范德瓦爾斯氣體的氣壓公式

藍風華

（武警工程大學理學院，陜西 西安 710086）

大學物理教科書中，一般都給出了理想氣體恒溫氣壓公式［1］

其中，M為氣體摩爾質量，T為熱力學溫度，p0為地面高度h＝0處的壓強.

實際上大氣溫度是隨地面高度而變化的，同時理想氣體與大氣實際氣體也有出入，因此用式（1）計算出的壓強只能是近似結果.為了得到比較接近實際的結果，不妨將大氣近似為范德瓦爾斯氣體，用多方過程取代等溫過程，這樣推導出的氣壓公式會更接近實際.

1 范德瓦爾斯氣體的多方過程

設1mol范德瓦爾斯氣體的壓強為p，體積為V，溫度為T，其狀態方程為

其中，R為普適氣體常數；a、b為范德瓦爾斯修正量.

由熱力學第一定律

其中，

式中，C為摩爾熱容；CV為等體摩爾熱容，它們都是溫度的函數.通常實際問題中，由于溫度變化不大，C、CV變化很小，因而近似視作常量.

式（3）即為再利

用式（2）可得

對上式積分并整理，可得范德瓦爾斯氣體的多方過程的T、V關系為

利用式（2）還可得到多方過程的p、V關系，即

若令

則式（4）、（5）可分別寫成

通常稱n為多方指數.

2 范德瓦爾斯氣體的氣壓公式推導

如圖1所示，設在高度h處有一薄層空氣，其底面積為S，厚度為dh，上下兩面的氣體壓強分別為p＋dp和p，該處空氣密度為ρ，根據力學平衡條件

即

其中，V為摩爾體積，M為摩爾質量

圖1 空氣層受力圖示

若將大氣近似為范德瓦爾斯氣體，則由式（8）中的p代入式（9），可得

利用式（8）和式（2），上式還可得

再利用式（7）消去V，可得

設地面高度為零時，溫度為T0，摩爾體積為V0；地面高度為h時，溫度為T，摩爾體積為V，對式（10）兩邊積分，并利用式（7），可得

式（11）反映了溫度隨高度變化的函數關系.

由式（2）及式（7）可得范德瓦爾斯氣體處于多方過程的氣壓公式為

式（12）反映了壓強隨溫度T即隨高度h變化的函數關系.

3 討論

1）若將大氣視為理想氣體，則a＝0、b＝0，式（11）變為

將式（13）代入式（12）可得

它與文獻［2］的結果一致.即在同一高度下，壓強隨多方指數的增加而減少.

當n→1，即x→0時，式（15）變為

這正是理想氣體的恒溫氣壓公式.

式（12）變為

它與文獻［3］結果一致.

若將大氣視作理想氣體絕熱模型，則式（14）變為

對于范德瓦爾斯氣體與理想氣體的絕熱過程的氣壓公式的比較，文獻［3］做了詳細的闡述，本文就不一一贅述.

總之，范德瓦爾斯氣體處于多方過程的氣壓公式，確實是對理想氣體氣壓公式的一種很好的修正.

［1］張三慧.大學物理：第二冊［M］.2版.北京：清華大學出版社，1999：14.

［2］魏國柱，顧永偉，杜安.對氣體等溫氣壓公式的修正［J］.大學物理，2006，25（17）：28.

［3］穆良柱，史寒朵.重力場中的范德瓦爾斯氣體［J］.大學物理，2011，30（10：）：5-6.