區域圖案的周期性

●李世杰 (衢州市教育局教研室 浙江衢州 324002) ●李 盛 (衢州市第一中學 浙江衢州 324000)

區域圖案的周期性

●李世杰 (衢州市教育局教研室 浙江衢州 324002) ●李 盛 (衢州市第一中學 浙江衢州 324000)

1 問題的提出

人行道上鑲嵌的地磚，是用一些形狀、大小完全相同的一種或幾種地磚進行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊鋪成的，給我們整塊區域周而復始的感覺.因此，研究平面圖案是否具有周期性，是有現實意義的.

2 周期區域和方向周期的定義

類比函數的周期性，我們給出周期區域和方向周期的定義：

周期區域對于區域f(x)≥0(或≤，＜，＞，=之一)，如果存在一個非零常向量T=(T1，T2)，使得當x取定義域D(?R2)內的每一個值時，都有f(x+T)=f(x)，那么區域f(x)≥0(或≤，＜，＞，=之一)叫做周期區域，非零常向量T叫做這個區域的周期.

如果在所有的周期中存在一個模最小的非零常向量T，那么這個周期就叫做最短模周期.

方向周期在平面上，若 f(x+T1，y)=f(x，y)，x∈E 或 f(x，y+T2)=f(x，y)，y∈G，則分別稱區域 f(x，y)≥0(或≤，＜，＞，=之一)為 x，y方向的周期區域(簡稱周期域)，稱T1，T2分別是區域f(x，y)≥0(或≤，＜，＞，=之一)x，y方向的橫向周期和縱向周期.

在區域的某一方向，如果在所有的方向周期中存在一個最小的正數，那么這個最小的正數就叫做橫向或縱向最小正周期，簡稱最小正周期.

需要指出的是，區域的周期和區域的方向周期不是完全一致的.

(1)如果T1是區域 f(x，y)≥0(或≤，＜，＞，=之一)的橫向周期，則(T1，0)是區域 f(x，y)≥0(或≤，＜，＞，=之一)的一個周期;如果T2是區域f(x，y)≥0(或≤，＞，＜，=之一)的縱向周期，則(0，T2)是區域 f(x，y)≥0(或≤，＜，＞，=之一)的一個周期.如果 T1，T2同時是區域 f(x，y)≥0(或≤，＜，＞，=之一)的橫向周期和縱向周期，則(T1，T2)是區域 f(x，y)≥0(或≤，＜，＞，=之一)的一個周期.

(2)當非零常向量 T=(T1，T2)是區域 f(x，y)≥0的一個周期時，T1，T2不一定是區域 f(x，y)≥0的橫向周期和縱向周期，即當f(x+T1，y+T2)=f(x，y)時，f(x+T1，y)=f(x，y)，f(x，y+T2)=f(x，y)不一定恒成立.

3 周期區域的性質

周期區域在自然界是客觀存在的.如果我們能確定一個區域具有周期性，那么只要研究一個周期內的區域圖案的特性，就能用有限探究無限，推知整個區域也具備這些特性.

根據周期區域的定義，我們可推出周期區域的一系列性質：

(1)若T是區域D的一個周期，則k·T(k∈N*)都是區域D的周期.

若T是區域D的一個周期，由于

則k·T(k∈N*)都是區域D的周期.

但要注意：k·T(k≠0，k∈Z)不一定是區域D的周期，如函數f(x)=sinx(x∈R+)只有x軸方向的正周期 T=2kπ(k∈N*)，沒有負周期;函數f(x)=cosx，x∈( －∞，0)，只有 x軸方向的負周期T=2kπ(k∈CZN)，沒有正周期.

(2)不是每一個周期區域都有最短模周期.

如函數f(x)=1(x∈R)，所有正數都是f(x)在x方向的周期，但正數集中沒有最小數，因此函數f(x)=1(x∈R)是周期函數，但沒有x方向的最小正周期;又如函數

容易證明：任意有理數對(T1，T2)都是它的周期，但正有理數集中沒有最小數，從而相應的周期區域也沒有最短模周期.

(3)周期區域縱向或橫向(至少一端)無界.

若區域f(x)≥0(或≤，＜，＞，=之一)是 D(?R2)上的周期區域，則對任意的n∈N*，f(x+nT)=f(x)，當n→∞時，由于T≠0，因此x+nT縱向或橫向(至少一端)無界.

推論僅僅在有限個點上沒有定義的區域一定是非周期區域.

(4)如果f(x，y)有2個獨立的方向周期，就一定有無數多個方向周期.

如果T1是區域f(x，y)≥0(或≤，＜，＞，=之一)的橫向周期，則 nT1(n∈N*)都是區域 f(x，y)≥0(或≤，＜，＞，=之一)的橫向周期;如果T2是區域f(x，y)≥0(或≤，＜，＞，=之一)的縱向周期，則mT2(m∈N*)都是區域 f(x，y)≥0(或≤，＜，＞，=之一)的縱向周期.如果T1，T2同時是區域f(x，y)≥0(或≤，＜，＞，=之一)的橫向周期和縱向周期，則(nT1，mT2)都是區域 f(x，y)≥0(或≤，＜，＞，=之一)的周期.

(5)如果 T1≠0，T=(T1，T2)是區域 f(x，y)≥0的一個周期，則在直線方向，f(x，y)以為周期.

可見性態好的區域，可以同時具有多個方向的方向周期.

4 周期區域的判斷

圖1

相應區域圖案在x軸方向正分周期最小為2，且y軸方向正分周期最小為1，在一個周期內畫出圖案為矩形閉區域：0≤x≤2，0≤y≤1，作周期延拓即可得方程的區域圖案如圖1所示.

例2判斷由不等式|y|≤2－2|sinx|約束的區域圖案的周期性.

故所給不等式|y|≤2－2|sinx|約束的區域是周期區域，一個周期是(π，0)或橫向周期為π.

注作曲線|y|=2－2|sinx|的圖案如圖2所示，是周期曲邊菱形.

圖2

相應地，所給不等式|y|≤2－2|sinx|約束的區域是如圖3所示的周期曲邊菱形閉區域圖案：

圖3

例3判斷數陣{(x，y)|x=n，y=2m，n，m∈N}的周期性.

解記 g(x，y)={(x，y)|x=n，y=2m，n，m∈N}，容易驗證同時滿足

可見所給數陣是周期數陣，說明同時擁有2個垂直的方向周期：x軸方向最小正周期為1，y軸方向最小正周期為2，在直線y=2x方向最小正周期為

注g(x，y)有2個獨立的方向周期，就一定有無數多個方向周期.例3中n，2m分別是g(x，y)的方向周期，則都是 g(x，y)的方向周期.

例4判斷由方程1+siny=|sinx|+|cosx|約束的區域圖案的周期性.

解由于容易得知：題給方程約束的區域圖案最小的橫向正周期為π，最小的縱向正周期為2π.故區域圖案的最短模周期是(π，2π).

例5判斷由不等式|y|≤2|sinx|－1約束的區域圖案的周期性.

解曲線|y|=2|sinx|－1約束的圖案是一個曲邊菱形與一個金魚形交替的周期圖案(如圖4).

圖4

相應的不等式給出的是金魚形閉區域|y|≤2|sinx|－1的周期圖案(如圖5).

圖5

注交替出現的菱形閉區域由不等式2|sinx|－1≤|y|≤1約束.

例6判斷由不等式sin|y|≤sin|x|約束的區域圖案的周期性.

分析根據文獻［1］，知函數 u=sin|x|不是周期函數，可猜想由不等式sin|y|≤sin|x|約束的區域圖案也不是周期區域.下面用反證法證明.

證明如果由不等式sin|y|≤sin|x|約束的區域圖案是周期區域，則存在非零向量(T1，T2)，對任意的實數對(x，y)，

恒成立.令 x=y=0，得

再令 x= － T1，y=0，得

聯立式(2)，式(3)得

因此 T1=kπ，T2=pπ，k，p∈Z，但 kp≠0.再令 x=0，由式(1)得

根據文獻［1］，T2不存在.故假設不真，由不等式sin|y|≤sin|x|約束的區域圖案不是周期區域.

注一般地，非周期區域的判定可用反證法，如本例.

應用方程或不等式刻畫的周期區域，可以得到各種各樣的數學花紋和數學圖案.而且一些周期區域的圖案十分優美.最后需要指出的是，我們定義的周期區域是廣義的周期區域，本文只是初步研究了具有良好性態且周而復始的理想的周期區域.對于特殊情況的一些個例，文獻［1］中已作過論述，這里不再展開討論.

［1］李世杰.周期函數論［M］.杭州：浙江大學出版社，2005.

［2］李世杰，李盛.函數元不等式的理論及其應用［M］.杭州：浙江大學出版社，2011.

［3］李世杰.周期函數和周期數列［M］.杭州：浙江大學出版社，2008.

［4］李世杰，李盛.平面區域的對稱性［J］.中學教研(數學)，2013(1)：26-30.