兩大計數原理的教學設計

林漫萍

摘 要： 作者創設策劃旅行的情境，讓學生思考生活中的計數問題，從大量例子中總結歸納出兩個簡單而重要的計數原理——分類加法計數原理與分步乘法計數原理。與學生共同探索計數問題的解決步驟，讓學生綜合應用解決實際問題。

關鍵詞： 高中數學 分類加法 分步乘法 教學設計

一、教材分析

本節內容選自人教版高中選修2-3第一章第一節。分類加法和分步乘法這兩個原理是本章內容的基礎，是處理計數問題最簡單也是最重要的工具，是后面排列組合公式推導及二項式公式推導的理論依據。這是兩個人們長期經驗總結得到的原理，教材從大量的例子出發，讓學生經歷原理的形成過程。

二、學情分析

本節內容的教學對象是高二學生。雖然本節內容對學生來說是比較陌生的一個新內容，但這是2-3第一章的第一節，學生剛開始這本書的學習，對于新領域會有更高的學習熱情。而且他們有從實際生活中抽象概括出數學原理的基本活動經驗，所以本節內容的學習任務只要教師適當引導就可以順利完成。

三、教學目標

1.知識與技能：了解計數與生活的聯系；（掌握分類加法計數原理和分步乘法計數原理的內容；綜合應用兩個計數原理解決實際問題。

2.過程與方法：經歷從大量具體例子中總結歸納發現兩個計數原理的過程；參與小組討論，交流合作總結兩個計數原理的聯系與區別；學習計數問題的解決方法。

3.情感態度與價值觀：體會不必通過“一個個數”的方法解決計數問題，感受數學解決問題的方便快捷，提高對數學學習的興趣；樹立積極合作的意識，并在活動中數學地表達與交流。

四、教學重點、難點、關鍵

1.重點：兩個計數原理的歸納和應用。

2.難點：“完成一件事情”的理解、加法原理與乘法原理的區分。

3.關鍵點：兩個原理區別與聯系的總結、解決計數問題的步驟。

五、教學方法與手段

引導探究式、計算機輔助教學。

六、教學設計

思想分類：加法計數原理和分步乘法計數原理是人們經過長期的經驗總結出來的公理，所以本節課采用例子-原理的教授方法，提供豐富的例子，引導學生探究，讓學生經歷原理的發現和概括過程，并且類比學習兩個計數原理，從而全面理解兩個原理，為本章后面內容的學習做好鋪墊。

七、教學過程

1.創設情境，激發興趣：問題一：同學們，老師最近準備去云南旅游，想把兩張不同的明信片送給3位同學中任意兩位，有多少種不同的送法呢？引導學生用枚舉法得出答案，提出問題：若將四張不同的明信片送給我們班40位同學中任意四位有多少種情況？不需要枚舉法就可以得到結果呢？進入新課學習——高級的數數方法。問題二：如果老師想乘飛機或火車去云南。一天中直達飛機有5班，直達火車有8班。那么乘坐這些交通工具從廣州到云南共有多少種不同的走法？問題三：現在有6條連衣長裙，8條連衣短裙，請問老師想挑一條連衣裙話有多少種不同的選擇？

2.觀察歸納，形成概念：活動一：同學們觀察上述兩個問題有什么共同的特征？活動二：歸納得出分類加法計數原理的數學表達。

3深化理解，推廣應用：活動一：思考以下例題：A旅行社推薦：北京、上海、內蒙古、青海、鳳凰這5個地方。B旅行社推薦：北京杭州、廈門、云南這4個地方。如果從中選擇一個景點，總共有多少種選法？這道例題主要是為了引起學生的注意，使用加法原理的時候，不同方案里的方法要符合不重不漏，繼而也推廣到多類方案的情況。活動二：思考類似問題。如果C旅行社又給老師推薦了5個與AB都不同的景點，這個時候老師再去選擇一個，又會有多少種方法呢？推廣：分類加法原理不僅適用于2類方案的情況，可以多類。如果完成一件事情有n類不同方案，完成事情的總的方法數就是每類方案的方法相加。活動三：學生舉例運用分類加法計數原理。

4.類比歸納，自主探究：活動一：解決策劃旅行過程中的兩個實際問題。問題一：老師想先乘坐飛機到昆明，然后再從昆明乘坐火車到大理，一天中從廣州到昆明的飛機有2班，從昆明到大理的火車有3班，在兩天中，請問從廣州到昆明再到大理共有多少種不同的走法？問題二：老師帶了2件上衣，3條褲子，請問有多少種不同的穿戴方法？

在解決這兩個問題的過程中，教師引導學生回憶“樹形圖”并用以解決問題。觀察類比加法計數原理歸納出此類問題要分步處理并用乘法解決，最終得出分步乘法計數原理的數學表達及推廣方式。

5.條分縷析，研發技術：活動一：分組討論，思考兩個計數原理的聯系與區別。

請同學們根據之前的例子思考兩個計數原理的聯系與區別，最后教師給出總結表格。

活動二：總結解決計數問題的一般步驟首先，我們要確定要完成的一件事是什么？第二步，怎么完成？我們知道可以用分類加法或者分步乘法對吧？怎么判斷呢？引導學生發現之前的例子完成事件分別用的步驟數，與加法和乘法的運用產生聯系。總結出“一步完成用加法，多步完成用乘法”的規律。

活動三：解決綜合性問題。問題一：把四張不同的明信片送給我們班40位同學中的任意四位，有多少種不同的送法呢？問題二：想把這四張明信片送給班上同一性別的四名同學，又有多少種送法呢？這兩個問題讓學生體驗在細小差別中選擇不同的方式解決問題，進而深化對兩個計數原理的理解和掌握。