略談小學數學概念類模型的教學

趙佳珊

在一次數學教師骨干班培訓活動中，我有幸參加了在江蘇海門舉辦的第二屆“學程導航、活力課堂”全國小學數學教學研討會。令我激動的是，我聽到了來自北京教科院基礎教育研究中心的特級教師吳正憲執教的《認識方程》。

《認識方程》是蘇教版數學五年級下冊第一單元第一課時的內容。記得一年前自己執教這個內容時，課堂教學效果并不盡如人意，學生腦中搭建的“方程”這個模型不夠全面，導致課后作業一半學生錯誤。那么，吳老師是怎么建構“方程”這個概念模型的呢？

一、建模準備，感知對象

在開門見山式的揭示要研究的課題內容后，吳老師問學生：“要想學習方程，離不開一個重要的朋友，你們知道我帶來了什么嗎？”學生猜出天平后，老師揭開黑板上用白紙掩蓋著的簡易天平圖片。接下來通過肢體語言的表達，讓學生充分感知天平。

概念類模型的建立是滲透數學模型思想、實施“模型化”數學教學模式的基本形式和基礎。高年級學生由于其年齡特點，思維處于由形象思維向抽象思維過渡的特殊階段，知識的形成大多以實物圖、形象圖作藍本。因而整節課，吳老師以天平為線索，從“實物天平”到“心中的天平”，讓學生借助“天平”這個腳手架搭建“方程”的模型。

二、建模過程，豐富表象

接下來，教師通過黑板上的砝碼和水果，讓學生初步體驗天平平衡和不平衡兩種情況。吳老師的設計分為三步：

第1步：從熟悉的算式入手。黑板上天平的右邊擺了300克的砝碼，要求學生選擇相應的水果使其左右兩邊平衡。學生很快就在黑板上選出1根香蕉180克和1個蘋果120克進行操作。但吳老師并沒有立即進入下一環節的操作，而是問學生：你能用數學語言記錄下這種現象嗎？引導學生用式子來進行表達。當學生說出：180+120=300。吳老師及時給予肯定：真好，這是我們過去學習過的加法。這溝通了方程和加法算式的聯系。

第2步：引導學生進行遷移。吳老師從黑板上拿走1個120克的蘋果，問學生：這時候天平會怎么樣？毫無疑問，學生都說：斜了！緊接著她又拿出另一個蘋果，繼續說：“我現在要把這個蘋果換上來，這個蘋果有多重，并不知道。該怎么表示？”學生在下面說：x，用字母x表示。老師笑著說：“和我想到一塊去了。那你說，把這個蘋果放入盤中，天平會出現什么情況呢？”根據學生的操作，學生利用已有知識經驗記錄下三種情況：180+x=300，180+x>300，180+x<300。此時，老師又把黑板上的香蕉拿下來，換成質量相等的都為x克兩個蘋果，學生又順利地列出了含有乘法的等式。

第3步：豐富學生表象。有了前面充分的鋪墊，學生對后面發生在天平上的現象都能正確記錄。但吳老師并沒有讓學生進行重復地練習，而是讓學生“擺脫”操作，在頭腦中進行想象。引導學生用喜歡的方式來表達。由于思維定勢，學生都想到用字母來表示。于是老師問學生：“還有不同的表達方式嗎？不是用字母表示的，請你在紙上寫出來?！苯K于，一個孩子展示了她的式子：30+□=50。吳老師相機展示了另外一種表達方式：30+1個核桃=50。

在這個教學環節中，吳老師充分重視學生已有的知識經驗，提供了豐富的感性學習材料，從具體到半具體半抽象再到抽象，運用類比、概括等方法，把實際生活問題抽象成數學問題，將其數學化。

三、建模本質，“分類”“抽象”

吳老師問學生：這么多算式，都是被誰給“稱”出來的？學生異口同聲地說：天平。“面對黑板上這么多的算式，你有什么想法？”進而引導學生進行分類。由于分類的方法有很多種，課堂上，如何引導學生根據本節課的內容進行分類，吳老師又用到了“天平”。當學生把這些算式分為兩大類——等式和不等式時，吳老師說：“今天我們重點研究等式。這里等式都一樣嗎？哪兒不一樣，還可以再分類嗎？”引導學生進行二次分類。學生觀察思考后提出把都是數字的分為一類，把含有字母的分為一類，含有文字和□的分為一類。在學生把黑板上的等式用粉筆圈出來后，吳老師指著都是數字的算式說：“像這種情況，你們過去見過嗎？”學生齊說：見過。老師說：“這就是我們學習過的算式。那這樣的情況（師指著剩下的兩類），大家沒有見過。這樣的式子，還有一個特殊的名字，叫什么？”部分學生脫口而出：方程。此時教師順勢而問：“什么叫方程呢？……”

至此，學生用自己的語言對“方程”這個概念進行了描述，腦中建立了“方程”這個概念的模型。課堂上，吳老師引導學生通過比較、分析、綜合、歸納等思維活動，復合表象，將本質屬性抽取出來，構成同類對象本質的關鍵特征。同時，讓學生對“方程”的關鍵特征嘗試用語言或符號進行概括與表征，從而獲得概念。

四、建模目的，“內化”“應用”

揭示出方程的定義后，吳老師請學生到黑板前圈出是方程的式子。意料之中，這個學生出現的錯誤和當年我班上學生出現的問題一樣。他只圈出了含有字母的等式！于是，老師引導其他學生和這個學生對話，通過“蘇格拉底式”的問答，讓這位學生認識到自己對概念認知方面的不足，從而完善學生對“方程”概念的理解。

在模型應用階段，老師出示了一道題：把2000毫升的水倒入一個200毫升的水杯和2個熱水瓶，正好倒完。理解題意后，吳老師問學生：“這里有天平嗎？”學生紛紛搖頭：沒有。吳老師又問：“真的沒有天平嗎？”學生開始說：有！吳老師緊接著說：“真好，都看見天平了。那把你心中的天平‘亮出來?！庇谑?，學生又一次用肢體語言表達出這道問題。此刻，吳老師說：“把你看到的這個現象用數學語言來表達，也就是要列出什么？”學生接口說：方程。借助于“心中的天平”，學生順利地解決了生活中的問題。

在我的課堂，學生如果能達到這樣的學習效果，教學就結束了。但在吳老師的課堂，思維還在延伸。老師在黑板上寫出方程：30+x=100。你能看著這個冷冰冰的方程，講一個生活中的故事嗎？在她的引導之下，學生創造著一個又一個生動而有數學味的故事……endprint