組合核函數(shù)多支持向量機的直線電機建模

趙吉文， 汪婭驊， 陳盼盼， 黃健， 劉凱， 謝芳， 張梅

(安徽大學(xué)電氣工程與自動化學(xué)院，安徽合肥 230093)

0 引言

永磁直線同步電動機在數(shù)控機床進給系統(tǒng)中應(yīng)用廣泛［1］，其推力波動直接影響系統(tǒng)的性能指標和機床的加工精確度，為了減少電機諧波對推力波動的影響，可以通過優(yōu)化電機內(nèi)部結(jié)構(gòu)改善電機性能，降低諧波含有量。

直線電機結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題是復(fù)雜的非線性問題，優(yōu)化過程中迭代計算的計算量較大，因此需建立一個快速計算模型，為優(yōu)化過程實時地提供輸出量數(shù)據(jù)［2－3］。文獻［4－6］采用解析法建立電機模型，該模型可以對電機參數(shù)做出假設(shè)，在定性分析方面有較好的優(yōu)勢，但定量計算精確度不高。文獻［7－10］對永磁電機采用有限元法建模，計算精確度較好，但計算效率不高。文獻［11－14］將支持向量機應(yīng)用到電機建模中，單支持向量機具有適應(yīng)性強、推廣能力好等優(yōu)點，但不能實現(xiàn)多目標優(yōu)化。多支持向量機具有多輸入多輸出的性能，可以為直線電機結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計提供較好的模型支持。

本文以U型直線電機為研究對象，有限元模型為計算手段，引入多支持向量機理論，建立電機快速計算模型［15］。在分析各個核函數(shù)優(yōu)缺點的基礎(chǔ)上，綜合應(yīng)用高階多項式核函數(shù)的插值能力和低階多項式核函數(shù)的外推能力，建立一種新的組合核函數(shù)，提高回歸機的泛化能力和學(xué)習(xí)能力。模型采用交叉驗證法選取支持向量機的懲罰參數(shù)C，該方法可以有效避免向量機過學(xué)習(xí)和欠學(xué)習(xí)狀態(tài)的發(fā)生，提高多支持向量機模型的計算精確度［16］。

1 多輸出支持向量機

1.1 單輸出支持向量機

支持向量機回歸問題的實質(zhì)是尋找一個實值函數(shù)f(x)，以求解任一輸入x所對應(yīng)的輸出值y。支持向量機將輸入向量映射到高維特征空間，在高維特征空間中構(gòu)造線性回歸函數(shù)，使模型的結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化［17］。

算法如下:

(1)給定T={(x1，y1)，…，(xl，yl)}∈(Rn×y)l，其中xi∈Rn，yi∈Y=R，i=1，…，l;

(2)選取適當(dāng)?shù)暮撕瘮?shù)K(x，z)以及適當(dāng)?shù)木群蛻土P參數(shù)C＞0

(3)構(gòu)造并求解凸二次規(guī)劃問題

(5)構(gòu)造決策函數(shù)

1.2 多輸出支持向量機

多輸出支持向量機回歸算法是在函數(shù)輸出量y為多維向量的情況下提出的一種SVR算法，其模型的建立是在單支持向量機的基礎(chǔ)上完成，基本思路是:先將一個原始樣本空間拆分成若干個子空間，然后分別在子樣本空間上建立單SVM模型，通過對單支持向量機模型進行數(shù)據(jù)融合，建立多輸出支持向量回歸機。

對于M維輸入，N維輸出的函數(shù)擬合問題，設(shè)訓(xùn)練樣本集:{(xi，yi)}，i=1，2，…，L，其中，xi∈RM，yj∈RN。構(gòu)造回歸函數(shù)如下:

將已知樣本數(shù)據(jù)拆分成m個子樣本數(shù)據(jù)，每個子樣本數(shù)據(jù)均對應(yīng)一個輸出量，建立各輸出量的單支持向量機模型，得到如式(3)所示的m個函數(shù)表達式f(x)。將單SVM函數(shù)表達式代入式(4)中，計算W和B，得到多支持向量機函數(shù)表達式F(x)。根據(jù)結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化原則，對W和B進行尋優(yōu)，將回歸問題轉(zhuǎn)換為約束優(yōu)化問題，即

式中:hi=//ei//，ei=yi－(W，Φ(xi))+B。采用迭代方法求解最小值，并返回到式(4)中，得到最優(yōu)的多輸出回歸函數(shù)。

2 組合核函數(shù)

2.1 核的性質(zhì)

SVM通過引入核函數(shù)將輸入空間的非線性問題轉(zhuǎn)化為線性問題，選擇合適的核函數(shù)，可以將特征空間的內(nèi)積運算(Φ(x)·Φ(y))映射到輸入空間中，轉(zhuǎn)換成向量x，y的內(nèi)積進行運算。核函數(shù)的運算都是封閉的，包括

常用核函數(shù)有多項式核函數(shù)和徑向基核函數(shù)。

2.2 組合核函數(shù)的構(gòu)造

支持向量機模型的性能是由學(xué)習(xí)能力和推廣能力(對未知樣本的預(yù)測能力)兩方面決定的，核函數(shù)直接影響模型的學(xué)習(xí)能力。由插值理論可知，當(dāng)利用插值多項式近似連續(xù)函數(shù)時，低階多項式具有良好的外推能力，高階多項式具有良好的插值能力。因此，為建立一個性能較好的支持向量機模型，使其學(xué)習(xí)能力和推廣能力均能滿足實際需求，充分利用這兩類多項式函數(shù)的優(yōu)點，將兩種函數(shù)進行組合，得到一個既具有較好學(xué)習(xí)能力，又具有較好推廣能力的核函數(shù)。

使用一種已經(jīng)較為成熟的組合核函數(shù)［18］K(x，z)=ρ1(x，z)d－ ρ2//x－y//q+1，其中:d∈N;0＜q≤2;ρ1，ρ2是兩種核函數(shù)各占的比例，一般 ρ1+ρ2=1。

該組合核函數(shù)是在不違背核函數(shù)基本運算原理的基礎(chǔ)上，將高階多項式核函數(shù)和低階多項式核函數(shù)進行權(quán)重組合，其本質(zhì)仍是一個多項式核函數(shù)。經(jīng)實驗，綜合考慮核函數(shù)的局部性和全局性，選用d=2，q=1。

3 電機非參數(shù)模型的建立

3.1 建模數(shù)據(jù)的獲取

圖1所示電機為短初級長次級的雙邊型直線電機，采用空心式線圈結(jié)構(gòu)，電機線性度較高，定子材料為永磁體，磁鋼材料為N48H。

影響電機性能的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)包括永磁體尺寸、線圈尺寸和氣隙尺寸，其中，永磁體尺寸影響電機的轉(zhuǎn)速和功率質(zhì)量比，線圈尺寸反映電流承載能力和電機實際體積，氣隙尺寸直接影響電機推力波動。

建立U型直線電機的有限元模型，并驗證該有限元模型。利用該有限元模型計算實驗所需的測試數(shù)據(jù)，步驟如下:首先選取電機結(jié)構(gòu)參數(shù)的因素水平值，如表1所示，這些值通過正交實驗法，可獲得16個具有代表性的實驗數(shù)據(jù)組合;然后采用隨機實驗法，獲得大批量的實驗數(shù)據(jù)組合，利用有限元模型對各個實驗數(shù)據(jù)組合進行仿真計算和提取，最終得出200組可用于測試的樣本數(shù)據(jù)。

表1 結(jié)構(gòu)因素水平表Table 1 Factor level of structure parameters

表2為樣本數(shù)據(jù)，包括電機的結(jié)構(gòu)參數(shù)和輸出參數(shù)。結(jié)構(gòu)參數(shù)(單位為:mm)包括永磁體長度L、永磁體高度H、氣隙G、線圈長度l、線圈高度h、永磁體間距P、線圈間距p、輸出參數(shù)包括平均推力T/N、電流I/A、效率η/%、空載反電動勢諧波畸變率S/%。

表2 樣本數(shù)據(jù)Table 2 Sample of the motor

3.2 樣本數(shù)據(jù)預(yù)處理

由于樣本數(shù)據(jù)中的7個結(jié)構(gòu)參數(shù)和4個輸出量的數(shù)量級有所差異，為避免交叉驗證法處理數(shù)據(jù)時造成信息淹沒，對數(shù)據(jù)進行歸一化預(yù)處理。采用的歸一化映射為為

將表2中的數(shù)據(jù)歸一化到區(qū)間［0，1］。歸一化的過程在此不做贅述。

3.3 懲罰參數(shù)C的選擇

訓(xùn)練樣本集內(nèi)遠離同類樣本的異常樣本產(chǎn)生很大的Lagrange乘子，影響最優(yōu)回歸函數(shù)。懲罰參數(shù)C作為所有支持向量的上界，限制了Lagrange乘子的大小，控制分類超平面的復(fù)雜性和不可分離點數(shù)之間的平衡。因此，在運算過程中，需要根據(jù)實際情況選擇支持向量的上界C，減少不必要支持向量的數(shù)目，抑制大Lagrange乘子，降低異常樣本對回歸機的影響。

本文采用交叉驗證法選擇懲罰參數(shù)，將原始數(shù)據(jù)分成4組，每個子集數(shù)據(jù)分別充當(dāng)一次驗證集，同時其余3組子集數(shù)據(jù)做為訓(xùn)練集，得到4個模型，將這4個模型驗證準確率的平均數(shù)做為整個樣本集的性能指標。

3.4 核函數(shù)的構(gòu)造

在滿足ρ1+ρ2=1的條件下，進行組合核函數(shù)系數(shù)計算，ρ1，ρ2的取值區(qū)間為［0.1，0.9］。第一步，取步長為0.1，ρ1，依次增大，得到9組核函數(shù)，分別使用9組核函數(shù)建立某一輸出量的單支持向量機模型，用樣本數(shù)據(jù)對9個模型進行精確度檢驗，選擇使模型預(yù)測準確度較高的4組核函數(shù);第二步，用上述4組核函數(shù)建立其他輸出量的單支持向量機模型，檢測各個模型的預(yù)測準確性，選擇使模型精確度較好的2組核函數(shù);第三步，將上述2個核函數(shù)系數(shù)ρ1，值做為取值區(qū)間，取步長為0.01，ρ1，依次增大，重復(fù)步驟一和步驟二，最終選擇一組核函數(shù)，使各輸出量的單支持向量機模型均有較好的預(yù)測能力。

3.5 單輸出SVM模型

選取100組數(shù)據(jù)為訓(xùn)練樣本，100組數(shù)據(jù)為測試樣本，分別建立輸出量與結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的單SVM模型。為保證模型的精確度，利用交叉驗證法選取懲罰參數(shù)C，并求解各個模型的核函數(shù)系數(shù)ρ1，ρ2，四個SVM模型的相關(guān)參數(shù)如表2所示。

表2 單SVM模型參數(shù)Table 2 Parameters of the SVM model

3.6 多支持向量機模型

根據(jù)結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化原則，將建立的單支持向量機模型進行融合計算，分別計算各個模型的W和B，代入公式7，得到多支持向量機函數(shù)F(x)。

表3 SVM模型參數(shù)Table 3 parameters of SVM models

4 實驗分析及模型檢驗

為了檢驗電機多支持向量機模型對電機平均推力值、電流值、電機效率和空載反電動勢諧波畸變率的預(yù)測效果，對模型的準確性和擬合精度進行評估。

4.1 模型檢驗

歸一化處理100組測試數(shù)據(jù)，將電機結(jié)構(gòu)參數(shù)值輸入多支持向量機模型，對輸出量進行預(yù)測，判斷模型預(yù)測值的準確性。從表4可以看出，模型對未知數(shù)據(jù)的預(yù)測準確性約為93%，誤差率在1%以內(nèi)。

圖2 模型預(yù)測結(jié)果Fig.2 Predicting outcomes

表4 多支持向量機模型Table 4 models of mutli－SVMs

4.2 結(jié)果分析

將多支持向量機輸出的4組輸出量預(yù)測值與實際值進行對比，從圖2可以看出，本文建立的模型計算精確度較高，電機輸出量的預(yù)測值和實際值基本一致，誤差范圍為4%左右，模型的計算效率亦可滿足現(xiàn)實需求。

5 結(jié)論

本文采用多支持向量機對直線電機的結(jié)構(gòu)參數(shù)進行建模，通過改進核函數(shù)提高模型的準確度和擬合精度。實驗結(jié)果表明，組合核函數(shù)的外推能力和插值能力可以有效的加強支持向量機的學(xué)習(xí)能力，對不同結(jié)構(gòu)參數(shù)下的輸出量有很好的預(yù)測能力。

利用多支持向量機建立的直線電機模型可以運用于電機內(nèi)部結(jié)構(gòu)優(yōu)化，針對電機各個輸出量的實際環(huán)境要求，綜合考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)的設(shè)置，為最大限度的抑制諧波產(chǎn)生的推力波動提供了一種有效的模型。

［1］葉云岳.直線電機在現(xiàn)代機床業(yè)中的應(yīng)用與發(fā)展［J］.電機技術(shù)，2010，1(3):1－5.

YE Yunyue.Application and development of the linear motor in the modern machine tool industry［J］.Electrical Machinery Technology，2010，1(3):1－5.

［2］陳衛(wèi)寶，范承志，葉云岳.圓筒永磁直線電機齒槽力綜合優(yōu)化［J］.哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報，2011，32(7):943－947.

CHEN Weibao，F(xiàn)AN Chengzhi，YE Yunyue.Comprehensive optimization of the cogging force of a tubular permanent magnet linear motor［J］.Journal of Harbin Engineering University，2011，32(7):943－947.

［3］羅宏浩，吳峻，常文森.動磁式永磁無刷直流直線電機的齒槽力最小化［J］.中國電機工程學(xué)報，2007，27(6):12－16.

LUO Honghao，WU Jun，CHANG Wensen.Minimization of cogging force in moving magnet type PMBLDCLM［J］.Proceedings of the CSEE，2007，27(6):12－16.

［4］Isfahani A H，Ebrahimi B M.Design optimization of a low-speed single-sided linear induction motor for improved efficiency and power factor［J］.IEEE Transactions on Magnetics，2008，1(2):266－272.

［5］朱莉，姜淑忠，諸自強，等.表面式永磁電機齒槽轉(zhuǎn)矩解析模型比較［J］.微電機，2010，43(1):10－15.

ZHU Li，JIANG Shuzhong，ZHU Ziqiang，et al.Comparison alternate analytical models for prediction cogging torque in surfacemounted permanent magnet machine［J］，Micromotors，2010，43(1):10－15.

［6］李琛，章躍進，仇志堅.無軸承交替極永磁電機空載氣隙磁場全局解析模型［J］.電工技術(shù)學(xué)報，2012，27(11):104－110.

LI Chen，ZHANG Yuejin，QIU Zhijian.Exact analytical model for the no-load air-gap magnetic field calculation in consequent-pole permanent magnet bearingless motor［J］.Transactions of China Electrotechnical Society，2012，27(11):104－110.

［7］張磊，李立博.淺談磁通切換型軸向磁場永磁電機有限元計算［J］.微特電機，2011，1(10):4－6.

ZHANG Lei，LI Libo.Brief discussion on finite element calculation of axial field flux-switching permanent magnet machines［J］.Small＆Special Electrical Machines，2011，1(10):4－6.

［8］張磊，林明耀，李鑫.永磁電機外漏磁場有限元處理方法［J］.防爆電機，2009，44(4):24－28.

ZHANG Lei，LIN Mingyao，LI Xin..Finite element processing method to the peripheral leakage magnetic field of PM machine［J］.Explosion-Proof Electric Machine，2009，44(4):24－28.

［9］朱熀秋，張濤.無軸承永磁同步電機有限元分析［J］.中國電機工程學(xué)報，2006，26(3):136－140.

ZHU Huangqiu，ZHANG Tao.Finite element analysis for bearingless permanent magnet-type synchronous motors［J］.Proceedings of the CSEE，2006，26(3):136－140.

［10］Dong-YeuP Lee，Chun-Gil Jung，Kang-Jun Yoon.A study on the efficiency optimum design of a Permanent magnet type linear synchronous motor［J］.IEEE Transactions on Magnetics，2005，1(5):1860－1863.

［11］宋建成，鄭建斌，張宏達.開關(guān)磁阻電機的最小二乘支持向量機建模與仿真［J］.電機與控制學(xué)報，2010，14(5):32－36.

SONG Jiancheng，ZHENG Jianbin，ZHANG Hongda.Modeling and simulation for switched reluctance motor based on least squares support vector machine［J］.Electric Machines and Control，2010，14(5):32－36.

［12］趙吉文，劉永斌，蘇亞輝，等.新型直線電機支持向量機非線性建模研究［J］.光學(xué)精密工程，2006，14(3):450－455.

ZHAO Jiwen，LIU Yongbin，SU Yahu，et al.Research on SVM model of a novel cylinder linear motor［J］.Optics and Precision Engineering，2006，14(3):450－455.

［13］李娜，劉明光，楊罡.基于最小二乘支持向量機的直流牽引電機建模［J］.系統(tǒng)仿真學(xué)報，2011，23(7):1502－1506.

LI Na，LIU Mingguang，YANG Gang.DC traction motors model based on LS-SVM［J］.Journal of System Simulation，2011，23(7):1502－1506.

［14］夏長亮，賀子鳴，周亞娜，等.基于支持向量機的開關(guān)磁阻電機轉(zhuǎn)子位置估計［J］.電工技術(shù)學(xué)報，2007，22(10):12－17.

XIA Changliang，HE Ziming，ZHOU Yana，et al.Rotor position estimation for switched reluctance motors based on support vector machine［J］.Transactions of China Electrotechnical Society，2007，22(10):12－17.

［15］于金濤，丁明理，王祁.基于多輸出支持向量回歸的聲發(fā)射源平面定位［J］.儀器儀表學(xué)報，2001，25(7):18－22.

YU Jintao，DING Mingli，WANG Qi.Planar location of acoustic emission source based on multi-output support vector regression［J］.Chinese Journal of Scientific Instrument，2011，32(9):2139－2145.

［16］丁常富，王亮.基于交叉驗證法的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在汽輪機故障診斷中的應(yīng)用［J］.電力科學(xué)與工程，2008，24(3):31－34.

DIN Changfu，WANG Liang.BP neural network application in turbine fault diagnosis based on the cross-validation［J］.Electric Power Science and Engineering，2008，24(3):31－34.

［17］鄧乃揚，田英杰.支持向量機:理論、算法與拓展［M］.北京:科學(xué)出版社，2009:97－105.

［18］孔銳，施澤生，郭立，等.利用組合核函數(shù)提高核主分量分析的性能［J］.中國圖象圖形學(xué)報，2004，9(1):40－45.

KONG Rui，SHI Zesheng，GUO Li，et al.Improving performance of kernel principal component analysis using combination kernel functions［J］.Journal of Image and Graphics，2004，9(1):40－45.