授之以魚不如授之以漁

劉愛華

一、教材分析

帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動是高中物理問題中比較常見的情景，解決此類問題的關鍵是能夠找出粒子的運動軌跡，然后據軌跡確定圓心，并依據幾何關系得到半徑.在尋找粒子運動軌跡時，我們發現：粒子進入磁場的入射點、入射角度、軌跡圓半徑（軌跡圓半徑由入射速度大小、粒子比荷、磁感應強度決定）以及磁場形狀都會影響粒子的運動軌跡.分析粒子在磁場中運動軌跡所有可能的集合問題是這幾年高考考題中時有出現的“動態圓”問題.

二、設計思路

粒子射入磁場時入射速度大小、方向及入射點的變化，使得粒子的軌跡隨之變化，教學中采取控制變量的方法，依次研究只有一個因素發生變化時粒子的軌跡特點，讓學生總結其中的規律，歸納出方法，然后利用歸納的方法分析粒子的入射點、入射速度大小、方向發生變化時的情況，解決實際問題.

三、教學目標

1.知識與技能

（1）能以題目中的“恰好”、“最大”、“最高”、“至少”等詞語為突破口，借助半徑R和速度v（或磁場B）之間的約束關系進行動態運動軌跡分析.

（2）能根據軌跡圓和邊界的關系，找出臨界條件求解極值.

2.過程與方法

（1）利用控制變量法研究粒子入射速度大小、方向、入射點變化時粒子的軌跡變化問題.

（2）利用圓規或硬幣畫粒子的運動軌跡，根據臨界軌跡找規律，掌握解決問題的方法.

3.情感態度與價值觀

（1）感受控制變量法在物理研究中的作用.

（2）利用所學方法解決實際問題.

四、教學過程

（一）課題引入：

師：帶電粒子垂直射入勻強磁場受到洛倫茲力的作用，洛倫茲力的特點是什么？

生：洛倫茲力總是跟速度方向垂直，只改變速度的方向，不改變速度大小.

師：粒子的運動軌跡有什么特點？

生：粒子在磁場中做勻速圓周運動.

師：圓周的軌道半徑如何求解？

生：根據qvB=mv2/R 求解.

師生（總結）：粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動，首先要確定圓心，畫出軌跡，據幾何關系尋找半徑，然后求解.

（二）新課教學

師：粒子垂直射入磁場時，速度大小、方向以及入射點不確定，粒子的運動軌跡就會隨之變化，如果磁場是有界的，那就會出現臨界條件，問題就會很復雜.我們研究問題時往往從最簡單的情況入手，因此本節課我們采用控制變量的方法，依次研究只有一個因素變化引起的軌跡變化，從中尋找規律，得出方法.首先看例1.

例1空間存在垂直紙面向里、寬度為d的有界勻強磁場，磁感應強度為B，MM′、NN′是磁場的兩條平行邊界，在MM′上有一個粒子源，垂直于磁場沿圖示方向射出速率不等的帶正電粒子，粒子質量為m，帶電量為+q（不計重力），要使粒子不能從右邊界NN′射出，求粒子入射速率的范圍.

師：大家審題，分析粒子射入磁場時的速度特點是什么？

生：入射方向、入射點確定，大小不同.

師：速度方向不變，速度大小不同，粒子的軌跡有什么區別？

生：粒子的軌跡圓心都在垂直于速度的直線上，速度越大，半徑越大.

師：對，可以利用圓規按照半徑由小到大順序做圓，尋找臨界軌跡.

分析粒子射入磁場的速度特點時，老師在ppt上展示，學生能夠直觀理解.然后學生動手利用圓規作圖，尋找臨界軌跡，老師巡視指導，利用手機將學生的解題拍照，在投影儀上交流.大多數學生都能找到粒子軌跡與右邊界相切時恰好不從右邊界射出，從而求出速度范圍.

師：請交流小結，如何處理入射速度改變的臨界問題.

學生自由討論，得出解決問題的方法.

生：粒子的速度越大，半徑越大，軌跡逐漸膨脹，可以利用圓規按半徑由小到大順序做圓，尋找臨界軌跡.

師：這類動態圓的軌跡會隨著粒子速度的變大而膨脹，我們稱為膨脹動態圓.

板書（1）：粒子的入射速度大小變化——膨脹動態圓

師：如果粒子射入磁場的速度不變，而入射點發生變化，那該如何處理呢？我們來看例2.

例2如圖所示，第一象限內存在垂直紙面向里的勻強磁場，磁場足夠大，在OA之間有帶正電的粒子源源不斷地垂直y軸射入磁場，OA的長度d=0.6 m，粒子的速度都相同，在磁場中的軌道半徑R=0.3 m，不計粒子的重力和粒子相互間的影響，求磁場中粒子可能出現區域的面積.

師：審題，判斷粒子入射速度有什么特點？軌跡又有什么規律？

生：粒子射入磁場的速度大小方向均不變，因此粒子的軌道半徑相同，軌跡圓大小一樣.

課前老師利用A4紙制作一個大圓，用紅色紙做一個箭頭，圓的邊緣上取一點，將箭頭粘貼上去，標志為粒子的入射方向，展示給學生看.

師：老師制作的圓就是粒子的運動軌跡，大家可以找一元硬幣來代替.

給學生時間思考，老師巡視時適當個別指導，學生自己能夠想到軌跡會隨入射點向上平移，將硬幣向上平移，按硬幣邊緣作出若干圓弧，從而找到臨界的軌跡.利用手機將學生的解題拍照進行交流.

師：根據剛剛的分析，這類粒子的入射速度大小確定，軌道半徑確定，軌跡圓的大小就確定，粒子的軌跡可以用一元硬幣代替.入射點改變時，怎樣利用硬幣尋找臨界軌跡？

生：可以隨著粒子入射點的改變平移硬幣，沿硬幣邊緣作圓或圓弧，尋找臨界條件.

師：對.當粒子速度大小不變時，軌跡圓大小確定，軌跡隨入射點移動，我們稱為平移動態圓.

板書（2）：粒子入射點改變——平移動態圓

師：找到了入射點、速度大小變化時動態圓問題的處理方法，那入射方向時刻變化的動態圓如何處理？我們來看例3.

例3如圖所示，真空內存在垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大小B=0.6T，磁場內有一塊擋板ab，板面與磁場方向平行，擋板足夠大，在距ab的距離l=16 cm處，有一個點狀發射源S，它向各個方向發射 粒子， 粒子的速率都是v=3.0×106m/s， 粒子的電荷量與質量之比 ， 現只考慮在圖紙平面中運動的粒子，不計 粒子的重力和相互影響，求ab上被 粒子打中的區域的長度.

給學生審題時間，通過審題思考后，請學生說說審題后的想法.生：粒子的速度大小確定，根據 可以求出粒子做圓周運動的軌道半徑.粒子的速度大小確定，軌跡圓大小確定.

當學生得出粒子軌跡圓大小確定后，很快就能遷移到上一題，想到用一元硬幣代替軌跡圓，尋找臨界軌跡.

師：當粒子入射方向變化時，粒子的軌跡有什么特點？

生：粒子在磁場中逆時針轉動，且粒子的軌跡隨著入射方向的轉動而隨之轉動.

學生旋轉硬幣畫圓，找到打在板上的粒子的臨界軌跡，老師利用手機拍下學生的解題，在投影片上交流，請學生小結解題方法.

生：粒子速度大小確定，軌跡圓的半徑確定，軌跡圓形狀相同.可以旋轉硬幣作圓或圓弧，尋找粒子打在邊界上的“最高”及“最低”點.

師：粒子的速度大小確定，軌跡會跟隨入射方向的變化而旋轉，這類問題我們成為旋轉動態圓.

板書（3）：粒子的入射速度方向改變——旋轉動態圓

師：剛剛利用控制變量法研究了粒子速度大小、方向、入射點三個因素其中一個變化時粒子的軌跡特征，并且得到了處理問題的方法，掌握了兩個解決動態圓的利器：圓規和硬幣.實際上粒子打入磁場時會更復雜，例如核聚變反應需要幾百萬度以上的高溫，為把高溫條件下高速運動的離子約束在小范圍內（否則不可能發生核反應），通常采用磁約束的方法（托卡馬克裝置）.此時粒子的入射大小、方向、入射點都不確定，大家設想一下你是實驗室的研究人員，如何控制粒子？如何用具體的情境來描述，請大家思考.

學以致用、如圖所示，環狀勻強磁場圍成中空區域，中空區域中的帶正電的粒子只要速度不是很大，都不會穿出磁場的外邊緣而被約束在該區域內.設環狀磁場的內外半徑分別為R1=0.5m、R2=1.0m， 磁場的磁感應強度B=1.0T，束縛粒子的比荷為4×107C/kg，中空區域的帶電粒子具有各個方向的速度.求所有粒子不會穿越磁場的最大速度.

學生自由討論，老師提示，粒子在內圓上某點入射，沿不同的入射方向，粒子的運動軌跡的特點，當粒子軌跡與外圓相交時，粒子就會飛出磁場，與外圓相切時，恰不會飛出磁場.

師：大家可以設想一下，粒子像是獄友，而磁場就是監獄，粒子速度越大，越獄的本領越大，如果將最強越獄本領的粒子約束了，那所有粒子都能約束.但是粒子射入磁場的方向不確定，相同的速度大小（即越獄本領相同）沿不同的方向入射時能否打出磁場（能否越獄）的情況也不相同，所以首先要判斷粒子從哪個方向入射時最容易射出，如果磁場能將最容易射出的方向上的最厲害的粒子約束住，那速度比該粒子小的粒子也會約束.

學生利用圓規作圖，當粒子沿內圓切線方向入射，軌跡與外圓恰好相切時，此時恰不會射出磁場，若將該粒子軌跡圓順時針旋轉，軌跡圓與外圓相離無交點，粒子不會射出磁場，所以粒子沿內圓切線方向入射時最容易射出磁場，進一步找到此時剛好出射粒子的速度，即不能射出磁場臨界速度.

五、課后反思

帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動是高中物理問題中常見的情景，老師在講解時常會借助工具在黑板上畫若干圓幫助學生理解情景，或用Flash、幾何畫板等軟件進行演示.這些手段往往只能讓學生“聽懂”，并不能讓學生“會做”； “授之以魚”不如“授之以漁”，要讓學生學會解決這類問題，關鍵是要教會他們使用解決動態圓問題的利器：“圓規”和“硬幣”.

首先借助三道例題的思考分析過程，結合老師的點撥引導，學生利用“圓規”及“硬幣”自己得出三種粒子的軌跡動態變化，從而實現教學的第一目標；接下來利用所學的知識解決實際問題達成了本節課的第二目標；最后學生從研究者的角度思考：當粒子的速度大小、方向、入射點均不確定時應該如何處理？老師啟發學生將磁場對粒子的束縛比喻成監獄對犯人的束縛，粒子則被比喻成希望越獄的犯人，學生很容易理解思考如何“越獄”最容易及誰最有可能“越獄”成功，最終解決了實際問題.

【本文系江蘇省“十二五”規劃課題《高中物理顯性科學方法教育課堂的構建研究》研究成果，課題編號B-b/2013/02/230】

例3如圖所示，真空內存在垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大小B=0.6T，磁場內有一塊擋板ab，板面與磁場方向平行，擋板足夠大，在距ab的距離l=16 cm處，有一個點狀發射源S，它向各個方向發射 粒子， 粒子的速率都是v=3.0×106m/s， 粒子的電荷量與質量之比 ， 現只考慮在圖紙平面中運動的粒子，不計 粒子的重力和相互影響，求ab上被 粒子打中的區域的長度.

給學生審題時間，通過審題思考后，請學生說說審題后的想法.生：粒子的速度大小確定，根據 可以求出粒子做圓周運動的軌道半徑.粒子的速度大小確定，軌跡圓大小確定.

當學生得出粒子軌跡圓大小確定后，很快就能遷移到上一題，想到用一元硬幣代替軌跡圓，尋找臨界軌跡.

師：當粒子入射方向變化時，粒子的軌跡有什么特點？

生：粒子在磁場中逆時針轉動，且粒子的軌跡隨著入射方向的轉動而隨之轉動.

學生旋轉硬幣畫圓，找到打在板上的粒子的臨界軌跡，老師利用手機拍下學生的解題，在投影片上交流，請學生小結解題方法.

生：粒子速度大小確定，軌跡圓的半徑確定，軌跡圓形狀相同.可以旋轉硬幣作圓或圓弧，尋找粒子打在邊界上的“最高”及“最低”點.

師：粒子的速度大小確定，軌跡會跟隨入射方向的變化而旋轉，這類問題我們成為旋轉動態圓.

板書（3）：粒子的入射速度方向改變——旋轉動態圓

師：剛剛利用控制變量法研究了粒子速度大小、方向、入射點三個因素其中一個變化時粒子的軌跡特征，并且得到了處理問題的方法，掌握了兩個解決動態圓的利器：圓規和硬幣.實際上粒子打入磁場時會更復雜，例如核聚變反應需要幾百萬度以上的高溫，為把高溫條件下高速運動的離子約束在小范圍內（否則不可能發生核反應），通常采用磁約束的方法（托卡馬克裝置）.此時粒子的入射大小、方向、入射點都不確定，大家設想一下你是實驗室的研究人員，如何控制粒子？如何用具體的情境來描述，請大家思考.

學以致用、如圖所示，環狀勻強磁場圍成中空區域，中空區域中的帶正電的粒子只要速度不是很大，都不會穿出磁場的外邊緣而被約束在該區域內.設環狀磁場的內外半徑分別為R1=0.5m、R2=1.0m， 磁場的磁感應強度B=1.0T，束縛粒子的比荷為4×107C/kg，中空區域的帶電粒子具有各個方向的速度.求所有粒子不會穿越磁場的最大速度.

學生自由討論，老師提示，粒子在內圓上某點入射，沿不同的入射方向，粒子的運動軌跡的特點，當粒子軌跡與外圓相交時，粒子就會飛出磁場，與外圓相切時，恰不會飛出磁場.

師：大家可以設想一下，粒子像是獄友，而磁場就是監獄，粒子速度越大，越獄的本領越大，如果將最強越獄本領的粒子約束了，那所有粒子都能約束.但是粒子射入磁場的方向不確定，相同的速度大小（即越獄本領相同）沿不同的方向入射時能否打出磁場（能否越獄）的情況也不相同，所以首先要判斷粒子從哪個方向入射時最容易射出，如果磁場能將最容易射出的方向上的最厲害的粒子約束住，那速度比該粒子小的粒子也會約束.

學生利用圓規作圖，當粒子沿內圓切線方向入射，軌跡與外圓恰好相切時，此時恰不會射出磁場，若將該粒子軌跡圓順時針旋轉，軌跡圓與外圓相離無交點，粒子不會射出磁場，所以粒子沿內圓切線方向入射時最容易射出磁場，進一步找到此時剛好出射粒子的速度，即不能射出磁場臨界速度.

五、課后反思

帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動是高中物理問題中常見的情景，老師在講解時常會借助工具在黑板上畫若干圓幫助學生理解情景，或用Flash、幾何畫板等軟件進行演示.這些手段往往只能讓學生“聽懂”，并不能讓學生“會做”； “授之以魚”不如“授之以漁”，要讓學生學會解決這類問題，關鍵是要教會他們使用解決動態圓問題的利器：“圓規”和“硬幣”.

首先借助三道例題的思考分析過程，結合老師的點撥引導，學生利用“圓規”及“硬幣”自己得出三種粒子的軌跡動態變化，從而實現教學的第一目標；接下來利用所學的知識解決實際問題達成了本節課的第二目標；最后學生從研究者的角度思考：當粒子的速度大小、方向、入射點均不確定時應該如何處理？老師啟發學生將磁場對粒子的束縛比喻成監獄對犯人的束縛，粒子則被比喻成希望越獄的犯人，學生很容易理解思考如何“越獄”最容易及誰最有可能“越獄”成功，最終解決了實際問題.

【本文系江蘇省“十二五”規劃課題《高中物理顯性科學方法教育課堂的構建研究》研究成果，課題編號B-b/2013/02/230】

例3如圖所示，真空內存在垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大小B=0.6T，磁場內有一塊擋板ab，板面與磁場方向平行，擋板足夠大，在距ab的距離l=16 cm處，有一個點狀發射源S，它向各個方向發射 粒子， 粒子的速率都是v=3.0×106m/s， 粒子的電荷量與質量之比 ， 現只考慮在圖紙平面中運動的粒子，不計 粒子的重力和相互影響，求ab上被 粒子打中的區域的長度.

給學生審題時間，通過審題思考后，請學生說說審題后的想法.生：粒子的速度大小確定，根據 可以求出粒子做圓周運動的軌道半徑.粒子的速度大小確定，軌跡圓大小確定.

當學生得出粒子軌跡圓大小確定后，很快就能遷移到上一題，想到用一元硬幣代替軌跡圓，尋找臨界軌跡.

師：當粒子入射方向變化時，粒子的軌跡有什么特點？

生：粒子在磁場中逆時針轉動，且粒子的軌跡隨著入射方向的轉動而隨之轉動.

學生旋轉硬幣畫圓，找到打在板上的粒子的臨界軌跡，老師利用手機拍下學生的解題，在投影片上交流，請學生小結解題方法.

生：粒子速度大小確定，軌跡圓的半徑確定，軌跡圓形狀相同.可以旋轉硬幣作圓或圓弧，尋找粒子打在邊界上的“最高”及“最低”點.

師：粒子的速度大小確定，軌跡會跟隨入射方向的變化而旋轉，這類問題我們成為旋轉動態圓.

板書（3）：粒子的入射速度方向改變——旋轉動態圓

師：剛剛利用控制變量法研究了粒子速度大小、方向、入射點三個因素其中一個變化時粒子的軌跡特征，并且得到了處理問題的方法，掌握了兩個解決動態圓的利器：圓規和硬幣.實際上粒子打入磁場時會更復雜，例如核聚變反應需要幾百萬度以上的高溫，為把高溫條件下高速運動的離子約束在小范圍內（否則不可能發生核反應），通常采用磁約束的方法（托卡馬克裝置）.此時粒子的入射大小、方向、入射點都不確定，大家設想一下你是實驗室的研究人員，如何控制粒子？如何用具體的情境來描述，請大家思考.

學以致用、如圖所示，環狀勻強磁場圍成中空區域，中空區域中的帶正電的粒子只要速度不是很大，都不會穿出磁場的外邊緣而被約束在該區域內.設環狀磁場的內外半徑分別為R1=0.5m、R2=1.0m， 磁場的磁感應強度B=1.0T，束縛粒子的比荷為4×107C/kg，中空區域的帶電粒子具有各個方向的速度.求所有粒子不會穿越磁場的最大速度.

學生自由討論，老師提示，粒子在內圓上某點入射，沿不同的入射方向，粒子的運動軌跡的特點，當粒子軌跡與外圓相交時，粒子就會飛出磁場，與外圓相切時，恰不會飛出磁場.

師：大家可以設想一下，粒子像是獄友，而磁場就是監獄，粒子速度越大，越獄的本領越大，如果將最強越獄本領的粒子約束了，那所有粒子都能約束.但是粒子射入磁場的方向不確定，相同的速度大小（即越獄本領相同）沿不同的方向入射時能否打出磁場（能否越獄）的情況也不相同，所以首先要判斷粒子從哪個方向入射時最容易射出，如果磁場能將最容易射出的方向上的最厲害的粒子約束住，那速度比該粒子小的粒子也會約束.

學生利用圓規作圖，當粒子沿內圓切線方向入射，軌跡與外圓恰好相切時，此時恰不會射出磁場，若將該粒子軌跡圓順時針旋轉，軌跡圓與外圓相離無交點，粒子不會射出磁場，所以粒子沿內圓切線方向入射時最容易射出磁場，進一步找到此時剛好出射粒子的速度，即不能射出磁場臨界速度.

五、課后反思

帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動是高中物理問題中常見的情景，老師在講解時常會借助工具在黑板上畫若干圓幫助學生理解情景，或用Flash、幾何畫板等軟件進行演示.這些手段往往只能讓學生“聽懂”，并不能讓學生“會做”； “授之以魚”不如“授之以漁”，要讓學生學會解決這類問題，關鍵是要教會他們使用解決動態圓問題的利器：“圓規”和“硬幣”.

首先借助三道例題的思考分析過程，結合老師的點撥引導，學生利用“圓規”及“硬幣”自己得出三種粒子的軌跡動態變化，從而實現教學的第一目標；接下來利用所學的知識解決實際問題達成了本節課的第二目標；最后學生從研究者的角度思考：當粒子的速度大小、方向、入射點均不確定時應該如何處理？老師啟發學生將磁場對粒子的束縛比喻成監獄對犯人的束縛，粒子則被比喻成希望越獄的犯人，學生很容易理解思考如何“越獄”最容易及誰最有可能“越獄”成功，最終解決了實際問題.

【本文系江蘇省“十二五”規劃課題《高中物理顯性科學方法教育課堂的構建研究》研究成果，課題編號B-b/2013/02/230】