化歸思想在中學數學中的作用

丁亞輝

[內容摘要]化歸是轉化和歸納的簡稱?；瘹w不僅是一種重要的解題思想，也是一種重要的策略。所謂的化歸思想方法，就是在研究和解決有關數學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉化，進而達到解決的一種方法。

[關鍵詞]化歸；數學素質；解題思想

化歸是轉化和歸納的簡稱，最早由匈牙利數學家羅沙？彼特提出來的。羅沙？彼特曾經問了這樣一個問題：“假如在你面前有煤氣灶、水龍頭、水壺和火柴，現在的任務是要燒水，你應當怎樣去做？”答案是：“在水壺中放上水，點燃煤氣，再把水壺放到煤氣灶上。”羅沙又問：“假如其它條件都不變，只是水壺中已有足夠的水，這時你應該怎么做？”對此，人們往往回答說：“點燃煤氣，再把水壺放在煤氣灶上?！钡?，羅沙認為這不是最好的回答。因為，“只有物理學家才會這樣做，而數學家則會倒去水壺中的水，并且聲稱我已經把后一個問題化歸為先前的問題了?！?/p>

“把水倒掉！”的比喻有點夸張，但它的確表明了數學家思考與解決問題的一個特點：化歸，即將已知問題化成以前已經會的問題。在化歸思想方法指導下，我們常常將不熟悉和難解決的問題轉化為熟知的、易知的、易解的或已經解決的問題；將抽象的問題轉化為具體的、直觀的問題；將復雜的問題轉化為簡單的問題；將一般性的問題轉化為直觀的、特殊的問題；將實際問題轉化為數學問題，使問題得以解決。

化歸在數學解題中幾乎無處不在，如未知向已知轉化，復雜問題向簡單問題轉化，新知識向舊知識的轉化，命題之間的轉化，數與形的轉化，空間向平面的轉化，高維向低維轉化，多元向一元轉化，高次向低次轉化，超越式向代數式的轉化，函數與方程的轉化等，都是轉化思想的體現。化歸的基本功能是：陌生的化成熟悉的，復雜的化成簡單的，抽象的化成直觀的，不會的化成會的。說到底，化歸的實質就是以運動變化發展的觀點，以及事物之間相互聯系、相互制約的觀點看待問題，善于對所要解決的問題進行變換轉化，使問題得以解決。實現這種轉化的方法有：高次的轉化為低次，多元的轉化為一元，空間的的轉換為平面，配方法，整體代人法以及化動為靜，由抽象到具體等轉化思想，這也是辯證唯物主義的基本觀點。

例1 ：雞兔同籠。籠中有頭40，有足140，問雞、兔各有幾只？

分析：化歸的實質是不斷變更問題，這里可以先對已知成分進行變形。每只雞有2只腳，每只兔有4只腳，這是問題中不言而喻的已知成分。現在對問題中的已知成分進行變形：“一聲令下”，要求每只雞懸起一只腳（呈金雞獨立狀），又要求每只兔懸起兩只前腳（呈玉兔拜月狀）。那么，籠中仍有頭40，而腳只剩下70只了，并且，這時雞的頭數與足數相等，而兔的足數與兔的頭數不等。有一只兔，就多出一只腳，現在有頭40，有足70，這就說明有兔30只，有雞10只。

化歸思想教學在中學數學教材中體現得較為寬廣。數學中可以實現化歸的方法很多，會解一元一次方程以后再解二元一次方程組的時候，只需消元把二元化為一元；掌握了三角形內角和是180°以后，要求多邊形內角和只需把多邊形分割成三角形就可以了；空間兩條異面直線所成的角，只須通過作平行線轉化成大家所熟悉的兩相交直線所成的角。又如復雜的三角函數的最值問題有時也可以通過換元轉化為熟悉的二次函數最值問題，再如還可以用三角法解決幾何量的最值問題。

化歸不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的策略。在生活中，我們面對一座郁郁蔥蔥長滿樹木的高山，通往山頂的道路有很多，而我們熟悉的只有一條，這時候把你放在半山腰處，向上有幾條未知的道路，而向下有一條直通山底的道路，這時你的目標是到達山頂，你應該怎么辦？我們常常有很多種選擇，有的人為了省力、省時，向上走去，有些人可以到達山頂，也有些人到不了山頂。有的人為了保險，回到山底，從我們熟悉的道路到達山頂，化歸思想為我們提供了比較穩妥的上山策略。

銘刻于頭腦中的數學精神、數學思維方法和研究方法就是數學素質。數學作為各門科學的重要基礎， 作為人類文明的重要支柱，在很多領域中起著關鍵性的作用。當今社會， 運用數學已成為每一個公民應具備的素質。隨著社會信息反饋的不斷深入， 出現用概率統計方式播報的天氣預報、用圖表表示的工作速度、用正態分布圖表示的生產工藝水平等。作為數學教師， 既要熟悉數學內部的系統結構、知識之間的聯系， 以及數學知識的背景、地位、作用和蘊含的數學文化，也要精通數學的基礎理論知識，加深對數學教材的認識，提高分析教材的能力。還應該具備高一級的數學知識，了解與數學知識有關的擴展內容、數學思想和方法， 拓寬知識領域， 豐富自己的知識儲備， 有比較開闊的數學視野，這樣才能在教學中以發展的眼光設計自己的課堂教學，避免犯科學性錯誤。

化歸思想是中學數學解題的重要思想方法，但并非萬能的方法，即并不是所有的問題都可以通過化歸而得到解決的。化歸思想的成功應用是以“數學發現”為前提的。數學教師不能只停留在化歸的分析，而必須有創新的精神，不斷地進行新的研究，在研究中獲得新的方法和理論。

參考文獻：

[1]張雄，李得虎.數學方法論與解題研究[M].高等教育出版社，2003，（08）.

[2]陳鼎興.數學思維與方法[M].東南大學出版社，2003，（10）.

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（責任編輯 史玉英）