可畏的學生

孫陳飛

教學片段：

師：同學們喜歡打乒乓球嗎？生（幾乎異口同聲回答）：喜歡。

師：你們了解乒乓球哪些方面的知識？（學生馬上說出許多乒乓球明星，乒乓球規則等）

師：你們知道的真多呀！那有誰能夠告訴我乒乓球的直徑是多少？

生：我知道是40 mm。

另一個學生：大球是40 mm，小球是3.8 mm。

師：如果你是一位采購員，準備采購乒乓球。有兩個廠家提供了各自的乒乓球若干，你測得甲廠的直徑分別為 ；乙廠生產的乒乓球直徑為 。你能夠用所學的知識確定哪個廠家的質量比較好。（學生迫不及待地動手算平均數和極差，通過計算，很快發現他們的平均數和極差相同。許多學生就不由自主地討論開了。）

師：難道他們的質量一樣好嗎？

生：不能確定。有的學生暗自討論說甲廠的數據好像好點，卻又無從下手。

師：我們能不能讓數據更加直觀地反映實際情況呢？

生：可以畫出點的分布圖。

學生匆忙繪圖。展示部分學生的圖，直觀發現甲的數據點圖比較接近平均水平線。

學生想到可以用各數據與平均值的差來表示。（學生再次計算，不一會就驚訝地發現：這個差確實能夠反映出各組數據偏離平均水平的多少，可是一旦加起來又出現奇怪的現象，和為0。）

師：這是怎么回事？

部分學生馬上反應過來：由于每個數據與平均數的偏差中有正負，正好出現正負抵消。所以，偏差的和為0。

師：看來是不好比較了？

生：可以不考慮正負，就不會抵消了。

師：怎樣才能不會出現正負呢？

生：可以用絕對值呀。馬上有學生補充：可以加平方。

師：對，我們可以把偏差求絕對值的和或平方和。為了計算方便我們就用平方和。（有學生小聲嘀咕）

師：我們計算兩組數據偏差的平方和？（學生計算后發現與直觀的結論不符，小聲討論。）

師：有什么不妥嗎？（有的學生馬上看到數據的多少對結果的影響，提出要考慮數據的個數多少。討論后，統一認為利用偏差平方和的平均數。）

師：這就是方差。

始終有學生在小聲議論。

師：同學們有什么問題？一學生：老師計算明明是用絕對值要好算，為什么不用呢，反而說平方容易算？（是呀，在計算中確實絕對值得到的數據要小，為什么要用平方呢？我想到課本中有絕對差的概念。干脆讓學生探究這兩個概念的關系吧。）

師：如果我們用絕對值的和的平均數就是另一個概念，“絕對差”，下面同學們就通過計算比較一下這兩個概念的異同。（學生獨立計算，得出結果后交流）

師：誰能夠介紹你的結論？點名（生：方差大的絕對差也大，它們的值越大，數據越不穩定，都能夠反映數據的離散程度。可是方差的值的差距比絕對差要大，反映得更加明顯。）

師：為什么不用絕對差，而用方差，這個問題課后我們共同查閱資料，探究原因。

第二節課上學生說出很多答案，大多數是說計算不方便，絕對值符號仍然無法消除，數學處理中，具有一些不便之處，故而在實際應用較少。（為什么不方便，沒有解釋，可能計算機的編程有難度吧？）同學還進入鳳凰數學網，引用一個例子解釋了：甲：9，9，10，11，11。乙：8，10，10，10，12。這兩組的絕對差都是0.8，而甲的方差為0.8，乙的方差為：1.4。也就是說方差比絕對差反映一組數據的離散程度更加明顯。這樣的解釋學生都能夠接受。

編輯 謝尾合