shù)列呢？從上面兩題的解題過程中，我們似乎發(fā)現(xiàn)了某種規(guī)律，請接著往下看.

3.題目1的解決.

n個(gè)平面至多能把空間分割成幾個(gè)區(qū)域？

解析n個(gè)平面就能把空間分割得最多區(qū)域.設(shè)n個(gè)平面至多能把空間分成h（n）個(gè)區(qū)域.

觀察：h（1）=2，h（2）=4，h（3）=8，h（4）=15.

猜想3：{h（n）}是一個(gè)3階等差數(shù)列.

簡證：n-1個(gè)平面至多可以把空間分成h（n-1）個(gè)區(qū)域，再增加一個(gè)平面的時(shí)候，這個(gè)平面與前n-1個(gè)平面都相交，得到n-1條交線，要使得所增加的區(qū)域達(dá)到最多，則這n-1條交線就要把新增加的平面分割得到最多區(qū)域，可知增加的最大區(qū)域數(shù)為g（n-1）個(gè).所以h（n）=h（n-1）+g（n-1），由題目2可知{g（n-1）}是一個(gè)2階等差數(shù)列，由知識(shí)2知{h（n）}是一個(gè)3階等差數(shù)列.

果然是一個(gè)3階等差數(shù)列，接下來問題就好辦了.

因?yàn)閒（3，n）=3i=0f（3-i，0）Cin，f（3-i，0）=1（i=0，1，2，3），∴h（n）=C0n+C1n+C2n+C3n=16n3+56n+1.

所以n個(gè)平面至多能把空間分割成16n3+56n+1個(gè)區(qū)域.

鑒于此，筆者提出一個(gè)猜想：

猜想：設(shè)n個(gè)k-1維超平面至多能把k維空間分割成t（n）個(gè)區(qū)域，則{t（n）}是一個(gè)k階等差數(shù)列（k≥1，k∈N*），且t（n）=C0n+C1n+C2n+…+Ckn=ki=0Cin.

證明：對k值用數(shù)學(xué)歸納法證明.

（ⅰ）當(dāng)k=1時(shí)，由題目1知結(jié)論成立.

（ⅱ）假設(shè)當(dāng)k=r（r≥2）時(shí)，n個(gè)r-1維超平面至多能把r維空間分割成y（n）個(gè)區(qū)域，{y（n）}是一個(gè)r階等差數(shù)列. 則當(dāng)k=r+1（r≥2）時(shí)，設(shè)n個(gè)r維超平面至多能把r+1維空間分割成z（n）個(gè)區(qū)域. 則n-1個(gè)r維超平面至多能把r+1維空間分割成z（n-1）個(gè)區(qū)域，再增加一個(gè)r維超平面時(shí)，這個(gè)r維超平面與前n-1個(gè)r維超平面都相交，得到n-1條r-1維超直線，要使得所增加的區(qū)域達(dá)到最多，則這n-1條r-1維超直線就要把新增加的r維超平面分割得到最多區(qū)域，于是增加了y（n-1）個(gè)區(qū)域，∴z（n）=z（n-1）+y（n-1）.由假設(shè)可知其中{y（n-1）}是一個(gè)r階等差數(shù)列.由推論便知{z（n）}是一個(gè)r+1階等差數(shù)列.

綜合（ⅰ）（ⅱ）猜想得證.

三、解題之感悟

數(shù)學(xué)上有些問題的求解，十分繁瑣，甚至無法解決，這時(shí)，我們不妨“退一步海闊天空”，采用“退維”的思想，構(gòu)造出新的模型，通過探索新模型的解法，獲得一些解題規(guī)律，這樣有時(shí)能夠使得原問題化繁為簡，化難為易，從而迅速獲解.

數(shù)學(xué)就是一個(gè)大花園，不安分的思想若能成為一顆種子，既可讓花園繁花似錦也能使花園雜草叢生.成功的關(guān)鍵取決于我們能否抓住解題的規(guī)律，抓住數(shù)學(xué)的真諦.