利用對稱求最短距離

楊思偉

曾經有一名學生問過我這樣一個問題：已知有一個圓C： （x-3）2+（y-4）2=5，直線L：5x+3y-10=0 ，點P與圓C的圓心O點關于直線L對稱，N點是X軸上一動點，求 |PN|+|ON|的最小值。向我提出問題的學生運算能力強，但基礎不牢、分析問題的能力較一般。

我看完題后，問他：“你怎么看？有思路嗎？”

“老師，我一點思路也沒有。”

我又問：“你能把圖形畫出來嗎？”

他說：“能。”

說完，他就在草稿紙上將圖1畫了出來。

我問他：“現在有思路了嗎？”

他搖搖頭，我繼續問：“你要求 |PN|+|ON|的最小值，就是求什么？”

“點N到點P的距離加上點N到點O的距離最短。”

“首先得知道什么？”

“點P、O、N的坐標。”

“你現在能求什么？”

“O點和P點的坐標。”

“怎么求？”

“根據圓的方程知道，圓心坐標為（3，4），因為點P與點O關于直線L對稱，可設點P坐標為（x，y），則OP中點的坐標為（，） ，因為OP中點在直線L上，將坐標帶入直線L的方程，整理得到方程①： 5x+3y+7=0，直線L的斜率為 -，因為直線OP與直線L垂直，所以直線OP的斜率與直線L的斜率乘積為 -1，即直線OP的斜率為 ，根據斜率公式得到方程②：= 。將①②聯立方程組，解得 x=-2，y=1，即P點坐標為 （-2，1）。到這我就沒有思路了，我不知道N點坐標為多少時，到點O和點P的距離最短？”

我聽完后，沒有立刻為他解答，而是告訴他：“這個題目咱們先放一放，先來看一道初中的題目。在河兩岸，有A、B兩個生活區，要在河邊建立一個自來水公司，向兩個生活區輸送自來水，建造在哪個位置可以使輸送管道最短？最短距離是多少？”

學生說：“連接AB，最短距離是|AB| 。”

我問：“如果是在河流的一側呢？（如圖2）”

他思考了一會兒，說道：“先做A點關于河流的對稱點 A′，然后連接 A′B，應該建造在與河流的交界處C點， |A′B|是最短距離，如圖3。”

“對，現在回到剛才的題目，有思路了嗎？”

“有了，把P和O看作是兩個生活區，再把X軸看作是河流，先找到點P關于X軸的對稱點P′（-2，-1），連接 P′O，則|P′O|就是|PN|+|ON| 的最小值。利用兩點間距離公式，可以得到 |P′O|= 5，所以|PN|+|ON| 的最小值為 5。這里就不需要求N點坐標了。”

“完全正確。以后再遇到這樣的問題自己能解決了嗎？”

“能。”

“怎么解決？”

“在兩側時，利用兩點之間線段最短進行求解；在一側時，先利用對稱性，找出其中一個的對稱點，然后再利用兩點之間線段最短來求解。”

“總結得非常好。”

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（責任編輯 馮 璐）