二次作業法在解一元二次不等式教學中的應用

巫春蘭

摘 要：二次作業法是一種正在探究和發展中的教學方法，目前可供借鑒的模式、程序和案例還很少，還沒有引起教育理論界和中學一線教師廣泛的重視。本文以中等職業學校數學教科書第二章《一元二次不等式的解法》為例，探討如何運用二次作業法進行教學設計，以期為推進二次作業法在數學教學中的應用提供參考性資料。

關鍵詞：“二次作業法”；“二次作業法”的一般程序；解一元二次不等式

中圖分類號：G713 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）22-030-2

解一元二次不等式是職校學生學習的難點和重點，二次作業法是我校承擔的江蘇省“十二五”重點規劃課題《基于行動導向的“二次作業法”實踐研究》在課例研究上的一個實踐的結果，即通過優化教學情境、設置重重問題、創新導入方式、激發學生思維、利用類比歸納的方法形成概念，采用合作探究的課堂教學方式，深化了學生對解一元二次不等式的掌握。

一、課例設計分析

“解一元二次不等式”的基本設計思路是：由問題探究所得到的不等式抽象出一元二次不等式的概念，并介紹一元二次不等式的解集的概念。接著利用數形結合，通過觀察二次函數的圖像，理解二次函數圖像與X軸交點的橫坐標就是相應的一元二次方程的解，在X軸上方或下方的函數圖像所對應的自變量X的取值范圍，就是對應一元二次不等式的解集。通過具體例題，幫助學生掌握用圖像法解一元二次不等式的方法和步驟。在此基礎上，對于a>0時，按Δ>0、Δ=0、Δ<0三種情況，用表格形式列出了一元二次方程的解、二次函數的圖像、一元二次不等式的解集。這有助于學生提高對三個“二次”聯系性的認識。對于二次項系數為負的一元二次不等式，通過例題介紹了“在不等式兩邊同時乘以-1，化為二次項系數為正的一元二次不等式求解”的方法，體現了化歸的數學思想。會解元一元二次方程、會畫二次函數圖像是學好本節內容的關鍵，體現了用函數的觀點研究方程和不等式，反過來又將方程和不等式的解與函數研究相聯系，有助于提升學生對函數思想的理解。

二、教學設計過程

1.課前準備，初次作業

教師在教學設計階段對學生的知識水平、理解能力、學習習慣等要有較為全面的了解。預先布置學生復習解一元二次方程和畫二次函數的圖像的相關知識，并明確本節課的學習任務，讓學生在復習舊知的過程中體悟與新知的聯系。設計預習作業時，應針對不同層次的學生有一定的梯度，我作了如下的設計：

①一元二次方程、二次函數的一般表達式是什么？②一元二次方程的根由什么決定的？怎么決定的？③二次函數的圖像是什么？如何作其簡圖？④求一元二次方程x2-x-2=0，x2-2x+1=0，x2-x+2=0的Δ，并求其根。⑤作函數y=x2-x-2，y=x2-2x+1，y=x2-x+2的圖像，圖像與X軸的位置由誰決定？⑥當Y=0時，X的值與一元二次方程的解有何關系？⑦圖像上位于X軸的上方（或下方）的點的縱坐標有什么特點？⑧當X取什么值時圖像在X軸的上方（或下方）？

至此，為得出一元二次不等式的解集做好了層層鋪墊。

2.創設情境，明確任務

教師以多媒體課件創設一些生活中具體不等關系的情境引導學生用數學式子表示，得出形如ax2+bx+c>0（≥0或<0或≤0）的不等式叫做一元二次不等式的概念。再提出一元二次不等式的解集的概念，如何求一元二次不等式的解集呢？這就是本節課要達成的目標。教師從真實的生活情境切入，層層設疑，給學生心理造成一種懸而未決又必須解決的求知狀態，從而激發起強烈的學習愿望和思維活躍性，由此拉開了本課的序幕。

3.初次探究，發現問題

教師用課件引出三組一元二次不等式：①x2-x-2>0和x2-x-2<0，②x2-2x+1>0和x2-2x+1<0，③x2-x+2>0和x2-x+2<0。讓學生比較它們與初次作業中的方程和函數的關系。教師可通過三個問題引導學生思考這三個“二次”間的聯系，并給學生一定的時間分組討論，各組再選派代表闡述討論結果，最后由老師展示出三個問題的分析過程和結論。

問題1：令Y=0得一元二次方程x2-x-2=0的解在圖像哪里？

結論：二次函數圖像與X軸交點的橫坐標即為方程的解。

問題2：X取何值時，圖像在X軸上方？

分析：圖像在X軸上方圖像上點的縱坐標Y>0

即x2-2x+1>0由圖像可知X<-1或X>2

問題3：X取何值時，圖像在X軸下方？

分析：圖像在X軸下方圖像上點的縱坐標Y<0即x2-2x+1<0

由圖像可知-1

教師要善于根據學生原有的能力水平和觀察到的具體情況處理好“扶”與“放”的關系，充分發揮教師的主導作用，在“無疑”之處設疑，多多鼓勵學生，給學生多點時間探索體悟，讓學生體驗到成功的喜悅，消除他們害怕失敗的心理障礙，為二次作業的開展做好鋪墊。

4.探究成因，得出解法與步驟

教師對學生探究過程的控制與指導至關重要，既要鼓勵學生不迷信教材與教師的權威，將自己的思維引向更深的層次，對探討現象和結果多問幾個為什么，又要善于抓住良好的契機，為學生提供適當的指導和幫助，形成一個生動活潑、主動富有個性又注重集體智慧的探究氛圍。

此時教師再次拋出不等式x2-x-2>0和x2-x-2<0，讓學生按照前面得出的結論，細致觀察函數圖像，明確解題的關鍵與步驟，從而得出解一元二次不等式的一般步驟。

5.自主探究，二次作業

二次作業探究的主體是建立在初次作業的基礎上的，學生已經初步掌握了三個“二次”之間的內在聯系，并在解題過程中經歷了“發現問題大膽質疑分析過程提出解決方案”的再認識、再創造的過程，因此二次作業的可操作性強，成功率也比較高。但要尋找假設與事實之間的關系，整個探究過程仍然會比初次作業更加復雜，更具有動態生成性。

由此教師再引出①x2-2x+1>0和x2-2x+1<0；②x2-x+2>0和x2-x+2<0這兩組不等式給學生求解，目的是得出Δ=0、Δ<0這兩種情況下的一元二次不等式的解集的求法。再次讓學生分組探討，觀察方程、函數、不等式之間的關系，完成書上的表格的填寫，得出各種情形的一元二次不等式的解集。

二次作業不是學習的結束，而是另一個學習的開始。學生在探究中發現一些感興趣但來不及或者課堂時間不允許但很值得繼續探討的問題，可以進一步拓展延伸到課堂外，從定向探究轉向了自由探究，加強課內和課外的聯系，使探究結果能經受質疑和檢驗。

6.綜合評價，深化拓展

評價是二次作業法教學必不可少的一環，需要建立起一種能夠激勵和促進學生在知識、技能、思維、心理、觀念態度和創新精神等方面協調發展的評價理念。教師在總結階段要引導學生進行綜合評價和自我反思。教師的評價要注重以激勵和剖析問題為主，既使得學生不至于茫然失措，逐步構建自己的元認知策略，又能夠引導學生發現自己研究的不足，從他人身上反觀自我，以自我為尺度評判他人，培養積極的自我體驗與主動的自我調控能力，讓學生從評價中反思自我，提高綜合素質。

總之，二次作業法不僅可以鍛煉學生發現問題、分析問題和解決問題的能力，而且有助于培養學生勇于質疑、樂于探究的科學精神，這與新課程改革的出發點是相契合的，在日常的數學教學中如何修正、完善與發展二次作業法，這為加強數學教學改革提出了新的研究課題。

摘 要：二次作業法是一種正在探究和發展中的教學方法，目前可供借鑒的模式、程序和案例還很少，還沒有引起教育理論界和中學一線教師廣泛的重視。本文以中等職業學校數學教科書第二章《一元二次不等式的解法》為例，探討如何運用二次作業法進行教學設計，以期為推進二次作業法在數學教學中的應用提供參考性資料。

關鍵詞：“二次作業法”；“二次作業法”的一般程序；解一元二次不等式

中圖分類號：G713 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）22-030-2

解一元二次不等式是職校學生學習的難點和重點，二次作業法是我校承擔的江蘇省“十二五”重點規劃課題《基于行動導向的“二次作業法”實踐研究》在課例研究上的一個實踐的結果，即通過優化教學情境、設置重重問題、創新導入方式、激發學生思維、利用類比歸納的方法形成概念，采用合作探究的課堂教學方式，深化了學生對解一元二次不等式的掌握。

一、課例設計分析

“解一元二次不等式”的基本設計思路是：由問題探究所得到的不等式抽象出一元二次不等式的概念，并介紹一元二次不等式的解集的概念。接著利用數形結合，通過觀察二次函數的圖像，理解二次函數圖像與X軸交點的橫坐標就是相應的一元二次方程的解，在X軸上方或下方的函數圖像所對應的自變量X的取值范圍，就是對應一元二次不等式的解集。通過具體例題，幫助學生掌握用圖像法解一元二次不等式的方法和步驟。在此基礎上，對于a>0時，按Δ>0、Δ=0、Δ<0三種情況，用表格形式列出了一元二次方程的解、二次函數的圖像、一元二次不等式的解集。這有助于學生提高對三個“二次”聯系性的認識。對于二次項系數為負的一元二次不等式，通過例題介紹了“在不等式兩邊同時乘以-1，化為二次項系數為正的一元二次不等式求解”的方法，體現了化歸的數學思想。會解元一元二次方程、會畫二次函數圖像是學好本節內容的關鍵，體現了用函數的觀點研究方程和不等式，反過來又將方程和不等式的解與函數研究相聯系，有助于提升學生對函數思想的理解。

二、教學設計過程

1.課前準備，初次作業

教師在教學設計階段對學生的知識水平、理解能力、學習習慣等要有較為全面的了解。預先布置學生復習解一元二次方程和畫二次函數的圖像的相關知識，并明確本節課的學習任務，讓學生在復習舊知的過程中體悟與新知的聯系。設計預習作業時，應針對不同層次的學生有一定的梯度，我作了如下的設計：

①一元二次方程、二次函數的一般表達式是什么？②一元二次方程的根由什么決定的？怎么決定的？③二次函數的圖像是什么？如何作其簡圖？④求一元二次方程x2-x-2=0，x2-2x+1=0，x2-x+2=0的Δ，并求其根。⑤作函數y=x2-x-2，y=x2-2x+1，y=x2-x+2的圖像，圖像與X軸的位置由誰決定？⑥當Y=0時，X的值與一元二次方程的解有何關系？⑦圖像上位于X軸的上方（或下方）的點的縱坐標有什么特點？⑧當X取什么值時圖像在X軸的上方（或下方）？

至此，為得出一元二次不等式的解集做好了層層鋪墊。

2.創設情境，明確任務

教師以多媒體課件創設一些生活中具體不等關系的情境引導學生用數學式子表示，得出形如ax2+bx+c>0（≥0或<0或≤0）的不等式叫做一元二次不等式的概念。再提出一元二次不等式的解集的概念，如何求一元二次不等式的解集呢？這就是本節課要達成的目標。教師從真實的生活情境切入，層層設疑，給學生心理造成一種懸而未決又必須解決的求知狀態，從而激發起強烈的學習愿望和思維活躍性，由此拉開了本課的序幕。

3.初次探究，發現問題

教師用課件引出三組一元二次不等式：①x2-x-2>0和x2-x-2<0，②x2-2x+1>0和x2-2x+1<0，③x2-x+2>0和x2-x+2<0。讓學生比較它們與初次作業中的方程和函數的關系。教師可通過三個問題引導學生思考這三個“二次”間的聯系，并給學生一定的時間分組討論，各組再選派代表闡述討論結果，最后由老師展示出三個問題的分析過程和結論。

問題1：令Y=0得一元二次方程x2-x-2=0的解在圖像哪里？

結論：二次函數圖像與X軸交點的橫坐標即為方程的解。

問題2：X取何值時，圖像在X軸上方？

分析：圖像在X軸上方圖像上點的縱坐標Y>0

即x2-2x+1>0由圖像可知X<-1或X>2

問題3：X取何值時，圖像在X軸下方？

分析：圖像在X軸下方圖像上點的縱坐標Y<0即x2-2x+1<0

由圖像可知-1

教師要善于根據學生原有的能力水平和觀察到的具體情況處理好“扶”與“放”的關系，充分發揮教師的主導作用，在“無疑”之處設疑，多多鼓勵學生，給學生多點時間探索體悟，讓學生體驗到成功的喜悅，消除他們害怕失敗的心理障礙，為二次作業的開展做好鋪墊。

4.探究成因，得出解法與步驟

教師對學生探究過程的控制與指導至關重要，既要鼓勵學生不迷信教材與教師的權威，將自己的思維引向更深的層次，對探討現象和結果多問幾個為什么，又要善于抓住良好的契機，為學生提供適當的指導和幫助，形成一個生動活潑、主動富有個性又注重集體智慧的探究氛圍。

此時教師再次拋出不等式x2-x-2>0和x2-x-2<0，讓學生按照前面得出的結論，細致觀察函數圖像，明確解題的關鍵與步驟，從而得出解一元二次不等式的一般步驟。

5.自主探究，二次作業

二次作業探究的主體是建立在初次作業的基礎上的，學生已經初步掌握了三個“二次”之間的內在聯系，并在解題過程中經歷了“發現問題大膽質疑分析過程提出解決方案”的再認識、再創造的過程，因此二次作業的可操作性強，成功率也比較高。但要尋找假設與事實之間的關系，整個探究過程仍然會比初次作業更加復雜，更具有動態生成性。

由此教師再引出①x2-2x+1>0和x2-2x+1<0；②x2-x+2>0和x2-x+2<0這兩組不等式給學生求解，目的是得出Δ=0、Δ<0這兩種情況下的一元二次不等式的解集的求法。再次讓學生分組探討，觀察方程、函數、不等式之間的關系，完成書上的表格的填寫，得出各種情形的一元二次不等式的解集。

二次作業不是學習的結束，而是另一個學習的開始。學生在探究中發現一些感興趣但來不及或者課堂時間不允許但很值得繼續探討的問題，可以進一步拓展延伸到課堂外，從定向探究轉向了自由探究，加強課內和課外的聯系，使探究結果能經受質疑和檢驗。

6.綜合評價，深化拓展

評價是二次作業法教學必不可少的一環，需要建立起一種能夠激勵和促進學生在知識、技能、思維、心理、觀念態度和創新精神等方面協調發展的評價理念。教師在總結階段要引導學生進行綜合評價和自我反思。教師的評價要注重以激勵和剖析問題為主，既使得學生不至于茫然失措，逐步構建自己的元認知策略，又能夠引導學生發現自己研究的不足，從他人身上反觀自我，以自我為尺度評判他人，培養積極的自我體驗與主動的自我調控能力，讓學生從評價中反思自我，提高綜合素質。

總之，二次作業法不僅可以鍛煉學生發現問題、分析問題和解決問題的能力，而且有助于培養學生勇于質疑、樂于探究的科學精神，這與新課程改革的出發點是相契合的，在日常的數學教學中如何修正、完善與發展二次作業法，這為加強數學教學改革提出了新的研究課題。

摘 要：二次作業法是一種正在探究和發展中的教學方法，目前可供借鑒的模式、程序和案例還很少，還沒有引起教育理論界和中學一線教師廣泛的重視。本文以中等職業學校數學教科書第二章《一元二次不等式的解法》為例，探討如何運用二次作業法進行教學設計，以期為推進二次作業法在數學教學中的應用提供參考性資料。

關鍵詞：“二次作業法”；“二次作業法”的一般程序；解一元二次不等式

中圖分類號：G713 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）22-030-2

解一元二次不等式是職校學生學習的難點和重點，二次作業法是我校承擔的江蘇省“十二五”重點規劃課題《基于行動導向的“二次作業法”實踐研究》在課例研究上的一個實踐的結果，即通過優化教學情境、設置重重問題、創新導入方式、激發學生思維、利用類比歸納的方法形成概念，采用合作探究的課堂教學方式，深化了學生對解一元二次不等式的掌握。

一、課例設計分析

“解一元二次不等式”的基本設計思路是：由問題探究所得到的不等式抽象出一元二次不等式的概念，并介紹一元二次不等式的解集的概念。接著利用數形結合，通過觀察二次函數的圖像，理解二次函數圖像與X軸交點的橫坐標就是相應的一元二次方程的解，在X軸上方或下方的函數圖像所對應的自變量X的取值范圍，就是對應一元二次不等式的解集。通過具體例題，幫助學生掌握用圖像法解一元二次不等式的方法和步驟。在此基礎上，對于a>0時，按Δ>0、Δ=0、Δ<0三種情況，用表格形式列出了一元二次方程的解、二次函數的圖像、一元二次不等式的解集。這有助于學生提高對三個“二次”聯系性的認識。對于二次項系數為負的一元二次不等式，通過例題介紹了“在不等式兩邊同時乘以-1，化為二次項系數為正的一元二次不等式求解”的方法，體現了化歸的數學思想。會解元一元二次方程、會畫二次函數圖像是學好本節內容的關鍵，體現了用函數的觀點研究方程和不等式，反過來又將方程和不等式的解與函數研究相聯系，有助于提升學生對函數思想的理解。

二、教學設計過程

1.課前準備，初次作業

教師在教學設計階段對學生的知識水平、理解能力、學習習慣等要有較為全面的了解。預先布置學生復習解一元二次方程和畫二次函數的圖像的相關知識，并明確本節課的學習任務，讓學生在復習舊知的過程中體悟與新知的聯系。設計預習作業時，應針對不同層次的學生有一定的梯度，我作了如下的設計：

①一元二次方程、二次函數的一般表達式是什么？②一元二次方程的根由什么決定的？怎么決定的？③二次函數的圖像是什么？如何作其簡圖？④求一元二次方程x2-x-2=0，x2-2x+1=0，x2-x+2=0的Δ，并求其根。⑤作函數y=x2-x-2，y=x2-2x+1，y=x2-x+2的圖像，圖像與X軸的位置由誰決定？⑥當Y=0時，X的值與一元二次方程的解有何關系？⑦圖像上位于X軸的上方（或下方）的點的縱坐標有什么特點？⑧當X取什么值時圖像在X軸的上方（或下方）？

至此，為得出一元二次不等式的解集做好了層層鋪墊。

2.創設情境，明確任務

教師以多媒體課件創設一些生活中具體不等關系的情境引導學生用數學式子表示，得出形如ax2+bx+c>0（≥0或<0或≤0）的不等式叫做一元二次不等式的概念。再提出一元二次不等式的解集的概念，如何求一元二次不等式的解集呢？這就是本節課要達成的目標。教師從真實的生活情境切入，層層設疑，給學生心理造成一種懸而未決又必須解決的求知狀態，從而激發起強烈的學習愿望和思維活躍性，由此拉開了本課的序幕。

3.初次探究，發現問題

教師用課件引出三組一元二次不等式：①x2-x-2>0和x2-x-2<0，②x2-2x+1>0和x2-2x+1<0，③x2-x+2>0和x2-x+2<0。讓學生比較它們與初次作業中的方程和函數的關系。教師可通過三個問題引導學生思考這三個“二次”間的聯系，并給學生一定的時間分組討論，各組再選派代表闡述討論結果，最后由老師展示出三個問題的分析過程和結論。

問題1：令Y=0得一元二次方程x2-x-2=0的解在圖像哪里？

結論：二次函數圖像與X軸交點的橫坐標即為方程的解。

問題2：X取何值時，圖像在X軸上方？

分析：圖像在X軸上方圖像上點的縱坐標Y>0

即x2-2x+1>0由圖像可知X<-1或X>2

問題3：X取何值時，圖像在X軸下方？

分析：圖像在X軸下方圖像上點的縱坐標Y<0即x2-2x+1<0

由圖像可知-1

教師要善于根據學生原有的能力水平和觀察到的具體情況處理好“扶”與“放”的關系，充分發揮教師的主導作用，在“無疑”之處設疑，多多鼓勵學生，給學生多點時間探索體悟，讓學生體驗到成功的喜悅，消除他們害怕失敗的心理障礙，為二次作業的開展做好鋪墊。

4.探究成因，得出解法與步驟

教師對學生探究過程的控制與指導至關重要，既要鼓勵學生不迷信教材與教師的權威，將自己的思維引向更深的層次，對探討現象和結果多問幾個為什么，又要善于抓住良好的契機，為學生提供適當的指導和幫助，形成一個生動活潑、主動富有個性又注重集體智慧的探究氛圍。

此時教師再次拋出不等式x2-x-2>0和x2-x-2<0，讓學生按照前面得出的結論，細致觀察函數圖像，明確解題的關鍵與步驟，從而得出解一元二次不等式的一般步驟。

5.自主探究，二次作業

二次作業探究的主體是建立在初次作業的基礎上的，學生已經初步掌握了三個“二次”之間的內在聯系，并在解題過程中經歷了“發現問題大膽質疑分析過程提出解決方案”的再認識、再創造的過程，因此二次作業的可操作性強，成功率也比較高。但要尋找假設與事實之間的關系，整個探究過程仍然會比初次作業更加復雜，更具有動態生成性。

由此教師再引出①x2-2x+1>0和x2-2x+1<0；②x2-x+2>0和x2-x+2<0這兩組不等式給學生求解，目的是得出Δ=0、Δ<0這兩種情況下的一元二次不等式的解集的求法。再次讓學生分組探討，觀察方程、函數、不等式之間的關系，完成書上的表格的填寫，得出各種情形的一元二次不等式的解集。

二次作業不是學習的結束，而是另一個學習的開始。學生在探究中發現一些感興趣但來不及或者課堂時間不允許但很值得繼續探討的問題，可以進一步拓展延伸到課堂外，從定向探究轉向了自由探究，加強課內和課外的聯系，使探究結果能經受質疑和檢驗。

6.綜合評價，深化拓展

評價是二次作業法教學必不可少的一環，需要建立起一種能夠激勵和促進學生在知識、技能、思維、心理、觀念態度和創新精神等方面協調發展的評價理念。教師在總結階段要引導學生進行綜合評價和自我反思。教師的評價要注重以激勵和剖析問題為主，既使得學生不至于茫然失措，逐步構建自己的元認知策略，又能夠引導學生發現自己研究的不足，從他人身上反觀自我，以自我為尺度評判他人，培養積極的自我體驗與主動的自我調控能力，讓學生從評價中反思自我，提高綜合素質。

總之，二次作業法不僅可以鍛煉學生發現問題、分析問題和解決問題的能力，而且有助于培養學生勇于質疑、樂于探究的科學精神，這與新課程改革的出發點是相契合的，在日常的數學教學中如何修正、完善與發展二次作業法，這為加強數學教學改革提出了新的研究課題。