基于古諾模型的日用品價格分析

王國棟

[提要] 通過對日用品市場調(diào)查，分析日用品投資商在壟斷競爭環(huán)境下的價格和產(chǎn)量均衡，并討論兩個日用品投資商博弈下的最優(yōu)反應函數(shù)。從市場主體策略效益最大化角度將古諾模型引入日用品市場中，利用非線性理論對模型的均衡點進行分析，得出日用品投資商在不同策略下的最優(yōu)產(chǎn)量與價格，從而為資源最優(yōu)配置下的市場管理和政策提供一定的理論依據(jù)。

關鍵詞：日用品；古諾模型；博弈；Nash均衡

中圖分類號：F713.5 文獻標識碼：A

收錄日期：2014年9月15日

一、引言

日用品價格變動一直是人們關心的話題。近年來，中國日用品的市場風險加大，特別是日用化妝品市場，市場價格循環(huán)漲跌已經(jīng)成為一種常態(tài)。而日用品作為人們?nèi)粘Ｓ闷罚鋬r格的上漲給大多數(shù)工薪階層的居民造成很大影響。通過對重慶市日用品市場的調(diào)查分析，日用品呈現(xiàn)逐年增加的趨勢，而針對居民的工資收入，日用品相對收入低下的居民，大有變成一種奢侈品的現(xiàn)實。徐玲玲等在文章中研究了古諾模型下蔬菜價格，文章在完全信息靜態(tài)的博弈理論下，分析蔬菜的價格，并且假設市場逆需求函數(shù)為線性。在現(xiàn)實中日用品投資商之間的博弈是不斷進行的，不可能立即達到Nash均衡狀態(tài)，同時每個日用品投資商掌握的信息都是不充分的，而且投資商決策都是由人做出的，而人由于感知認識能力和語言上限制了所做出的決策也不可能是完全理性的，只能是有限理性，本文考慮到日用品市場的復雜性，將有限理性的古諾模型引入到日用品市場中，并且假設逆需求函數(shù)為非線性的情況下，利用非線性理論對模型的穩(wěn)定點進行分析，通過分析得出影響日用品投資商的供應量以及價格的因素。

二、模型的建立

本文首先根據(jù)靜態(tài)博弈在寡頭市場上的產(chǎn)量與價格競爭的博弈理論，研究在兩個日用品投資商之間合作與不合作兩種情況下，日用品的供應量與價格的比較。

假設寡頭市場上有兩個日用品投資商A，B，其日用品的供應量分別記為q1和q2，日應品的價格分別記為p1和p2。在一個周期內(nèi)，日用品的銷售量等于日用品投資商的供應量，即達到供銷平衡，日用品的供應發(fā)生在離散的時間周期n=0，1，2，3……Ci（qi）=ci+diqi2（i=1，2）代表日用品投資商的成本函數(shù)，其中ci表示第i家日用品投資商的固定成本，di代表該投資商的單位生產(chǎn)的變動成本。第n期的價格p是由總生產(chǎn)量Q（n）=q1（n）+q2（n）通過p=p（Q）=a-bQ的逆需求函數(shù)決定的，這里a、b均為正的常數(shù)，a表示市場上該日用品的最高價格，每個投資商的戰(zhàn)略空間是選擇投資供應日用品的數(shù)量，利潤是支付。

則第i家投資商在第n期的稅前利潤模型為：

？仔1=（a-b（q1+q2））q1-c1-d1q12？仔2=（a-b（q1+q2））q2-c2-d2q22 （1）

第i家投資商在一個期間的邊際利潤為：

=a-bq2-c1-2bq1-2d1q1=a-bq1-c2-2bq2-2d2q2 （2）

三、模型分析

在系統(tǒng)（2）中，令=0，=0，可以得到模型的3個均衡點。

E1=0，，E2=，0

E3=，

顯然，E1、E2為有界均衡點，E3為Nash均衡（很容易證明其為兩投資商邊際利潤為零時所對應的點，即Nash均衡點。）下面研究這些均衡點的局部穩(wěn)定性。首先我們求出（2）式的Jacobin矩陣，即：

a-bq2-c1-（2b+2d1）q1 -bq1-bq2 a-bq1-c2-（2b+2d2）q2

定理一：有界均衡E1、E2是不穩(wěn)定點。

證明：在有界均衡E1處的Jacobin矩陣為：

J=a--c1 0-bq2 0

它的兩個特征值為？姿1=a--c1，？姿2=0，根據(jù)非線性理論可知E1為不穩(wěn)定點。出現(xiàn)這種情況可能是由于日用品投資商A的成本比較高，出現(xiàn)這種情況會產(chǎn)生投資商對市場資源利用機會的不平等，也會導致市場競爭力的下降，出現(xiàn)壟斷情況是我國政府不愿看到的，定理二：E3為Nash均衡穩(wěn)定點。

證明：在Nash均衡點E3處，Jacobin矩陣為：

J=a-bq2*-c1-（2b+2d1）q1* -bq1*-bq2* a-bq1*-c2-（2b+2d2）q2*

其中，q1*=

q2*=

它的特征方程為：？籽（？姿）=？姿2-trJ？姿+detJ=0，其中trJ表示Jacobin矩陣的跡，detJ表示Jacobin矩陣的行列式：

TrJ=2a-（3b+2d1）q1*-（3b+2d2）q2*-（c1+c2）

DetJ=[a-bq2*-c1-（2b+2d1）q1*][a-bq1*-c2-（2b+2d2）q2*]-b2q1*q2*

根據(jù)Jury條件，Nash均衡E3穩(wěn)定的充分必要條件為：

（1）1+trJ+DetJ>0；（2）1-trJ+DetJ>0；（3）DetJ<1

由于上式難于求解，通過計算機模擬可以證明，參數(shù)a、b、c1、d1、d2滿足一定條件時，上面的式子成立。通過計算機的模擬分析得到：日用品投資商A供應量越大，日用品投資商B的最優(yōu)反應供應量越小，其中一個投資商的單位成本越大，均衡供應量越低。

四、基于古諾模型的日用品投資商行為分析

假設兩個日用品投資商的固定成本c1=c2=c，單位變動成本d1=d2=0，這時投資模型的均衡供應量為q*=q1=q2=，由逆需求函數(shù)p=a-bQ=a-b（q1+q2）得到均衡價格為p*=，均衡利潤為？仔*=。如果兩個投資商采取合作的策略，這時投資商的最大化利潤為：Max？仔（Q）=（a-bQ-c）Q。

=a-2bQ-c=0可解得投資商的供應量為：Qm=，價格為：pm=a-bQm=，利潤為？仔m=，單個日用品投資商的供應量為：qm=，利潤為=。因此，如果兩個日用品投資商進行合作的話，供應量會降低，價格會升高（pm>p*）。

五、小結

本文考慮到日用品市場的復雜性，將古諾模型引入到日用品市場中，同時假設成本函數(shù)為非線性，更符合實際情況，利用非線性理論對建立的模型進行分析，得出兩個日用品投資商如果采取合作的方式進行投資，不但會降低供應量，而且會使得產(chǎn)品的價格升高。現(xiàn)實生活中，由于投資商財力、物力的不同，擁有有效資源的不平等，投資商只是在一個時間段采取合作的方式投資，已經(jīng)將重點研究具有有限理性的投資商，在占有資源、信息的不平等情況，如何在市場中展開競爭。

主要參考文獻：

[1]徐玲鈴等.基于古諾模型蔬菜價格分析[J].農(nóng)村經(jīng)濟與科技，2013.12.

[2]Agiza H N，Hegazi A S，Elaadany A A.Complex dynamics and synchronization of a duopoly game with bounded rationality[J].Mathematics and Computer in Simulation，2002.58.

[3]Agiza H N，Hegazi A S，Elaad A A.The dynamicsof Bowleys model with bounded rationality[J].Chaos，Solitons and Fractals，2001.12.

[4]Bischi G I，Naimzada A.Global analysis of a dynamic duopoly game with bounded rationality[A].Dynamics Games and Application，vol.5，Birkhouser，1999.

[提要] 通過對日用品市場調(diào)查，分析日用品投資商在壟斷競爭環(huán)境下的價格和產(chǎn)量均衡，并討論兩個日用品投資商博弈下的最優(yōu)反應函數(shù)。從市場主體策略效益最大化角度將古諾模型引入日用品市場中，利用非線性理論對模型的均衡點進行分析，得出日用品投資商在不同策略下的最優(yōu)產(chǎn)量與價格，從而為資源最優(yōu)配置下的市場管理和政策提供一定的理論依據(jù)。

關鍵詞：日用品；古諾模型；博弈；Nash均衡

中圖分類號：F713.5 文獻標識碼：A

收錄日期：2014年9月15日

一、引言

日用品價格變動一直是人們關心的話題。近年來，中國日用品的市場風險加大，特別是日用化妝品市場，市場價格循環(huán)漲跌已經(jīng)成為一種常態(tài)。而日用品作為人們?nèi)粘Ｓ闷罚鋬r格的上漲給大多數(shù)工薪階層的居民造成很大影響。通過對重慶市日用品市場的調(diào)查分析，日用品呈現(xiàn)逐年增加的趨勢，而針對居民的工資收入，日用品相對收入低下的居民，大有變成一種奢侈品的現(xiàn)實。徐玲玲等在文章中研究了古諾模型下蔬菜價格，文章在完全信息靜態(tài)的博弈理論下，分析蔬菜的價格，并且假設市場逆需求函數(shù)為線性。在現(xiàn)實中日用品投資商之間的博弈是不斷進行的，不可能立即達到Nash均衡狀態(tài)，同時每個日用品投資商掌握的信息都是不充分的，而且投資商決策都是由人做出的，而人由于感知認識能力和語言上限制了所做出的決策也不可能是完全理性的，只能是有限理性，本文考慮到日用品市場的復雜性，將有限理性的古諾模型引入到日用品市場中，并且假設逆需求函數(shù)為非線性的情況下，利用非線性理論對模型的穩(wěn)定點進行分析，通過分析得出影響日用品投資商的供應量以及價格的因素。

二、模型的建立

本文首先根據(jù)靜態(tài)博弈在寡頭市場上的產(chǎn)量與價格競爭的博弈理論，研究在兩個日用品投資商之間合作與不合作兩種情況下，日用品的供應量與價格的比較。

假設寡頭市場上有兩個日用品投資商A，B，其日用品的供應量分別記為q1和q2，日應品的價格分別記為p1和p2。在一個周期內(nèi)，日用品的銷售量等于日用品投資商的供應量，即達到供銷平衡，日用品的供應發(fā)生在離散的時間周期n=0，1，2，3……Ci（qi）=ci+diqi2（i=1，2）代表日用品投資商的成本函數(shù)，其中ci表示第i家日用品投資商的固定成本，di代表該投資商的單位生產(chǎn)的變動成本。第n期的價格p是由總生產(chǎn)量Q（n）=q1（n）+q2（n）通過p=p（Q）=a-bQ的逆需求函數(shù)決定的，這里a、b均為正的常數(shù)，a表示市場上該日用品的最高價格，每個投資商的戰(zhàn)略空間是選擇投資供應日用品的數(shù)量，利潤是支付。

則第i家投資商在第n期的稅前利潤模型為：

？仔1=（a-b（q1+q2））q1-c1-d1q12？仔2=（a-b（q1+q2））q2-c2-d2q22 （1）

第i家投資商在一個期間的邊際利潤為：

=a-bq2-c1-2bq1-2d1q1=a-bq1-c2-2bq2-2d2q2 （2）

三、模型分析

在系統(tǒng)（2）中，令=0，=0，可以得到模型的3個均衡點。

E1=0，，E2=，0

E3=，

顯然，E1、E2為有界均衡點，E3為Nash均衡（很容易證明其為兩投資商邊際利潤為零時所對應的點，即Nash均衡點。）下面研究這些均衡點的局部穩(wěn)定性。首先我們求出（2）式的Jacobin矩陣，即：

a-bq2-c1-（2b+2d1）q1 -bq1-bq2 a-bq1-c2-（2b+2d2）q2

定理一：有界均衡E1、E2是不穩(wěn)定點。

證明：在有界均衡E1處的Jacobin矩陣為：

J=a--c1 0-bq2 0

它的兩個特征值為？姿1=a--c1，？姿2=0，根據(jù)非線性理論可知E1為不穩(wěn)定點。出現(xiàn)這種情況可能是由于日用品投資商A的成本比較高，出現(xiàn)這種情況會產(chǎn)生投資商對市場資源利用機會的不平等，也會導致市場競爭力的下降，出現(xiàn)壟斷情況是我國政府不愿看到的，定理二：E3為Nash均衡穩(wěn)定點。

證明：在Nash均衡點E3處，Jacobin矩陣為：

J=a-bq2*-c1-（2b+2d1）q1* -bq1*-bq2* a-bq1*-c2-（2b+2d2）q2*

其中，q1*=

q2*=

它的特征方程為：？籽（？姿）=？姿2-trJ？姿+detJ=0，其中trJ表示Jacobin矩陣的跡，detJ表示Jacobin矩陣的行列式：

TrJ=2a-（3b+2d1）q1*-（3b+2d2）q2*-（c1+c2）

DetJ=[a-bq2*-c1-（2b+2d1）q1*][a-bq1*-c2-（2b+2d2）q2*]-b2q1*q2*

根據(jù)Jury條件，Nash均衡E3穩(wěn)定的充分必要條件為：

（1）1+trJ+DetJ>0；（2）1-trJ+DetJ>0；（3）DetJ<1

由于上式難于求解，通過計算機模擬可以證明，參數(shù)a、b、c1、d1、d2滿足一定條件時，上面的式子成立。通過計算機的模擬分析得到：日用品投資商A供應量越大，日用品投資商B的最優(yōu)反應供應量越小，其中一個投資商的單位成本越大，均衡供應量越低。

四、基于古諾模型的日用品投資商行為分析

假設兩個日用品投資商的固定成本c1=c2=c，單位變動成本d1=d2=0，這時投資模型的均衡供應量為q*=q1=q2=，由逆需求函數(shù)p=a-bQ=a-b（q1+q2）得到均衡價格為p*=，均衡利潤為？仔*=。如果兩個投資商采取合作的策略，這時投資商的最大化利潤為：Max？仔（Q）=（a-bQ-c）Q。

=a-2bQ-c=0可解得投資商的供應量為：Qm=，價格為：pm=a-bQm=，利潤為？仔m=，單個日用品投資商的供應量為：qm=，利潤為=。因此，如果兩個日用品投資商進行合作的話，供應量會降低，價格會升高（pm>p*）。

五、小結

本文考慮到日用品市場的復雜性，將古諾模型引入到日用品市場中，同時假設成本函數(shù)為非線性，更符合實際情況，利用非線性理論對建立的模型進行分析，得出兩個日用品投資商如果采取合作的方式進行投資，不但會降低供應量，而且會使得產(chǎn)品的價格升高。現(xiàn)實生活中，由于投資商財力、物力的不同，擁有有效資源的不平等，投資商只是在一個時間段采取合作的方式投資，已經(jīng)將重點研究具有有限理性的投資商，在占有資源、信息的不平等情況，如何在市場中展開競爭。

主要參考文獻：

[1]徐玲鈴等.基于古諾模型蔬菜價格分析[J].農(nóng)村經(jīng)濟與科技，2013.12.

[2]Agiza H N，Hegazi A S，Elaadany A A.Complex dynamics and synchronization of a duopoly game with bounded rationality[J].Mathematics and Computer in Simulation，2002.58.

[3]Agiza H N，Hegazi A S，Elaad A A.The dynamicsof Bowleys model with bounded rationality[J].Chaos，Solitons and Fractals，2001.12.

[4]Bischi G I，Naimzada A.Global analysis of a dynamic duopoly game with bounded rationality[A].Dynamics Games and Application，vol.5，Birkhouser，1999.

[提要] 通過對日用品市場調(diào)查，分析日用品投資商在壟斷競爭環(huán)境下的價格和產(chǎn)量均衡，并討論兩個日用品投資商博弈下的最優(yōu)反應函數(shù)。從市場主體策略效益最大化角度將古諾模型引入日用品市場中，利用非線性理論對模型的均衡點進行分析，得出日用品投資商在不同策略下的最優(yōu)產(chǎn)量與價格，從而為資源最優(yōu)配置下的市場管理和政策提供一定的理論依據(jù)。

關鍵詞：日用品；古諾模型；博弈；Nash均衡

中圖分類號：F713.5 文獻標識碼：A

收錄日期：2014年9月15日

一、引言

日用品價格變動一直是人們關心的話題。近年來，中國日用品的市場風險加大，特別是日用化妝品市場，市場價格循環(huán)漲跌已經(jīng)成為一種常態(tài)。而日用品作為人們?nèi)粘Ｓ闷罚鋬r格的上漲給大多數(shù)工薪階層的居民造成很大影響。通過對重慶市日用品市場的調(diào)查分析，日用品呈現(xiàn)逐年增加的趨勢，而針對居民的工資收入，日用品相對收入低下的居民，大有變成一種奢侈品的現(xiàn)實。徐玲玲等在文章中研究了古諾模型下蔬菜價格，文章在完全信息靜態(tài)的博弈理論下，分析蔬菜的價格，并且假設市場逆需求函數(shù)為線性。在現(xiàn)實中日用品投資商之間的博弈是不斷進行的，不可能立即達到Nash均衡狀態(tài)，同時每個日用品投資商掌握的信息都是不充分的，而且投資商決策都是由人做出的，而人由于感知認識能力和語言上限制了所做出的決策也不可能是完全理性的，只能是有限理性，本文考慮到日用品市場的復雜性，將有限理性的古諾模型引入到日用品市場中，并且假設逆需求函數(shù)為非線性的情況下，利用非線性理論對模型的穩(wěn)定點進行分析，通過分析得出影響日用品投資商的供應量以及價格的因素。

二、模型的建立

本文首先根據(jù)靜態(tài)博弈在寡頭市場上的產(chǎn)量與價格競爭的博弈理論，研究在兩個日用品投資商之間合作與不合作兩種情況下，日用品的供應量與價格的比較。

假設寡頭市場上有兩個日用品投資商A，B，其日用品的供應量分別記為q1和q2，日應品的價格分別記為p1和p2。在一個周期內(nèi)，日用品的銷售量等于日用品投資商的供應量，即達到供銷平衡，日用品的供應發(fā)生在離散的時間周期n=0，1，2，3……Ci（qi）=ci+diqi2（i=1，2）代表日用品投資商的成本函數(shù)，其中ci表示第i家日用品投資商的固定成本，di代表該投資商的單位生產(chǎn)的變動成本。第n期的價格p是由總生產(chǎn)量Q（n）=q1（n）+q2（n）通過p=p（Q）=a-bQ的逆需求函數(shù)決定的，這里a、b均為正的常數(shù)，a表示市場上該日用品的最高價格，每個投資商的戰(zhàn)略空間是選擇投資供應日用品的數(shù)量，利潤是支付。

則第i家投資商在第n期的稅前利潤模型為：

？仔1=（a-b（q1+q2））q1-c1-d1q12？仔2=（a-b（q1+q2））q2-c2-d2q22 （1）

第i家投資商在一個期間的邊際利潤為：

=a-bq2-c1-2bq1-2d1q1=a-bq1-c2-2bq2-2d2q2 （2）

三、模型分析

在系統(tǒng)（2）中，令=0，=0，可以得到模型的3個均衡點。

E1=0，，E2=，0

E3=，

顯然，E1、E2為有界均衡點，E3為Nash均衡（很容易證明其為兩投資商邊際利潤為零時所對應的點，即Nash均衡點。）下面研究這些均衡點的局部穩(wěn)定性。首先我們求出（2）式的Jacobin矩陣，即：

a-bq2-c1-（2b+2d1）q1 -bq1-bq2 a-bq1-c2-（2b+2d2）q2

定理一：有界均衡E1、E2是不穩(wěn)定點。

證明：在有界均衡E1處的Jacobin矩陣為：

J=a--c1 0-bq2 0

它的兩個特征值為？姿1=a--c1，？姿2=0，根據(jù)非線性理論可知E1為不穩(wěn)定點。出現(xiàn)這種情況可能是由于日用品投資商A的成本比較高，出現(xiàn)這種情況會產(chǎn)生投資商對市場資源利用機會的不平等，也會導致市場競爭力的下降，出現(xiàn)壟斷情況是我國政府不愿看到的，定理二：E3為Nash均衡穩(wěn)定點。

證明：在Nash均衡點E3處，Jacobin矩陣為：

J=a-bq2*-c1-（2b+2d1）q1* -bq1*-bq2* a-bq1*-c2-（2b+2d2）q2*

其中，q1*=

q2*=

它的特征方程為：？籽（？姿）=？姿2-trJ？姿+detJ=0，其中trJ表示Jacobin矩陣的跡，detJ表示Jacobin矩陣的行列式：

TrJ=2a-（3b+2d1）q1*-（3b+2d2）q2*-（c1+c2）

DetJ=[a-bq2*-c1-（2b+2d1）q1*][a-bq1*-c2-（2b+2d2）q2*]-b2q1*q2*

根據(jù)Jury條件，Nash均衡E3穩(wěn)定的充分必要條件為：

（1）1+trJ+DetJ>0；（2）1-trJ+DetJ>0；（3）DetJ<1

由于上式難于求解，通過計算機模擬可以證明，參數(shù)a、b、c1、d1、d2滿足一定條件時，上面的式子成立。通過計算機的模擬分析得到：日用品投資商A供應量越大，日用品投資商B的最優(yōu)反應供應量越小，其中一個投資商的單位成本越大，均衡供應量越低。

四、基于古諾模型的日用品投資商行為分析

假設兩個日用品投資商的固定成本c1=c2=c，單位變動成本d1=d2=0，這時投資模型的均衡供應量為q*=q1=q2=，由逆需求函數(shù)p=a-bQ=a-b（q1+q2）得到均衡價格為p*=，均衡利潤為？仔*=。如果兩個投資商采取合作的策略，這時投資商的最大化利潤為：Max？仔（Q）=（a-bQ-c）Q。

=a-2bQ-c=0可解得投資商的供應量為：Qm=，價格為：pm=a-bQm=，利潤為？仔m=，單個日用品投資商的供應量為：qm=，利潤為=。因此，如果兩個日用品投資商進行合作的話，供應量會降低，價格會升高（pm>p*）。

五、小結

本文考慮到日用品市場的復雜性，將古諾模型引入到日用品市場中，同時假設成本函數(shù)為非線性，更符合實際情況，利用非線性理論對建立的模型進行分析，得出兩個日用品投資商如果采取合作的方式進行投資，不但會降低供應量，而且會使得產(chǎn)品的價格升高。現(xiàn)實生活中，由于投資商財力、物力的不同，擁有有效資源的不平等，投資商只是在一個時間段采取合作的方式投資，已經(jīng)將重點研究具有有限理性的投資商，在占有資源、信息的不平等情況，如何在市場中展開競爭。

主要參考文獻：

[1]徐玲鈴等.基于古諾模型蔬菜價格分析[J].農(nóng)村經(jīng)濟與科技，2013.12.

[2]Agiza H N，Hegazi A S，Elaadany A A.Complex dynamics and synchronization of a duopoly game with bounded rationality[J].Mathematics and Computer in Simulation，2002.58.

[3]Agiza H N，Hegazi A S，Elaad A A.The dynamicsof Bowleys model with bounded rationality[J].Chaos，Solitons and Fractals，2001.12.

[4]Bischi G I，Naimzada A.Global analysis of a dynamic duopoly game with bounded rationality[A].Dynamics Games and Application，vol.5，Birkhouser，1999.