“保守系統平衡位置微振動”案例教學的探討與實踐

宋海珍 王愛華 趙彤帆 李根全

（1南陽師范學院物理與電子工程學院，河南 南陽 473061；2河南省教育廳電教館，河南 鄭州 450004）

當前地方高等師范院校的理論力學教學中，由于師資質量和實踐條件相對不足，知識的傳授與掌握仍是教學目標的主要部分，傳統的知識傳授模式仍是主要的課堂教學模式.這種模式追求知識的完整系統而忽視探索過程、重視理論而忽視實踐，它無法適應學生實踐創新能力培養的現實需求［1］.案例教學作為一種典型的師生互動教學模式，可以彌補傳統教學模式的缺陷，是創新本科課堂教學模式的有效途徑［2-6］.理論力學作為高師物理學專業學生接觸的第一門理論物理課程，其突出特點是理論性強，具有高度的抽象性和概括性，側重于以嚴密的邏輯推理建立完整的理論體系.如何取舍內容，整合知識點，使之成為一個案例，直接影響到案例教學的成敗.我們以周衍柏老師理論力學教材中“小振動”內容為基礎［7］，聯系我院實際，構成“保守系統平衡位置微振動”案例，對案例教學進行了探索和嘗試.

1 案例教學的定義

案例教學是教師組織學生通過對案例的閱讀、思考、分析、討論、交流和評價等活動，提高學生分析、解決問題能力的一種教學模式［8］.它主要包括以下幾個環節：（1）提出問題，介紹案例；（2）分析案例，提煉理論；（3）應用理論，審視案例；（4）評價總結，形成體系.通過這4個環節完成教學內容.

2 提出問題，介紹案例

為何討論微振動？因為振動在機械、電磁（包括光）、原子和分子的運動中都普遍存在，它們具有許多相同的規律［9］.大多數機械振動的力學系統是非線性系統，不太可能對其運動得出完整的一般解，作為求解的試探，常常是對系統在平衡位置有微小偏離的運動求解，使非線性問題近似成為線性問題達到求解的目的，況且有些系統本身就是在平衡位置附近做微振動，例如分子或晶格處的原子［10］.對一維單自由度的振子，在無耗微振動時符合簡諧振動的規律.如圖1所示，一個彈簧和一個質點構成單自由度彈簧振子，兩個彈簧和一個質點仍構成單自由度彈簧振子，對3個彈簧和兩個質點構成的系統，是兩個彈簧振子通過彈簧耦合的自由度為2的振動系統.對N＋1個彈簧和N個質點構成的系統就是N個彈簧振子的耦合系統，自由度為N［11-14］.（圖中所有彈簧都相同，倔強系數為k，小球質量為m，彈簧質量、小球半徑及水平面的摩擦均不計）.

對于兩個或多個彈簧振子耦合在一起所構成的系統，各個振子可能有不同的固有頻率，整個系統將怎樣運動？它們將按某個或某幾個統一頻率振動？還是系統內各部分各行其是呢［15］？“保守系統平衡位置微振動”閱讀思考提綱：（1）基本概念和方程：微振動、平衡位置、線性化近似、固有頻率、簡正頻率、簡正模式，拉格朗日方程、微振動方程、頻率方程.（2）通過單個彈簧振子的求解得出單個自由度系統微振動理論.（3）通過兩個彈簧振子耦合的求解，得出兩個自由度系統微振動理論.（4）應用理論對N個彈簧振子耦合系統求解，檢驗完善理論.（5）評價總結，給出多自由度微振動的理論體系.

圖1 彈簧振子系統

3 分析討論案例，提煉理論

對“微振動”力學問題的分析，應向學生提出以下問題：（1）解決問題有幾種途徑？（2）各種途徑的優劣比較？解決問題有矢量力學和分析力學兩種理論.矢量力學求解時可用牛頓運動定律也可以用能量守恒；分析力學求解時可用拉格朗日方程也可用哈密頓方程.對自由度比較小的力學系統，牛頓運動定律和拉格朗日方程求解無大區別，對于自由度比較多的系統，拉格朗日方程相對牛頓運動定律來說較容易.

3.1 單個自由度微振動

3.1.1 兩種途徑求解

矢量力學求解：以圖1（b）為例，選平衡位置為坐標原點，x為相對平衡位置的位移.只要彈簧是嚴格線性的，則f＝-2kx，由牛頓定律-2kx＝m，運動微分方程為

3.1.2 引導討論

（1）平衡分幾種類型？對振動問題有實際意義的是哪種平衡？保守系統穩定平衡所滿足的條件？平衡分為穩定平衡（勢能取極小值）、不穩定平衡（勢能取極大值）和隨遇平衡（勢能取常數）3種類型.對振動問題有實際意義的是穩定平衡.保守系統穩定平衡位置需滿足拉格朗日定理：自由度為1時，勢能V滿足是穩定平衡.對多自由度體系也有是穩定平衡.

（2）牛頓方程求解力的線性表示是微振動條件，而拉格朗日方程求解中動能、勢能為、q的二次函數是微振動條件，兩種條件等價嗎？原因如何？為何要強調可線性化的微振動？兩種條件等價，因拉格朗日方程中動、勢能要對、q求偏導數.可線性化的微振動系統是經典力學中少有的可通過積分求嚴格解析解的幾個系統之一（其他可積分系統如平方反比律作用的系統、自由剛體問題、對稱陀螺等），不能線性化的振動系統需借助數值計算的方法確定系統運動情況，有興趣的同學可編程計算單擺小角擺動、大角擺動運動微分方程的求解.

3.1.3 提煉理論

對于單個自由度的保守系統，q為廣義坐標，則將勢能V（q）在q0＝0附近作泰勒展開，選q0處為零勢能點，僅保留q的二階項：由拉格朗日方程得到：方程的解為：

3.2 兩個自由度微振動

兩個彈簧振子的運動是耦合的，方程也是耦合的，求解方程組（2）的方法有幾種呢？答案是3種.方法一為試探解，是一種基本方法；方法二是對微分方程分析變形；方法三是動、勢能化為平方和的形式.

3.2.1 3種方法求解方程組

方法一：設試探解為

式（3）代入式（2）得到A1、A2的代數方程組得

式（4）有解的條件是

式（6）代入式（4），對ω1，有A1＝A2；對ω2，有A1＝-A2，微分方程組（2）的通解為

方法二：直接對方程組（2）變形求解，對方程組（2）中的兩個方程分別相加、減得到

式（9）的通解是兩個諧振動

方法三：直接把動、勢能化為平方和.一般情況下，根據線性代數理論，如果兩個二次型的系數是實對稱的，其中一個是正定的，則一定可以找到一個線性變換，使兩個二次型同時變為平方和.微振動的動、勢能滿足條件，一定存在一個x和ξ的線性變換，代入動、勢能中讓交叉項系數等于零，就可把動、勢能化為平方和的形式，進而用拉格朗日方程得到單一振動模式的動力學方程.設組（9）.

3.2.2 引導討論

（1）總結簡正頻率、簡正坐標、簡正模式的概念，分析為何試探解式（3）中cos（ωt＋φ）都相同呢？不同行嗎？答案是必須相同.從數學上講，這正是線性齊次微分方程的特點，用不同的cos（ωt＋φ）則不能滿足方程組，方程組（2）各項含t的因子不能相消，最多只能在某些時刻為零.從物理上講，不同的ω對應不同的振動頻率，若式（3）中各項的ω不同，則它們對應不同頻率的振動，不同頻率振動的任意線性組合都不可能等于零，即方程組（2）中各個方程不能成立.

（2）兩個簡正振動模式分別代表何種運動？對簡正振動模式ω1：ξ1＝x1＋x2＝A1cos若表示兩質點同相振動，反映整體振動情況.對簡正振動模式ω2：若x1（0）＝則有ξ1＝0，ξ2＝2x0cosω2t，表示兩質點反相振動時的相對運動，ξ2表示1對2的相對運動，反映兩個振子通過中間彈簧耦合的情況.

（3）系統的任一振動與簡正振動的關系？系統的任一種振動狀態是各種簡正振動的線性疊加，看初始時哪些被激發，哪些沒有激發？若初始只激發一個，其余沒有激發，就只有一個簡正模式振動，簡正坐標不僅使方程求解容易，而且反映了系統振動的物理本質.對于一個微觀系統，由于熱運動引起的能量漲落，以致溫度足夠高，各簡正模式都會在一定程度上激發起來.在這種意義下，簡正模是凝聚態物理學中重要概念“元激發”的萌芽.

（4）耦合效應使共同頻率ω0分成兩個不同本征頻率ω1和ω2，若m2固定，m1振動，則ω0＝固定，m2振動，則兩個振子沒有耦合時振動情況完全相同，具有相同的振動頻率ω0，耦合效應使ω0分成ω2和ω1兩個頻率.

圖2 耦合彈簧振子的頻率

如圖2（a）所示，這種頻率的分裂類似于原子光譜中的塞曼效應，在那里相互作用是通過施加磁場.如果對于3個質點，4個彈簧構成的系統，通過類比猜想或求解，也得到本征頻率分成圖2（b）所示.

3.2.3 提煉理論

對兩個自由度的保守系統，q1，q2為廣義坐標，勢能在平衡位置處展開，線性近似略去高于二階的微量，引入對穩定約束力學系統：利 用廣義速 度變換，代入拉格朗日方程

式（12）有解的條件是

4 應用理論，審視案例

4.1 應用理論

通過類比，把兩個微振動求解理論應用到N個自由度微振動系統，如圖1（d）所示，選qs（表示某一瞬時第s個質點偏離平衡位置位移，s＝1，2，…，N）為廣義坐標，因邊界是固定的，q0＝qN＋1

設試探解為

在近代物理中，用復數表示簡諧振動比較方便，復數的實部或虛部就是經典力學中的諧振動.

式（15）的A可以是復數，與位置無關，qs＝sa是第s個質點平衡時的位置，a是平衡時相鄰兩質點間的距離.k波（波矢）和φ（相位）由邊界條件決定.確定ω：式（15）代入式（14）得mω2＋k（e-ik波a-2＋確定φ：由q0任何時候都成立，得eiφ＝0，或它們的奇數倍，取保證式（15）中qs實部不出現負號.確定k波：由qN＋1＝任何時候都成立，則k波（N＋1）a＝απ，α＝1，2，…，N.得其中，α＝1，2，…，N，式（15）的實部解為

可見，對N個自由度的系統，解決的方法步驟與兩個質點完全相同，有幾個自由度，就有幾個簡正頻率，也就有幾個簡正模式和簡正坐標.

4.2 拓展與延伸

N個質點系統在固體物理中用來研究一維晶體振動性質，它反映系統在最近鄰相互作用下的特性：

不出現質點的序號s，證明系統中所有質點都具有這種頻率與波矢的關系，通常稱為色散關系.ωα的最大值表示質點振動頻率增加到（ωα）max時自然截止，頻率大于（ωα）max的振動不可能在一維系統中存在并傳播.

（3）經典力學方法求解一維N體振動，其結果部分說明晶體的性質，對晶體性質的全面描述，必須用量子理論描述.簡正坐標描述的一維諧振子，量子力學處理方法中把力學量用算符表示，得到量子力學描述，諧振子能量是分立的，定義分立能量hωα為聲子，聲子是晶格集體激發的玻色型準粒子，它具有能量hωα和準動量hk波.

（4）對兩個或多個彈簧振子耦合的系統，整個系統不按某個或某幾個振子的頻率振動，而是存在簡正振動模式，且按簡正頻率振動，系統任意振動是這一系列簡正振動的線性疊加.

5 評價總結，形成理論體系

結合單自由度、兩個自由度微振動的處理方法，我們用拉格朗日方程給出s個自由度保守系統微振動的一般理論.對s個自由度的力學系統，受保守力穩定約束，相對平衡位置qα0＝0的廣義坐標qα，α＝1，2，…，s，勢能在qα0附近展開，線性近似后，設有V＝將L＝T-V代入拉格朗日方程，得到設試探解qβ＝Aβcos（ωt＋α），β＝1，2，…，s，代入運動微分方程得這是關于振幅Aβ的方程組，Aβ有非零解必須滿足頻率方程

小振動的頻率不能任意取值，只能由頻率方程確定.它是ω2的s次方程，一般有s個根，這些根與振動的初始條件無關，僅決定于慣性和勁度系數，也叫力學系統的固有頻率，固有頻率求出后，代入振幅Aβ方程，確定s個Aβ的比值，進而得到對應的某一頻率的特解.因微振動的動力學方程是線性的，故整個力學系統的解一定是這些特解的線性組合.理論的使用條件是：保守系統，穩定約束，可線性化處理.

6 結語

地方高等師范院校專業課中的案例教學，有利于從問題出發，促成學生成功的體驗，激發主動學習的積極性，提高學生的綜合素質和創新實踐能力.通過多階段的案例分析實踐過程，不僅使理論來源于實踐，應用于實踐，在實踐中強化理論的應用和理解.而且通過案例整合知識，使知識應用整體化，打破了力學、理論力學和固體物理學中各部分知識相對獨立的局面.同時對師范生的教育教學技能進行了培養，起到了示范課的作用.但由于案例教學的難度大，需要教師廣博深厚的專業知識，花費更多時間，投入更多的精力.需要學生做好課前閱讀和思考，才能達到較好的效果.在地方高師院校中，部分學生有畏難情緒，放棄課前閱讀思考，教師要對課前閱讀思考狀況準確地把握及時指導，課堂上才會有較好的交流互動.

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