少齒差行星減速器振動特性仿真與實驗研究

石 珍，王家序，肖 科，李俊陽，官 浩

（重慶大學 機械傳動國家重點實驗室，重慶 400030）

空間傳動件因運行環境復雜惡劣，其使用可靠性及在軌壽命已成影響航天器在軌時間長短關鍵因素［1］。為適應航天器發展、滿足其性能需求，新型少齒差行星齒輪傳動件即濾波減速器應運而生［2］。少齒差內嚙合行星齒輪傳動形式具有傳動比范圍大、傳動效率高、體積小、結構緊湊等特點，而齒輪傳動的振動特性成關注重點［3－5］。影響齒輪嚙合傳動因素較多，如齒輪剛度，齒側間隙等非線性因素，純剛性分析方式往往忽略非線性因素干擾導致分析不準確。基于多體動力學理論及遲滯接觸動力學方法［6－8］，采用剛柔耦合齒輪三維接觸動力學模型的分析方法得到廣泛應用［9－10］。而齒輪嚙合過程中受到包括嚙合剛度激勵、誤差激勵、嚙合沖擊激勵等輪齒嚙合內部動態激勵影響，計算齒輪裝置固有頻率及振型，綜合考慮內外部激勵成研究齒輪裝置振動特性關鍵［11－12］。

本文以新型少齒差行星齒輪傳動件為研究對象，考慮齒輪時變嚙合剛度、輪齒變形等因素影響，建立剛柔耦合三維動力學模型，利用多體動力學相關理論，以振動加速度為表征方式對減速器加載不同轉速、不同形式激勵。用三維仿真與實驗測試結合測定其多種工況振動響應頻譜，為進一步改善新型少齒差行星齒輪傳動件結構、性能提供依據。

1 減速器傳動原理

少齒差行星減速器裝配結構見圖1，主要由偏心軸1、固定齒輪3、雙聯齒輪（外齒輪2、4一體化結構）及輸出齒輪5組成。工作原理為：偏心軸1兩端支持軸承幾何中心與固定齒輪3中心重合，且偏心軸1偏心外圓中心與固定齒輪3中心存在一定偏心；當偏心軸1繞其幾何中心轉動時，迫使雙聯齒輪既繞自身幾何中心自轉又繞固定齒輪3幾何中心公轉；利用外齒輪2與固定齒輪3及外齒輪4與輸出齒輪5的兩對少齒差內嚙合實現大減速比。行星減速器相關齒輪參數見表1。

圖1 行星減速器結構圖Fig.1 Structural diagram of the planetary reducer

表1 行星減速器齒輪參數Tab.1 Gear parameters of the planetary reducer

2 動力學分析

2.1 齒輪系統非線性動力學

在齒輪系統非線性動力學基礎上據其運動方程建立齒輪系統非線性扭轉振動模型見圖2。

圖2 齒輪嚙合動力學模型Fig.2 Dynamic model of gear mesh

據牛頓定律得齒輪系統非線性動力學模型為

式中：Ip，θg，Rp，Tp分別為主動輪轉動慣量、扭轉振動位移、基圓半徑、外力矩；Ig，θg，Rg，Tg分別為被動輪轉動慣量、扭轉振動位移、基圓半徑、外力矩；K（t）為齒輪時變嚙合剛度；e（t）為齒輪傳動誤差；C為齒輪嚙合阻尼；f（θ）為有齒側間隙時齒輪嚙合力對應的非線性函數。

2.2 剛柔耦合多體動力學

為求解耦合虛擬樣機模型振動特性，需先求解柔性體模態，用 CraigBampton模態綜合法據 CraigBampton模態綜合理論用模態展開法建立模態矩陣為

3.1 虛擬樣機模型建立

用Solidworks軟件建立三維減速器裝配體模型，導入Virtual.Lab軟件中用Motion功能模塊進行多體動力學分析［13－14］。在Motion中定義固定齒輪與大地固定連接特性，對其它各部件間定義正確的相對運動關系并施加約束，見表2。通過在Revolute Joint 3上添加RSDA力實現負載力矩加載，添加力矩值為80 N·m，在Revolute Joint 1上添加運動驅動Joint Position Driver 1，通過在Joint Position Driver 1上改變轉速大小實現不同工況。據減速器實際工況計算值獲得虛擬樣機中模擬輸入軸承的Spherical Bushing1球軸承剛度為9.73×107N／m，阻尼為 2.21×104kg／s；模擬轉臂軸承的Spherical Bushing2球軸承剛度為1.33×108N／m，阻尼為2.11×104kg／s；模擬輸出軸承的 Spherical Bushing3球軸承剛度為8.47×107N／m，阻尼為2.31×104kg／s。

通過定義建立剛性減速器齒輪系統非線性振動虛擬樣機模型見圖3（a）。采用自由網格劃分方法，選四面體單元在滿足分析要求及網格質量控制條件下對固定齒輪進行柔性化，網格劃分得64 336個單元，形成耦

式中：ΦIN為主模態矩陣；ΦIC為約束模態矩陣；I，0分別為單位陣、零矩陣；M＾，K＾分別為轉換后與新坐標對應的廣義質量陣、剛度陣；fl，fB分別為固有模態力、約束模態力；f（Θ，t）為固有模態力、約束模態力函數；Θ為多體運動系統狀態變量。

子宮切口憩室在婦產科存在有極高的發生率,對產婦產后健康造成較為嚴重影響,促使其生活質量持續下滑。手術治療已成為該癥最為主要的臨床處理方式。

將模態矩陣Φ進行正則化轉換后代回剛柔耦合運動系統建立Lagrange方程，采用BDF算法可獲得耦合運動系統解。

3 虛擬樣機模型建立與驗證

合模型見圖3（b）。

表2 各構件間約束關系Tab.2 Constraint relation between various components

圖3 虛擬樣機模型Fig.3 Virtual prototype model

3.2 虛擬樣機模型驗證方法

檢驗與判斷虛擬樣機模型與仿真結果準確性方法有將仿真數據與理論值比較或與實際模型實驗數據比較等，比較數據應在保證實際模型與仿真虛擬樣機模型相同條件下獲得［15－16］。本文用動態關聯法對虛擬樣機模型進行驗證。動態關聯法包括THEIL不等式法、灰色關聯度法等為定性的模型評價方法，可通過計算2個序列誤差給出度量2個時間序列一致性程度性能指標。THEIL不等式系數對單輸出時間序列定義為

式中：xt為實際模型時間序列；yt為仿真系統仿真運行時間序列。

xt與yt的灰色關聯系數為

式中：ξ∈（0，1）為分辨系數，ξ根據模型具體情況取值，一般取值區間［0，1］或［0，0.5］。對取定的 ξ，ρt越大，xt與yt的關聯程度越大。

定義灰色關聯度為

式中：pt為斷面評價因子t的超標倍數當取定分辨系數ξ較小時，所得r較大（r≥0.5），則認為仿真輸出與參考輸出相關性較強。

3.3 虛擬樣機模型驗證

對虛擬樣機模型中旋轉副Revolute Joint1施加2 000 r／min恒定轉速，據減速器理論傳動比i＝－80，計算得輸出齒輪理論轉速為－25 r／min。圖4為輸出齒輪仿真轉速曲線。在仿真結果數據中隨機選10個值作為仿真時間序列并與實測參數理論計算恒定值比較，對應關系見表3。據表3數據用THEIL不等式計算得系數u≈0，由此減速器虛擬樣機模型的準確性得以驗證。

表3 理論與仿真結果時間序列對照Tab.3 Comparison of time sequence of theory and simulation results

圖4 輸出齒輪的轉速Fig.4 Rotate speed of the output gear

4 減速器振動特性仿真

為研究減速器不同轉速條件的振動特性，仿真模型不僅考慮齒輪時變嚙合剛度、輪齒變形，且考慮偏心軸彎曲變形及不平衡慣性力等影響。設仿真速度為300 r／min、600 r／min、1200 r／min、2000 r／min，仿真時間為0.5 s，仿真步長 1×10－4s，用 BDF算法，仿真結果見表4、圖5～圖10。圖5為不同轉速的減速器固定齒輪應力。由圖5可知，隨轉速的增加固定齒輪最大等效應力先保持不變后稍微增加。仿真結果表明轉速對減速器部件應力有一定影響，但不大。

表4 嚙合力仿真值與理論計算值對比Tab.4 Meshing force value comparative of simulation and theoretical calculation

圖6為減速器在轉速1 200 r／min時輸出齒輪與雙聯齒輪X、Y兩方向嚙合力，表4為嚙合力仿真值與理論值對比。由圖6看出，嚙合齒輪嚙合力在靜態力左右上下波動，主要為減速器在動態運動過程中受偏心力、不平衡慣性力、變嚙合剛度、輪齒變形影響，使嚙合力上下波動。由表4知，仿真值與理論值誤差較小，仿真具有一定可靠性。

圖5 不同轉速下固定齒輪最大等效應力Fig.5 Fixed gear max equivalent stress at different rotate speed

圖6 1 200 r／min時輸出齒輪與雙聯齒輪嚙合力Fig.6 Meshing force of output gear and double gear at 1 200 r／min

圖7 600 r／min時節點32 023各向振動加速度位移及頻譜Fig.7 Vibration acceleration displacement and frequency spectrum of node 32 023 at 600 r／min

對固定齒輪柔性化后選節點32 023分析振動特性。圖7為600 r／min固定齒輪節點32 023的振動加速度位移及頻譜，。由圖7看出，徑向X、Y向振動加速度位移、頻率幅值大于軸向Z向振動加速度，仿真結果表明減速器整體徑向振動較軸向大。

圖8、圖 9、圖 10分別為轉速 300 r／min、1 200 r／min、2 000 r／min時節點32 023 X向振動加速度位移及頻譜。仿真響應結果在某些時間點出現較大加速度響應幅值，表明減速器運動過程中存在少量沖擊性幅值，主要因偏心軸偏心運動對輪齒嚙合沖擊及滾珠沖擊。由圖7～圖10知，隨轉速的提高，減速器部件振動加速度位移及頻譜幅值增大即振動加大，造成沖擊幅值越多。因此，轉速提高偏心軸偏心運動越明顯，偏心軸對輪齒嚙合沖擊與滾珠沖擊加大，減速器振動加劇，沖擊幅值增大。

圖8 300 r／min節點32 023 X向振動加速度位移及頻譜Fig.8 X－direction vibration acceleration displacement and frequency spectrum of node 32 023 at 300 r／min

圖9 1 200 r／min節點32 023 X向振動加速度位移及頻譜Fig.9 X－direction vibration acceleration displacement and frequency spectrum of node 32 023 at 1 200 r／min

圖10 2 000 r／min節點32 023 X向振動加速度位移及頻譜Fig.10 X－direction vibration acceleration displacement and frequency spectrum of node 32 023 at 2 000 r／min

5 減速器振動測試

5.1 振動測試方法與測試設備

據國標GB8543－1987規定對減速器固定齒輪表面振動進行測試。齒輪裝置振動響應測試主要用加速度傳感器測量加速度振動信號，經放大器后進入智能信號采集處理分析儀，對采集數據記錄及分析。本次試驗用北京東方振動和噪聲技術研究所的INV3018C型24位智能信號采集處理分析儀、INV9832 ICP型三向加速度傳感器、INV1841A型電荷調理儀等設備及DASP V10專業版信號處理、分析軟件。行星減速器振動測試見圖11。

圖11 行星減速器振動試驗臺Fig.11 Vibration test stand for the planetary reduce

5.2 減速器齒輪裝置測點布置

在減速器固定齒輪上布置8個測量點，測點布置如圖12所示，測點1、3、5、7均布在固定齒輪圓周面測量減速器三個方向的振動。測點2、4、6、8均布在固定齒輪大端面測量減速器三個方向的振動。

5.3 減速器振動測試結果

減速器測試工況輸入轉速為 300 r／min、600 r／min、1 200 r／min、2 000 r／min，測試 8點三方向振動加速度，并以平均值為測試值。轉速600 r／min減速器振動加速度見圖 13，轉速為 300 r／min、1 200 r／min、2 000 r／min時減速器X方向振動加速度分別見圖14、圖15、圖16，不同轉速的減速器振動加速度仿真與實驗值均方根值即有效值見表5。

圖12 測點布置Fig.12 Arrangement of measuring points

表5 不同轉速仿真與實驗有效值對比Tab.5 Comparative analysis of simulation and experimental RMS under different rotational speeds

圖13 600 r／min時測試振動加速度位移及頻譜Fig.13 Test vibration acceleration displacement and frequency spectrum at 600 r／min

圖14 300 r／min時X方向振動加速度位移及頻譜Fig.14 X－direction test vibration acceleration displacement and frequency spectrum at 300 r／min

圖15 1 200 r／min X方向振動加速度位移及頻譜Fig.15 X－direction test vibration acceleration displacement and frequency spectrum at 1 200 r／min

圖16 2 000 r／min X方向振動加速度位移及頻譜Fig.16 X－direction test vibration acceleration displacement and frequency spectrum at 2 000 r／min

由圖9、圖15看出，仿真加速度峰值頻率出現在210 Hz及1 515 Hz，與實驗加速器出現的峰值頻率214.8 Hz及1 520 Hz較接近，且對應振動加速度峰值0.542 5、0.871 4 m／s2及 0.592 5、0.737 3 m／s2也較相近。表5中不同工況仿真與振動加速度有效值最大誤差7.66%，總體誤差較小。由圖13～圖16及表5看出，減速器固定齒輪實驗所測振動加速度與動力學仿真結果吻合度較高，達到預期研究效果。

6 結 論

（1）建立包括雙聯齒輪、輸出齒輪、固定齒輪、偏心軸等組成的整個少齒差行星減速器多體動力學非線性振動模型，利用動態關聯法對動力學虛擬樣機模型進行驗證。

（2）考慮齒輪時變嚙合剛度、輪齒變形、偏心軸彎曲變形及不平衡慣性力情況計算減速器不同轉速的等效應力及動態響應。

（3）對減速器振動加速度進行測試。減速器動力學仿真分析及測試結果表明，動態仿真分析結果與測試值基本吻合。轉速對減速器部件應力影響很小，對減速器振動影響較大，且減速器整體徑向振動較軸向大。隨轉速提高，偏心軸偏心運動越明顯，偏心軸對輪齒嚙合沖擊、滾珠沖擊加大，減速器振動加劇，沖擊幅值增大。

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