利用剛體轉動慣量實驗儀驗證轉動定律的設計

鄧鋰強

（廣東石油化工學院理學院，廣東 茂名 525000）

1 設計性實驗需要滾動式發展

設計性物理實驗，是一種讓學生應用所學的物理知識，根據指導教師提供的實驗題目，自主查閱參考資料；根據已有的實驗條件，自主設計實驗方案，自選與組裝實驗設備，自擬實驗操作步驟，在規定的時間內完成的實驗.這有利于培養學生的科學思維方式和創新精神，培養學生理論聯系實際、分析與解決實際問題的能力，特別對培養學生掌握與現代科技發展相適應的綜合能力和創新能力具有特殊的作用［1-3］.

設計性實驗項目不像測量、驗證性實驗那樣穩定，多年不變，有些設計性實驗項目經幾屆學生做過之后，部分學生會直接參考前幾屆學生的實驗設計方案，這樣就沒有多少內容可獨立設計和研究了，必須淘汰.設計性實驗具有逐年充實新內容成滾動式發展的特色，只有這樣，設計性實驗才能保持先進性、創造性與有效性.而學校的資金有限，不可能經常購買新的實驗儀器，這時利用實驗室的閑置儀器進行重新設計與改裝，把改裝閑置實驗儀器作為設計性實驗的內容，就有了很現實的教學意義.

我校物理實驗室有多套剛體轉動慣量實驗儀，該實驗設計有缺陷，實驗誤差較大，閑置多年不用.在大學物理實驗里，沒有關于剛體定軸轉動定律方面的實驗.為了使閑置儀器再次利用，同時填補剛體定軸轉動定律方面的實驗空白，作者設計了一個“利用剛體轉動慣量實驗儀驗證轉動定律”的設計性實驗.本實驗要求利用實驗室現有的氣墊導軌實驗用的JSJ-3A型數字毫秒計及光電門，對剛體轉動慣量實驗儀進行改裝，以驗證剛體定軸轉動定律.本實驗要求學生自主完成四部分內容：一是完成剛體轉動慣量實驗儀的改裝，二是自主設計實驗原理及內容，三是估測阻力矩，四是驗證剛體定軸轉動定律.

2 剛體轉動慣量實驗儀分析

2.1 時間測量的影響

根據剛體轉動慣量實驗儀的儀器結構、實驗內容及實驗步驟，閱讀參考文獻［4，5］，可知該實驗儀在時間測量方面有缺陷.在實驗中用停表測量砝碼下落時間t，由于人體的反應約需要0.1s的時間，停表從開啟到停止的誤差可認為0.2s，停表本身的儀器誤差相對小很多，可以忽略，因此可取Ut＝0.2s.下落時間t隨著測量條件不同而不同，當砝碼質量為25g時，下落時間t約為達到4%.由公式可得［4，5］

式中，m為砝碼質量；r表示繞線半徑；h為砝碼下落距離；Ⅰ表示實驗儀系統的轉動慣量.

2.2 阻力矩的影響

剛體轉動實驗儀轉動時會受到阻力的作用，阻力包含塔輪轉軸的摩擦、滑輪轉軸的摩擦；塔輪、均勻細桿及裝在細桿上的圓柱形重物轉動時空氣的阻力；滑輪轉動及砝碼下落時空氣的阻力.所有阻力對塔輪轉軸的力矩統稱為阻力矩Mμ，理論及實驗測量均表明，阻力矩不是定值，與塔輪轉軸及滑輪轉軸的松緊、轉速等有關.實驗中要想辦法減小阻力矩產生的影響［11，12］.

3 剛體轉動慣量實驗儀的改裝

為了能夠驗證剛體定軸轉動定律，需要對剛體轉動慣量實驗儀進行改裝，改裝后的實驗裝置如圖1所示.在原剛體轉動慣量實驗儀的均勻細柱B的外端，垂直向下安裝一寬15mm的遮光片K，遮光片邊沿與轉軸OO′平行，旁邊放置一個光電門P，使遮光片剛好無阻礙地通過光電門，光電門的發射管與接收管連線與遮光片邊沿垂直，把光電門與數字毫秒計連接，因該型數字毫秒計需要連接兩光電門才能正常工作，可把另一光電門接好后放置在桌面上不用.均勻細柱B、B′不一定剛好在一條直線上，均勻細柱兩端的角度不一定是π，只裝一片遮光片時，遮光片轉動一周時的角度是2π，可以提高測量角度的精度.為了提高速度的測量精度，遮光片的寬度不宜過大，可選5～15mm，遮光片的寬度要使數字毫秒計測到三位以上有效數字.遮光片對轉軸OO′的轉動慣量可歸到剛體轉動儀的本底轉動慣量，不用考慮.

圖1 剛體轉動慣量實驗儀改裝圖

4 驗證剛體定軸轉動定律的實驗原理

4.1 剛體定軸轉動定律

根據剛體定軸轉動定律，當剛體轉動時，有

在實驗過程中，保持g?a，則有［4，5］

當mgr-Mμ與β成正比時，剛體定軸轉動定律成立.在剛體轉動慣量實驗儀的實驗中，阻力矩Mμ的影響很大，必須估測阻力矩Mμ，才能較好地驗證剛體定軸轉動定律.

4.2 估測阻力矩Mμ

如圖1所示裝配好儀器，使遮光片剛好通過光電門.剛體轉速較小時，空氣的阻力矩與轉速成正比，當轉速較高時，空氣的阻力矩與轉速的平方成正比，故剛體的轉速不宜過高.剛體的轉速由砝碼質量m及繞線半徑r決定，質量及半徑越大，轉速越高，因此繞線半徑r不宜過大，半徑一般可選r＝15mm.讓砝碼從F附近靜止自由下落，塔輪做勻加速轉動，分別測出遮光片遮光時間Δt1、Δt2、Δt3、Δt4.

因為剛體做勻加速轉動，有

其中，t為遮光片從第一次遮光到第二次遮光所用的時間，θ＝2π為遮光片從第一次遮光到第二次遮光轉動過的角度.根據轉動定律，有

其中，M＝m（g-a）r為塔輪受到的拉力矩；Mμ為塔輪受到的阻力矩，由式（7）及

同樣可求得

測出遮光片的遮光時間 Δt1、Δt2、Δt3、Δt4，忽略阻力矩Mμ的影響，根據公式（9）估算剛體系統的轉動慣量Ⅰ.取下塔輪上的細線及砝碼，用手輕推塔輪，使塔輪約以實驗時最大轉速的一半自由轉動，測出遮光片的遮光時間 Δt1、Δt2、Δt3、Δt4，根據式（10）計算出角加速度β，可得

這樣估測的阻力矩Mμ不包含定滑輪C的阻力矩.

4.3 驗證剛體定軸轉動定律

保持r不變，改變砝碼的質量m，將細線卡在塔輪某一半徑的卡槽上，旋轉塔輪，讓細線密繞于塔輪上，使砝碼處于標記F附近，遮光片可在任意的位置處，調節定滑輪高度，使細線水平，這時剛體受到的拉力矩為Tr.讓砝碼從F附近靜止自由下落，塔輪做勻加速轉動，測出遮光片的遮光時間Δt1、Δt2、Δt3、Δt4.分別計算出合外力矩M′＝mgr-Mμ與β，當合外力矩M′＝mgr-Mμ與β成正比時，剛體定軸轉動定律成立.

5 數據測量及分析

5.1 實驗數據

（1）計算阻力矩

根據實驗數據，估算得阻力矩Mμ為：Mμ＝Ⅰ（5，5′）β＝-7.85×10-4（N·m）.

阻力矩Mμ與砝碼的拉力矩（g?a，忽略a的影響）之比如表1所示，所加砝碼質量不同，阻力矩Mμ與砝碼的拉力矩之比也不同；而且每臺儀器的阻力矩都不相同，同一臺儀器的狀態不同時阻力矩也不同.可見，阻力矩Mμ的影響極大，不能忽略.

表1 阻力矩Mμ與砝碼的拉力矩M（＝mgr）之比

（2）驗證剛體定軸轉動定律

測量并計算不同砝碼質量時的角加速度β及合外力矩M′＝mgr-Mμ，得合外力矩M′＝mgr-Mμ之比為（下標為砝碼質量）

此時角加速度β之比為

合外力矩M′＝mgr-Mμ之比與角加速度β之比分別相差：1.8%、1.9%、1.6%，其比值基本相等，因此M＝Ⅰβ成立.

如果不考慮阻力矩的影響，砝碼的拉力矩M＝mgr之比為

砝碼的拉力矩M＝mgr之比與角加速度β之比分別相差：14%、9.7%、4.8%，可見阻力矩的影響很大，如果不對阻力矩修正，誤差很大.

5.2 誤差分析

從上面的計算結果可知，實驗存在一定的誤差.產生誤差的原因主要有下面幾點：（1）估算的阻力矩Mμ偏大.（2）數字毫秒計的精度不夠高，只能達到三位有效數字.有條件的可選用精度更高的數字毫秒計，使測量結果有四位有效數字，可達到更高的精度.（3）遮光片的寬度較大，使得即時速度的測量誤差增大.當選用更高精度的數字毫秒計時，可以選取更小的遮光片的寬度，以提高測量精度.

6 結語

本實驗利用實驗室現有的氣墊導軌實驗用的JSJ-3A型數字毫秒計及光電門，對剛體轉動慣量實驗儀進行改裝，驗證剛體定軸轉動定律.這種改裝不用購買新儀器，節約資金，使閑置儀器再次利用.實驗裝置由學生自主設計，改裝后的剛體轉動慣量實驗儀可以對阻力矩Mμ進行估測并對阻力矩進行修正.實驗結果表明，經過這樣改裝后，剛體轉動慣量實驗儀能夠驗證剛體定軸轉動定律.通過完成本實驗，學生可以深入理解剛體轉動慣量及剛體動力學，掌握利用數字毫秒計和光電門改裝剛體轉動慣量實驗儀的方法，學會設計新的實驗，培養了學生的創新精神和動手能力，取得了較好的效果.

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