求解排列組合問題的八種策略

董文榮

排列組合問題是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，高考的重點(diǎn)，今舉例說明求解排列組合問題的常用策略.

一、特殊元素、特殊位置優(yōu)先安排策略

對于存在特殊元素或特殊位置的排列組合問題，可以從這些“特殊”入手，先滿足特殊元素或特殊位置，再滿足其他元素或位置.

例1（2008陜西高考）某地奧運(yùn)火炬接力傳遞路線共分6段，傳遞活動分別由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，最后一棒只能從甲，乙兩人中產(chǎn)生，則不同的傳遞方案共有 種.

解析先安排最后一棒A12， 再安排第一棒A12，最后安排中間四棒A44，所以不同的的傳遞方案共有A12A12A44=96種.

二、先選元后排列策略

對于排列與組合的混合問題，宜先用組合選取元素，再進(jìn)行排列.

例2（2010湖北高考）現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戌5名同學(xué)參加上海世博會志愿者服務(wù)活動，每人從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)工作之一，每項(xiàng)工作至少有一人參加.甲、乙不會開車但能從事其他三項(xiàng)工作，丙丁戌都能勝任四項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)是（ ）.

A. 152 B. 126 C. 90 D. 54

解析按從事司機(jī)工作的人數(shù)進(jìn)行分類：

（1）有1人從事司機(jī)工作有：C13C24A33（或C13C13C24A22）=108種；（2）有2人從事司機(jī)工作有：C23A33=18種.

所以不同安排方案的種數(shù)是108+18=126.

三、分類討論的策略

對于較復(fù)雜的排列組合問題，由于情況繁多，因此需要對各種不同情況進(jìn)行合理分類，以便有條不紊地進(jìn)行解答，避免重復(fù)或遺漏現(xiàn)象的發(fā)生.分類討論策略適用于正面情況較少的情形，若較多時，可考慮用間接法.

例3（2013年浙江高考）將A，B，C，D，E，F(xiàn)六個字母排成一排，且A，B均在C的同側(cè)，則不同的排法共有 種（用數(shù)字作答）.

解析按C的位置分類計(jì)算.

（1）當(dāng)C在第一或第六位時，有A55=120種排法；

（2）當(dāng)C在第二或第五位時，有A24A33=72種排法；

（3）當(dāng)C在第三或第四位時，有A22A33+A23A33=48種排法.

所以共有2×（120+72+48）=480種排法.

四、相鄰問題捆綁處理策略

對于某些元素要求相鄰的排列問題，可先將相鄰元素捆綁看做一個元素，再與其它元素進(jìn)行全排列，同時對該相鄰元素進(jìn)行內(nèi)部排列.

例4（2010年重慶高考）某單位安排7位員工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7位員工中的甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，則不同的安排方案共有（）.

A. 504種 B. 960種 C. 1008種 D. 1108種

解析解法一：分兩類：甲乙排1、2號或6、7號 共有2×A22A14A44種方法，甲乙排中間，丙排7號或不排7號，共有4A22（A44+A13A13A33）種方法，故共有1008種不同的排法.

解法二：不考慮丙、丁的情況共有A22A66=1440種排法；在甲乙相鄰的情況下，丙排10月1日有A22A66=240種排法，同理，丁排10月7日也有A22A55=240種排法，丙排10月1日且丁排10月7日有A22A44=48種排法，則滿足條件的排法有A22A66-2A22A66+A22A44=1008種.

五、不相鄰問題插空處理策略

某些元素要求分離（間隔）排列，可先把無位置要求的幾個元素全排列，再把要求分離的幾個元素插入上述幾個元素的空檔或兩端.

例5（2013年大綱全國）6個人排成一行，其中甲、乙兩人不相鄰的不同排法共有 種（用數(shù)字作答）.

解析不相鄰問題用插空法解決.先把甲、乙以外的4個人全排列，有A44種排法，然后將甲、乙兩人插入這4人隔成的5個空中的兩個，有A25種排法.因此共有A44A25=24×20=480種不同排法.

六、借助模型策略

有些排列組合問題直接求解時較困難，若能認(rèn)真理解題意，抽象出其中的數(shù)量關(guān)系，通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型來求解，則可簡捷巧妙地解決.常用的有構(gòu)建立體幾何模型、構(gòu)造擋板模型等.

例6（上海高考）如圖，A、B、C、D是海上的四個小島，要建三座橋， 將這四個島連接起來，不同的建橋方案共有 （ ）.

A.8種 B. 12種 C. 16種 D. 20種

解析如圖：構(gòu)建三棱錐A-BCD，四個頂點(diǎn)表示小島，六條棱表示連接任意兩島的橋梁，由題意，只需求出從六條棱中任取三條不共面的棱的不同取法，這可由間接法完成.從六條棱中任取三條棱的不同取法為C36種，任取三條共面棱的不同取法為4種，所以從六條棱中任取三條不共面的棱的不同取法為C36-4=16種.

七、正難則反等價(jià)轉(zhuǎn)化的策略

對于正面情況較復(fù)雜而其反面情況卻簡單時，可先考慮無限制條件的排列，再減去其反面情況即可.這種解法也稱作“間接法”.一般含“至多”“至少”型的問題常采用這種解法.

例7（2011北京高考）用數(shù)字2，3組成的四位數(shù)，且數(shù)字2，3至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有 個.

解析解法一：（間接法）2，3組成的四位數(shù)共有24=16個，由2組成的4位數(shù)為1個，由3組成的4位數(shù)為1個，不符合題意.所以符合題意的數(shù)為16-1-1=14個.

解法二（分類討論）數(shù)字2，3至少都出現(xiàn)一次，包括以下情況：“2”出現(xiàn)2次，“3”出現(xiàn)2次，共可組成C24=6個四位數(shù)；“2”出現(xiàn)1次，“3”出現(xiàn)3次，共可組成C14=4個四位數(shù).“2”出現(xiàn)3次，“3”出現(xiàn)1次，共可組成C34=4個四位數(shù).

綜上所述，共可組成14個這樣的四位數(shù).八：均分問題作商法處理的策略對于均分問題，要注意重復(fù)出現(xiàn)的情況，均分為 組，要除以 .一般地：設(shè)有 個元素平均分成n組，每組m個，有 種方法；平均分成n組，再分配到n個位置，有 種方法.例8：（2010江西高考）將6位志愿者分成4組，其中兩個組各2人，另兩個組各1人，分赴世博會的四個不同場館服務(wù)，不同的分配方案有 種.解析：先將6位志愿者分組，共有 種方法，再把各組分到不同場館，共有 種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知：不同的分配方案共有 =1080種.endprint

排列組合問題是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，高考的重點(diǎn)，今舉例說明求解排列組合問題的常用策略.

一、特殊元素、特殊位置優(yōu)先安排策略

對于存在特殊元素或特殊位置的排列組合問題，可以從這些“特殊”入手，先滿足特殊元素或特殊位置，再滿足其他元素或位置.

例1（2008陜西高考）某地奧運(yùn)火炬接力傳遞路線共分6段，傳遞活動分別由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，最后一棒只能從甲，乙兩人中產(chǎn)生，則不同的傳遞方案共有 種.

解析先安排最后一棒A12， 再安排第一棒A12，最后安排中間四棒A44，所以不同的的傳遞方案共有A12A12A44=96種.

二、先選元后排列策略

對于排列與組合的混合問題，宜先用組合選取元素，再進(jìn)行排列.

例2（2010湖北高考）現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戌5名同學(xué)參加上海世博會志愿者服務(wù)活動，每人從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)工作之一，每項(xiàng)工作至少有一人參加.甲、乙不會開車但能從事其他三項(xiàng)工作，丙丁戌都能勝任四項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)是（ ）.

A. 152 B. 126 C. 90 D. 54

解析按從事司機(jī)工作的人數(shù)進(jìn)行分類：

（1）有1人從事司機(jī)工作有：C13C24A33（或C13C13C24A22）=108種；（2）有2人從事司機(jī)工作有：C23A33=18種.

所以不同安排方案的種數(shù)是108+18=126.

三、分類討論的策略

對于較復(fù)雜的排列組合問題，由于情況繁多，因此需要對各種不同情況進(jìn)行合理分類，以便有條不紊地進(jìn)行解答，避免重復(fù)或遺漏現(xiàn)象的發(fā)生.分類討論策略適用于正面情況較少的情形，若較多時，可考慮用間接法.

例3（2013年浙江高考）將A，B，C，D，E，F(xiàn)六個字母排成一排，且A，B均在C的同側(cè)，則不同的排法共有 種（用數(shù)字作答）.

解析按C的位置分類計(jì)算.

（1）當(dāng)C在第一或第六位時，有A55=120種排法；

（2）當(dāng)C在第二或第五位時，有A24A33=72種排法；

（3）當(dāng)C在第三或第四位時，有A22A33+A23A33=48種排法.

所以共有2×（120+72+48）=480種排法.

四、相鄰問題捆綁處理策略

對于某些元素要求相鄰的排列問題，可先將相鄰元素捆綁看做一個元素，再與其它元素進(jìn)行全排列，同時對該相鄰元素進(jìn)行內(nèi)部排列.

例4（2010年重慶高考）某單位安排7位員工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7位員工中的甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，則不同的安排方案共有（）.

A. 504種 B. 960種 C. 1008種 D. 1108種

解析解法一：分兩類：甲乙排1、2號或6、7號 共有2×A22A14A44種方法，甲乙排中間，丙排7號或不排7號，共有4A22（A44+A13A13A33）種方法，故共有1008種不同的排法.

解法二：不考慮丙、丁的情況共有A22A66=1440種排法；在甲乙相鄰的情況下，丙排10月1日有A22A66=240種排法，同理，丁排10月7日也有A22A55=240種排法，丙排10月1日且丁排10月7日有A22A44=48種排法，則滿足條件的排法有A22A66-2A22A66+A22A44=1008種.

五、不相鄰問題插空處理策略

某些元素要求分離（間隔）排列，可先把無位置要求的幾個元素全排列，再把要求分離的幾個元素插入上述幾個元素的空檔或兩端.

例5（2013年大綱全國）6個人排成一行，其中甲、乙兩人不相鄰的不同排法共有 種（用數(shù)字作答）.

解析不相鄰問題用插空法解決.先把甲、乙以外的4個人全排列，有A44種排法，然后將甲、乙兩人插入這4人隔成的5個空中的兩個，有A25種排法.因此共有A44A25=24×20=480種不同排法.

六、借助模型策略

有些排列組合問題直接求解時較困難，若能認(rèn)真理解題意，抽象出其中的數(shù)量關(guān)系，通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型來求解，則可簡捷巧妙地解決.常用的有構(gòu)建立體幾何模型、構(gòu)造擋板模型等.

例6（上海高考）如圖，A、B、C、D是海上的四個小島，要建三座橋， 將這四個島連接起來，不同的建橋方案共有 （ ）.

A.8種 B. 12種 C. 16種 D. 20種

解析如圖：構(gòu)建三棱錐A-BCD，四個頂點(diǎn)表示小島，六條棱表示連接任意兩島的橋梁，由題意，只需求出從六條棱中任取三條不共面的棱的不同取法，這可由間接法完成.從六條棱中任取三條棱的不同取法為C36種，任取三條共面棱的不同取法為4種，所以從六條棱中任取三條不共面的棱的不同取法為C36-4=16種.

七、正難則反等價(jià)轉(zhuǎn)化的策略

對于正面情況較復(fù)雜而其反面情況卻簡單時，可先考慮無限制條件的排列，再減去其反面情況即可.這種解法也稱作“間接法”.一般含“至多”“至少”型的問題常采用這種解法.

例7（2011北京高考）用數(shù)字2，3組成的四位數(shù)，且數(shù)字2，3至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有 個.

解析解法一：（間接法）2，3組成的四位數(shù)共有24=16個，由2組成的4位數(shù)為1個，由3組成的4位數(shù)為1個，不符合題意.所以符合題意的數(shù)為16-1-1=14個.

解法二（分類討論）數(shù)字2，3至少都出現(xiàn)一次，包括以下情況：“2”出現(xiàn)2次，“3”出現(xiàn)2次，共可組成C24=6個四位數(shù)；“2”出現(xiàn)1次，“3”出現(xiàn)3次，共可組成C14=4個四位數(shù).“2”出現(xiàn)3次，“3”出現(xiàn)1次，共可組成C34=4個四位數(shù).

綜上所述，共可組成14個這樣的四位數(shù).八：均分問題作商法處理的策略對于均分問題，要注意重復(fù)出現(xiàn)的情況，均分為 組，要除以 .一般地：設(shè)有 個元素平均分成n組，每組m個，有 種方法；平均分成n組，再分配到n個位置，有 種方法.例8：（2010江西高考）將6位志愿者分成4組，其中兩個組各2人，另兩個組各1人，分赴世博會的四個不同場館服務(wù)，不同的分配方案有 種.解析：先將6位志愿者分組，共有 種方法，再把各組分到不同場館，共有 種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知：不同的分配方案共有 =1080種.endprint

排列組合問題是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，高考的重點(diǎn)，今舉例說明求解排列組合問題的常用策略.

一、特殊元素、特殊位置優(yōu)先安排策略

對于存在特殊元素或特殊位置的排列組合問題，可以從這些“特殊”入手，先滿足特殊元素或特殊位置，再滿足其他元素或位置.

例1（2008陜西高考）某地奧運(yùn)火炬接力傳遞路線共分6段，傳遞活動分別由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，最后一棒只能從甲，乙兩人中產(chǎn)生，則不同的傳遞方案共有 種.

解析先安排最后一棒A12， 再安排第一棒A12，最后安排中間四棒A44，所以不同的的傳遞方案共有A12A12A44=96種.

二、先選元后排列策略

對于排列與組合的混合問題，宜先用組合選取元素，再進(jìn)行排列.

例2（2010湖北高考）現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戌5名同學(xué)參加上海世博會志愿者服務(wù)活動，每人從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)工作之一，每項(xiàng)工作至少有一人參加.甲、乙不會開車但能從事其他三項(xiàng)工作，丙丁戌都能勝任四項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)是（ ）.

A. 152 B. 126 C. 90 D. 54

解析按從事司機(jī)工作的人數(shù)進(jìn)行分類：

（1）有1人從事司機(jī)工作有：C13C24A33（或C13C13C24A22）=108種；（2）有2人從事司機(jī)工作有：C23A33=18種.

所以不同安排方案的種數(shù)是108+18=126.

三、分類討論的策略

對于較復(fù)雜的排列組合問題，由于情況繁多，因此需要對各種不同情況進(jìn)行合理分類，以便有條不紊地進(jìn)行解答，避免重復(fù)或遺漏現(xiàn)象的發(fā)生.分類討論策略適用于正面情況較少的情形，若較多時，可考慮用間接法.

例3（2013年浙江高考）將A，B，C，D，E，F(xiàn)六個字母排成一排，且A，B均在C的同側(cè)，則不同的排法共有 種（用數(shù)字作答）.

解析按C的位置分類計(jì)算.

（1）當(dāng)C在第一或第六位時，有A55=120種排法；

（2）當(dāng)C在第二或第五位時，有A24A33=72種排法；

（3）當(dāng)C在第三或第四位時，有A22A33+A23A33=48種排法.

所以共有2×（120+72+48）=480種排法.

四、相鄰問題捆綁處理策略

對于某些元素要求相鄰的排列問題，可先將相鄰元素捆綁看做一個元素，再與其它元素進(jìn)行全排列，同時對該相鄰元素進(jìn)行內(nèi)部排列.

例4（2010年重慶高考）某單位安排7位員工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7位員工中的甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，則不同的安排方案共有（）.

A. 504種 B. 960種 C. 1008種 D. 1108種

解析解法一：分兩類：甲乙排1、2號或6、7號 共有2×A22A14A44種方法，甲乙排中間，丙排7號或不排7號，共有4A22（A44+A13A13A33）種方法，故共有1008種不同的排法.

解法二：不考慮丙、丁的情況共有A22A66=1440種排法；在甲乙相鄰的情況下，丙排10月1日有A22A66=240種排法，同理，丁排10月7日也有A22A55=240種排法，丙排10月1日且丁排10月7日有A22A44=48種排法，則滿足條件的排法有A22A66-2A22A66+A22A44=1008種.

五、不相鄰問題插空處理策略

某些元素要求分離（間隔）排列，可先把無位置要求的幾個元素全排列，再把要求分離的幾個元素插入上述幾個元素的空檔或兩端.

例5（2013年大綱全國）6個人排成一行，其中甲、乙兩人不相鄰的不同排法共有 種（用數(shù)字作答）.

解析不相鄰問題用插空法解決.先把甲、乙以外的4個人全排列，有A44種排法，然后將甲、乙兩人插入這4人隔成的5個空中的兩個，有A25種排法.因此共有A44A25=24×20=480種不同排法.

六、借助模型策略

有些排列組合問題直接求解時較困難，若能認(rèn)真理解題意，抽象出其中的數(shù)量關(guān)系，通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型來求解，則可簡捷巧妙地解決.常用的有構(gòu)建立體幾何模型、構(gòu)造擋板模型等.

例6（上海高考）如圖，A、B、C、D是海上的四個小島，要建三座橋， 將這四個島連接起來，不同的建橋方案共有 （ ）.

A.8種 B. 12種 C. 16種 D. 20種

解析如圖：構(gòu)建三棱錐A-BCD，四個頂點(diǎn)表示小島，六條棱表示連接任意兩島的橋梁，由題意，只需求出從六條棱中任取三條不共面的棱的不同取法，這可由間接法完成.從六條棱中任取三條棱的不同取法為C36種，任取三條共面棱的不同取法為4種，所以從六條棱中任取三條不共面的棱的不同取法為C36-4=16種.

七、正難則反等價(jià)轉(zhuǎn)化的策略

對于正面情況較復(fù)雜而其反面情況卻簡單時，可先考慮無限制條件的排列，再減去其反面情況即可.這種解法也稱作“間接法”.一般含“至多”“至少”型的問題常采用這種解法.

例7（2011北京高考）用數(shù)字2，3組成的四位數(shù)，且數(shù)字2，3至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有 個.

解析解法一：（間接法）2，3組成的四位數(shù)共有24=16個，由2組成的4位數(shù)為1個，由3組成的4位數(shù)為1個，不符合題意.所以符合題意的數(shù)為16-1-1=14個.

解法二（分類討論）數(shù)字2，3至少都出現(xiàn)一次，包括以下情況：“2”出現(xiàn)2次，“3”出現(xiàn)2次，共可組成C24=6個四位數(shù)；“2”出現(xiàn)1次，“3”出現(xiàn)3次，共可組成C14=4個四位數(shù).“2”出現(xiàn)3次，“3”出現(xiàn)1次，共可組成C34=4個四位數(shù).

綜上所述，共可組成14個這樣的四位數(shù).八：均分問題作商法處理的策略對于均分問題，要注意重復(fù)出現(xiàn)的情況，均分為 組，要除以 .一般地：設(shè)有 個元素平均分成n組，每組m個，有 種方法；平均分成n組，再分配到n個位置，有 種方法.例8：（2010江西高考）將6位志愿者分成4組，其中兩個組各2人，另兩個組各1人，分赴世博會的四個不同場館服務(wù)，不同的分配方案有 種.解析：先將6位志愿者分組，共有 種方法，再把各組分到不同場館，共有 種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知：不同的分配方案共有 =1080種.endprint