列車－橋梁－汽車耦合振動仿真分析

陳上有，路 萍，劉 高，夏 禾

（1.中交公路規劃設計院有限公司，北京 100088；2.中交公路長大橋建設國家工程研究中心有限公司，北京 100088；3.中交水運規劃設計院有限公司，北京 100007；4.北京交通大學 土木建筑工程學院，北京 100044）

隨鐵路的高速化、重載化，對列車與橋梁動力相互作用已有大量研究，建立不同的力學分析模型，研究成果已用于工程實踐［1－8］。而特大跨徑公路橋的車－橋耦合振動頗受關注，尤其強風作用的汽車－橋梁耦合振動研究較多［9－11］。針對跨江、河公軌、公鐵兩用橋梁，已開展跨座式輕軌車與汽車同時作用的公軌兩用特大橋梁動力響應及行車舒適性研究［12－13］。而進行公鐵兩用橋梁的車－橋耦合振動仿真分析時，汽車通常采用靜軸重加載計及其影響［14］，將汽車視為動力子系統的文獻極少［15］。顯然，考慮汽車與橋梁的動力耦合效應更符合實際，利于準確評價列車、汽車的運行安全性及舒適性。

基于此，本文視汽車為動力子系統，同時考慮列車子系統與橋梁子系統、汽車子系統與橋梁子系統間的相互作用，建立列車－橋梁－汽車耦合振動分析模型，推導系統運動方程，編制仿真分析軟件，并用該軟件對某公鐵兩用橋進行列車－橋梁－汽車耦合振動仿真分析。為公鐵（軌）兩用橋梁車－橋耦合振動仿真分析提供借鑒。

1 列車－橋梁－汽車耦合系統

1.1 列車車輛模型

二系懸掛的單節車輛模型由1個車體、2臺轉向架、4個輪對組成。每個車體有橫擺Yc、沉浮Zc、側滾θc、點頭φc及搖頭ψc5個自由度；每臺轉向架有橫擺Yt、沉浮 Zt、側滾 θt、點頭 φt及搖頭 ψt5個自由度；每個輪對有橫擺Yw、沉浮Zw、側滾θw及搖頭ψw4個自由度。車體與前后轉向架之間、轉向架與各輪對之間由線性彈簧及粘滯阻尼器相連。單節車輛動力分析模型見圖1。列車子系統運動方程可表示為

式中：Mc，Cc，Kc，Xc分別為列車子系統總體質量、阻尼、剛度矩陣及位移向量；Fc為列車子系統所受外力向量。

由于忽略各節車間相互作用力，上述各動力矩陣可由各節車輛的動力矩陣以對角線排列方式組成。單節車輛質量、阻尼、剛度矩陣可據Lagrange方程求得。

圖1 列車車輛動力模型Fig.1 Dynamic model of train vehicle

1.2 汽車車輛模型

汽車車輛通常有三軸六輪及兩軸四輪。三軸車輛動力分析模型由1個車體與6個車輪組成，見圖2。車體有橫擺 Yv、沉浮 Zv、側滾 θv、搖頭 ψv及點頭 φv5個自由度，每個車輪有橫擺Ys、沉浮Zs2個自由度。兩軸四輪車輛可在三軸六輪車輛基礎上通過刪去多余自由度獲得。

圖2 汽車車輛動力模型Fig.2 Dynamic model of road vehicle

汽車子系統運動方程可表示為

式中：Mv，Cv，Kv，Xv分別為汽車子系統的總體質量、矩陣、剛度矩陣及位移向量；Fv為汽車子系統所受外力向量。

由于各汽車車輛間無相互作用，各動力矩陣可由各車輛的動力矩陣以對角線排列方式組成。單輛汽車車輛質量、阻尼、剛度矩陣可據Lagrange方程求得。

1.3 橋梁有限元模型

橋梁采用有限單元方法模擬，橋梁子系統動力方程可表示為

式中：Mb，Cb，Kb，Xb分別為橋梁子系統的總體質量、阻尼、剛度矩陣及位移向量；Fb為橋梁子系統所受外力向量。

1.4 軌道不平順與橋梁不平順

軌道不平順為軌道左、右軌中心點與理論位置的距離。軌道不平順作為系統激勵輸入可按軌道不平順譜模擬的隨機函數，也可據實測軌道不平順值。橋面不平順也是如此。本文軌道、橋面不平順值按不平順譜用諧波合成法模擬生成。

1.5 列車車輛輪軌接觸模型

輪軌間豎向作用力由密貼理論確定，橫向作用力由Kalker蠕滑理論確定，輪軌間相互作用力作用于左右輪軌接觸點。輪軌間相互作用關系見圖3。

圖3 輪軌間相互作用關系Fig.3 Wheelrail interaction diagram

由輪軌位移協調關系，輪軸中心豎向位移Zbcijl及輪軸扭轉角θbcijl與橋梁子系統位移關系表示為

式中：下標ijlk表示第i節車第j個轉向架第l個輪對第k（k＝1或2，1表示右、2表示左）側（下同）；下標 c表示列車；下標b表示橋梁（下同）；rzijl1，rzijl2為右、左接觸點處軌道不平順；Tz，Tθ為橋梁豎向、扭轉位移對應的形函數向量；g0為軌距。

據輪對受力平衡，輪軌間豎向作用力FZijlIk及輪對、轉向架之間的豎向作用力FZijlUk關系可表示為

式中：d1為車輛軸矩之半；b1為一系懸掛橫向跨矩之半；ηjl為輪對位置函數（ηj1＝1，ηj2＝－1）；ζk為接觸點位置函數（ζ1＝1，ζ2＝－1）；mw，Iθw為輪對質量及質量慣性矩；Gc為靜輪重；k1Zij，c1Z

ij分別為一系懸掛豎向彈簧剛度及阻尼。

式中：f11，f22，f23，f33為蠕滑系數；v為列車運行速度；Y·bcijl為輪軌左右接觸點位置橋梁橫向速度附加不平順變化速度。

為提高模型求解效率，設：① 輪軌接觸點處輪對踏面為1∶20的圓錐面，輪軌接觸點在軌頭區域，此區域鋼軌為半徑300 mm圓柱體［16］；② 以靜軸重作為輪軌間法向力確定蠕滑系數［17］。據上述假設，蠕滑系數對給定半徑的輪對而言為常數，此時車－橋耦合系統可處理為線性系統。此簡化對橋梁動力學分析影響不大。由于無法考慮輪軌間可能的動態脫離，會影響極端工況下列車輪重減載率、脫軌系數等安全性指標，應引起注意。

1.6 汽車車輛與橋面接觸模型

設汽車車輪與公路橋面間為點接觸且不分離，則該接觸點的橫向位移Ybvijlk及豎向位移Zbvijlk與橋梁子系統位移關系可表示為

式中：T為橋梁位移形函數向量；rYijlk為橋面不平順；下標Y，Z代表橫向、豎向。

汽車車輪與橋面間相互作用力可表示為

式中，，為輪胎與路面接觸的豎向、橫向彈性系數及阻尼；Gv為汽車車輪靜軸重。

1.7 列車－橋梁－汽車耦合運動方程及數值求解

將列車、橋梁及汽車子系統運動方程聯立，可得列車－橋梁－汽車耦合運動方程。為方便求解，據各子系統間相互作用關系刪去非獨立自由度，并將力向量中含車輛或橋梁動力響應項移至方程左邊，右端力向量只保留與軌道、橋面不平順及車輛、橋梁常參數相關項，推導得列車－橋梁－汽車耦合運動方程為

式中：cc，vv，bb表示列車、汽車、橋梁子系統自相關部分；cb或bc表示列車與橋梁子系統相互影響部分；vb或bv表示汽車與橋梁子系統相互影響部分。限于篇幅，不再給出各子矩陣詳細表達式。

列車、汽車過橋過程中隨車輛位置的改變，式（9）左端質量、剛度、阻尼矩陣隨時間發生變化，式（9）為線性時變系數的二階微分方程組，可用Newmark－β積分法求解。

1.8 公鐵兩用橋梁車橋耦合振動分析軟件

基于上述分析模型及運動方程，編制仿真分析軟件VBI模擬單一車種、多車種車－橋耦合振動。該軟件可進行多條線路、不同數目及車型的車隊在不同車速及不同橋面、軌道不平順下的多工況車－橋耦合振動仿真分析計算。

2 計算分析

2.1 某公路鐵路兩用橋方案

某公、鐵兩用橋方案為雙塔三索面斜拉橋，主跨504 m，上層為6車道公路，下層為4線鐵路。斜拉橋主梁為板桁結合鋼桁梁。有限元建模中鋼桁梁、主塔、邊墩及輔助墩用空間梁單元模擬，斜拉索用空間桿單元模擬，正交異性板或結合板用梁格法等效成縱橫梁用空間梁單元模擬。共6 268個節點，11 147個單元，自由度總數37 506，見圖4。

圖4 某公鐵兩用橋方案有限元模型Fig.4 Finite element model of the bridge

用VBI進行橋梁模態分析，結果與商業軟件Ansys結果完全吻合，前5階振型、頻率見表1。

2.2 計算工況

考慮列車與汽車同時上橋運行模式。列車編組為1節ICE機車＋14節高速車輛＋1節ICE機車；汽車用兩軸重車模型，20輛車為一車隊，按10 m等間距布置。本文計算的4種車輛運行工況，列車速度為250 km／h，汽車速度為80 km／h。

（1）單線列車＋單線汽車（SCSV）。單線列車在鐵路軌道L2行駛，單線汽車在公路橋面行車道R2與列車同向行駛，見圖5，其中L為左行車道，R為右行車道。

表1 大橋自振頻率及振型特點Tab.1 Natural frequencies of the bridge

圖5 列車、汽車行駛工況示意圖Fig.5 Running condition

（2）單線列車＋雙線汽車（SCDV）。單線列車在鐵路軌道L2行駛，雙線汽車分別在公路橋面行車道R2、R3與列車同向行駛。

（3）雙線列車＋單線汽車（DCSV）。雙線列車在鐵路軌道L1、L2對開行駛，單線汽車在公路橋面行車道R2從左向右行駛。

（4）雙線列車＋雙線汽車（DCDV）。雙線列車在鐵路軌道L1、L2對開行駛，雙線汽車在公路橋面行車道R2、R3自左向右同向行駛。

2.3 計算結果及分析

利用VBI軟件對公鐵兩用橋方案4種工況下列車－橋梁－汽車耦合振動進行分析。軌道不平順譜用德國高速鐵路低干擾軌道譜，橋面不平順譜用國際化標準協會的 ISO SCI／WC 4標準［11］。橋梁系統阻尼按Rayleigh阻尼考慮，阻尼比取0.005。積分時間步長為0.05 s。部分系統動力響應時程結果見圖6～圖9。

4種工況下主跨跨中橫向豎向位移及加速度最大值、主塔塔頂縱向橫向位移及加速度最大值、列車（機車及車輛）豎向橫向加速度及運行安全性以及舒適性指標（脫軌系數、輪重減載率、輪軌橫向作用力最大值、舒適度指標SPRING）、汽車車體豎向加速度最大值見表2。由表2看出，4種工況的橋梁考察點縱、橫及豎向位移均較小，橫、豎向加速度均小于0.5 g。說明橋梁總體豎、橫向剛度較大。上橋車隊增多時，豎向位移明顯增加，原因為豎向位移主要由重力加載引起，而跨中橫向位移變化不明顯，因橫向位移由橫向不平順隨機激勵引起。機車、車輛橫、豎向加速度較小，機車、車輛的Spring指標、脫軌系數、輪重減載率、輪軌橫向力均較小，說明車輛運行平穩性好，列車運行安全。汽車橫、豎向加速度最大值小于3 m／s2，車輛運行較平穩，說明大橋整體剛度較大。分析中所得輪重減載率、脫軌系數的極值較小，說明輪軌間未發生脫離，所用輪軌接觸模型合適。特別指出，對特大型公鐵兩用橋梁而言，更準確、可靠的列車過橋安全性評價需建立更完備的系統動力學模型，分析各種可能的運營工況，確保橋梁行車安全。

圖6 主梁跨中撓度時程Fig.6 Vertical displacement histories of bridge girder

圖7 塔頂縱向位移時程Fig.7 Longitudinal displacement histories of bridge tower

隨橋上汽車車隊增多（SCDV與SCSV比較，DCSV與DSDV比較），列車機車與車輛的豎向加速度最大值、脫軌系數最大值、輪重減載率最大值明顯增大，說明汽車車輛過橋對列車運行安全性具有不利影響。列車與汽車同時過橋時，汽車動力所致橋梁振動對列車而言，相當于附加特殊的不平順激勵，列車對此較敏感，等同于運行路況更差。

圖8 軌道L2列車機車豎向加速度時程Fig.8 Vertical carbody acceleration time histories of the locomotive on L2 railway

圖9 行車道R2汽車隊首車豎向加速度時程Fig.9 Vertical carbody acceleration time histories of the first road vehicle on R2 roadway

表2 橋梁與車輛響應及運行安全性、舒適性指標Tab.2 Maximum of bridge and vehicle responses and operational safety and comfort index

由于車－橋耦合振動問題的復雜性，很難從理論上直觀分析哪種情況考慮汽車車輛動力作用，哪種情況下可不考慮，因此進行特大跨度公鐵兩用橋梁車－橋耦合振動分析時，建議建立列車－橋梁－汽車耦合振動分析模型，模擬各種可能的列車、汽車同時過橋工況，確保列車運行安全。

3 結 論

（1）視汽車為動力子系統，同時考慮列車子系統與橋梁子系統，汽車子系統與橋梁子系統間動力相互作用，建立公鐵兩用橋梁列車－橋梁－汽車耦合振動分析模型，為準確描述汽車車輛及鐵路車輛同時通過公鐵兩用橋梁時車輛及橋梁子系統運動狀態、準確評價該橋的行車安全性及舒適性提供新的模式。

（2）編制公鐵兩用橋梁列車－橋梁－汽車耦合振動仿真分析軟件，利用該軟件對某公鐵兩用大橋方案進行鐵路列車與公路汽車同時過橋時車－橋耦合振動仿真計算結果表明，方案橋總體豎向、橫向剛度較大，車輛運行平穩性較好，車輛運行安全。

（3）通過數值算例知，列車與汽車同時過橋時，隨橋上汽車車隊增多，列車機車及車輛的豎向加速度最大值、脫軌系數最大值、輪重減載率最大值明顯增大，汽車對列車運行安全性影響不利。進行特大跨度公鐵兩用橋梁車－橋耦合振動分析時，建議建立列車－橋梁－汽車耦合振動分析模型，對各種列車與汽車同時過橋工況進行模擬，確保列車運行安全。

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