向量在解析幾何中的作用

武俊蘭

（忻州師范學院，山西 忻州 034000）

1 向量方法在研究幾何問題中的作用

從數學或物理學角度講，向量是指既有方向又有大小的量。與復數相比，向量在數學中發揮的積極效用更為突出。因為復數所對應的點僅能夠出現在平面上，而向量所對應的點既能夠出現在平面上，又能夠出現在空間中。除此之外，向量的相關知識在物理、數學等理科中應用范圍較廣，并且主要表現為幾何形式與代數形式兩種重要形式，能夠促進物理或數學中諸多主干知識的有效結合。實際上，幾何是數學體系的重要組成部分。在大學數學教材中存在著相當一部分幾何問題，其中僅憑常規方法只能夠解決部分幾何問題，還有部分幾何問題需要運用向量實現形與數的轉化。

工具性是平面向量解決幾何問題時的顯著特征。實踐研究發現，向量方法既能夠解決平面幾何中的求值和證明問題，又能夠解決復數、三角、測量等問題。另外，當運用向量方法解決平面幾何問題時，需要將復雜的平面幾何問題進一步簡化，使其程序化、代數化。

而運用空間向量解決立體幾何問題時往往會涉及到位置關系和度量問題，具體內容包括：

（1）位置關系。運用向量方法解決平面幾何問題時所涉及到的位置關系包括線面平行、線線垂直、線面垂直及線線平行等。

（2）度量關系。運用向量方法解決平面幾何問題時所涉及到的度量問題包括面面所成角問題和線線、線面所成角問題等。

與傳統方法相比，運用空間向量解決立體幾何問題更容易淡化由“形”到“形”的推理過程，使復雜的立體幾何問題趨于程序化。

2 向量方法解決位置、度量問題的直接應用

2.1 兩種位置關系

2.1.1 平行

（1）證明兩直線平行

例1 已知直線OA⊥平面α，直線BD⊥平面α，O、B為垂足，求證：OA//BD。

證明：如上圖，以點O為原點，以射線OA為z軸，建立空間直角坐標系O-xyz為沿x軸，y軸，z軸的坐標向量，且設

方法思路：在兩條直線上分別取不同的兩點得到兩向量，轉化為證明兩向量平行。

（2）證明線面平行

方法思路：求面的法向量，在直線找不同兩點得一向量，證明這一向量與法向量垂直（即證明數量積為0），則可得線面平行。

（3）面面平行

方法思路：求平面的法向量，轉化為證明兩法向量平行，則兩平面平行。

方法思路：求出其中一平面的法向量，再證該法向量與另一面的不共線的兩向量數量積為0（即垂直），則可得兩平面平行。

2.1.2 垂直

（1）證明兩直線垂直

例2 如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為等腰梯形，AB//CD，AC⊥BD，垂足為H，PH是四棱錐的高，E為AD中點。證明：PE⊥BC

證明：以H 為原點，HA，HB，HP 分別為 x，y，z軸，線段HA的長為單位長，建立空間直角坐標系如圖，則 A（1，0，0），B（0，1，）

所以PE⊥BC。

（2）證明線面垂直

（3）證明面面垂直

方法思路：找平面的法向量，只需證明兩向量數量積為0，則可證明兩平面垂直。

2.2 兩個度量性質

例3在直平行六面體AC1中，ABCD菱形，∠DAB=60°，AC∩BD=O，AB=AA1.

（1）求證：C1O//平面 AB1D1，

（2）求證：平面 AB1D1⊥平面 ACC1A1，

（3）求直線AC與平面AB1D1所成角的大小.

證明：（1）連接 A1C1交 B1D1于 O1，連結 AO1

在平行四邊形AA1C1C中，C1O1//AO，C1O1//AO，

∴四邊形AOC1O1為平行四邊形

∴C1O//AO1

∵C1O?平面 AB1D1，AO1?平面AB1D1

∴C1O//平面AB1D1

（2）在直平行六面體AC1中，A1A⊥平面A1B1C1D1

∴A1A⊥B1D1

∵四邊形A1B1C1D1為菱形

∴B1D1⊥A1C1

∵A1C1∩AA1=A1，A1C1?平面 ACC1A1，AA1?平面ACC1A1

∴B1D1⊥平面ACC1A1

∵B1D1?平面AB1D1

∴平面AB1D1⊥平面ACC1A1

（3）過C作CH⊥AO1交AO1于H

∵ 平面 AB1D1⊥平面 ACC1A1，平面 AB1D1∩平面ACC1A1=AO1

∴CH⊥平面AB1D1

∴AH為AC在平面AB1D1上的射影

∴∠CAH是AC與平面AB1D1所成的角

設AB=2，在菱形ABCD中，∠DAB=60°

熟悉立體幾何中常見問題及處理方法，要求學生敏銳把握所給圖形特征，制定合理的解決問題策略。立體幾何主要是兩種位置關系（平行、垂直），兩個度量性質（夾角、距離）。解決問題的方法也有兩種：幾何方法和向量方法。兩種方法各有優缺點，前者難在“找”和“作”的技巧性，后者難在建系和計算上。

3 向量方法解決證明與計算問題有關的綜合應用

在進行向量運算時，可以把所有的向量都表示成坐標向量的線性組合，然后進行運算。

在證明兩直線垂直時，可把問題轉化成這兩條直線的方向向量（與直線平行的非零向量）的垂直問題進而轉化為兩向量數量積為零的問題。

在證明有關長度的等式時，首先將數量轉化成向量等式，即用向量的模表示線段的長度，其次運用公式，使問題化為有關向量數性積的等式證明問題。

結論

向量可以使圖形量化,使圖形間關系代數化，使我們從復雜的圖形分析中解脫出來，只需研究這些圖形間存在的向量關系就可以得出精確的最終結論，使分析思路和解題步驟變得簡單流暢，又不失嚴密。解決立體幾何問題，“平移是手段，垂直是關鍵”。合理運用向量解決立體幾何問題，在很大程度上避開了思維的強度轉換，避開了添加輔助線，代之以向量計算，立體幾何問題變的思路暢通，運算簡潔。

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