分布式摩擦激勵下軸系振動研究

車凱凱，張振果，張志誼，華宏星

（1.上海交通大學 振動沖擊噪聲研究所，上海 200240；2.上海交通大學 機械系統與振動國家重點實驗室，上海 200240）

艦船螺旋槳推進軸系支承較復雜，而艉軸承作為槳－軸－支承的重要組件直接關系系統的穩定性，多采用水潤滑橡膠軸承［1］。低速重載下軸承與軸頸間不能形成良好潤滑條件，使其工作在邊界潤滑或混合潤滑狀態，產生摩擦振動及噪聲［2］進而影響艦船的隱身性能與生存能力［3］。

有關水潤滑橡膠軸承摩擦振動研究多集中于摩擦性能、軸承潤滑及摩擦噪聲等［1］。文獻［4－5］對水潤滑橡膠軸承進行潤滑機理及摩擦性能研究，文獻［1，4，6－7］通過一般性試驗研究，由粘－滑效應角度對摩擦噪聲給予解釋。Simpson等［8］用兩自由度模型模擬軸承－軸頸摩擦誘導振動，利用摩擦力試驗曲線［9］給出振動失穩的臨界條件，并闡述粘－滑運動產生時的摩擦力變化規律。Mihajlovic等［10］探討柔性轉子摩擦誘導彎扭耦合振動，考慮不連續摩擦力模型與彎扭耦合誘發的扭轉振動，認為摩擦－彎曲－扭轉振動耦合作用客觀存在。文獻［11］分析摩擦激勵及彎扭耦合作用對螺旋槳推進軸系振動影響規律，說明軸承－軸頸摩擦特性與小阻尼振動模態均為耦合系統出現摩擦自激振動的重要因素。對軸承支承的研究多采用將軸承支承簡化為單點支承［11－12］。此等效處理方法適用短軸承，但當軸承較長時其合理性則需重新考慮；此外，點支承模型無法用于研究軸承分布支承及軸承傾斜等對軸系響應特性影響。

基于此，本文以低速重載軸系為研究對象，采用分布式軸承支承，建立軸系摩擦激勵下系統振動非線性動力學模型，通過數值計算探討摩擦激勵響應與系統物理參數間關系，討論轉速、接觸力、軸承傾斜等因素對軸系響應特征影響，為軸系耦合振動分析提供參考。

1 分布式摩擦模型

本文研究對象由轉軸、水潤滑橡膠軸承（BR2）、支座及兩油潤滑球軸承（BR1、BR3）組成，見圖1。其中轉軸分為具有不同截面特性的左、中、右三軸段。據研究假設為：① 左右兩端油潤滑軸承潤滑良好，忽略其對系統振動影響；② 軸承在中間軸段長度方向的徑向剛度均勻；③ 通過中間軸承座對BR2施加預載荷，以保證軸承－軸頸的持續接觸狀態，且軸承座可通過調節自身角度實現BR2傾斜。

圖1 分布式摩擦激勵的分析模型Fig.1 Bearing friction test device

1.1 摩擦力數學模型

軸承－軸頸間接觸特性可由分布式摩擦力F（x，t）描述，且假設其滿足胡克定律，即摩擦力正比于分布接觸正壓力F（x，t）。為研究軸承摩擦對模型振動影響，須建立合理、有效的摩擦力數學模型。對液體潤滑軸承，Stribeck曲線可清楚描述摩擦的各種潤滑狀態及轉化過程，摩擦系數同載荷、速度及潤滑液體粘度有密切關系［13］，在低速重載情況下，速度依賴型指數摩擦模型已得到廣泛驗證［14］。摩擦力計算公式為

式中：v為軸承與軸頸間相對滑動速度；μ為動摩擦系數［14］，可表示為

式中：μ0，μ1，β0為由試驗確定的參數；sgn（·）為符號函數。

1.2 耦合機理分析

據力系簡化原理，分布摩擦力F（x，t）可等效為作用于轉軸軸頸中心分布力 Ff（x，t）及分布力矩Mf（x，t），見圖2。兩者均能激發轉軸相關振動。軸承－軸頸間相對滑動速度v、轉軸轉速n及摩擦力矩引起的扭轉角位移Θ相關，可表示為

圖2 軸承－軸頸接觸受力示意圖Fig.2 Contact force between the bearing and shaft

式中：Θ（x，t）／t為轉軸扭轉振動角速度。

由式（3）知v為變量，其變化可進一步改變摩擦力方向及大小，使轉軸扭轉振動與非線性摩擦相互耦合，導致自激振動。為確定分布摩擦力，需確定分布式接觸正壓力Fn（x，t）。由于摩擦激勵與轉子的陀螺效應會誘使轉軸渦動，致接觸載荷Fn（x，t）為變量，由軸系預載荷與由渦動派生的接觸載荷組成?？紤]的分布載荷見圖3。

圖3 分布載荷示意圖Fig.3 Distributed load on the shaft

設轉軸初始狀態在預載荷作用下中間軸段所受分布載荷為n（x，α），且與同軸承座傾斜角度α有關；設分布載荷線性分布 n（x，α）＝k′x＋b，據N′推導出（num為所取分布彈簧個數）k′＝－kytanα／l2，b＝［2N′＋ky（x1＋x2）tanα］／（2l2）。

為保證軸承傾角α時軸承下部分與軸頸間發生緊密接觸，需滿足條件 n（x2，α）≥0。將 k′，b代入上式，推導出條件式 N′≥kyl2tanα／2。

在轉軸橫向振動作用下，中間軸段所受分布力為f（x，t），可表示為

式中：ky（x），kz（x）為接觸點處 y、z向軸承等效剛度；uy（x，t），uz（x，t）為接觸點 y、z向位移；l2＝x2－x1。

由此可導出分布式接觸正壓力及摩擦力為

正壓力：

摩擦力：

由式（3）～式（7）知，軸系所受摩擦力及摩擦力矩為系統參數、摩擦參數的函數［11］，因此該系統具有力反饋與狀態參數反饋，形成自振系統，摩擦激勵及彎曲－扭轉振動耦合作用為分析軸系自激振動基礎。

2 非線性系統動力學模型

采用模態疊加法及拉格朗日方程建立該連續系統非線性動力學方程。利用通用有限元軟件獲取該變截面軸系主振型及模態頻率，并通過三次樣條插值方法將有限元軟件所得振型列轉化為振型函數列［12］。設軸撓度為 u（x，t），模態展開為

式中：φi（x）為第 i階模態振型函數；qi（t）為廣義坐標。設軸扭轉位移為 Θ（x，t），模態展開為

式中：i（x）為第 i階模態振型函數；pi（t）為廣義坐標。

利用主振型函數正交性，系統彎曲振動動能可表示為

系統彎曲振動耗散能可表示為

式中：Cbi為廣義阻尼。由于系統模態阻尼通常難以確定，理論研究通常采用Rayleigh阻尼模型，即C＝α1M＋β1K，α1與 β1均為常數。

系統廣義摩擦力可表示為

將式（10）～式（13）代入拉格朗日方程

得彎曲振動下廣義坐標動力學方程（下標表示y，z向）為

同樣，系統扭轉振動動能、勢能、耗散能及廣義摩擦力矩可分別表示為

求解式（15）、（16）、（22）即可獲得系統非線性動態響應。

3 求解結果與分析

3.1 求解參數

以某軸承試驗系統為研究對象，討論摩擦激勵作用下耦合振動規律。圖1為簡化模型，計算參數為l1＝0.4 m，l2＝0.2 m，l3＝0.4 m，l＝1 m；三段軸徑分別為0.1 m，0.15 m，0.1 m；軸密度、泊松比、彈性模量及剪切模量分別為 7.8×103kg／m3，0.3，2.1×1010Pa，8.076 9×1010Pa；橡膠軸承 Y，Z向總體剛度分布為2.62×106N·m，1.5×106N·m；軸系額定轉速 0～100 r／min，取系統阻尼參數 α1＝0.1，β1＝1.2×10－6。采用四階Runge－Kutta法求解系統非線性動態響應，時間步長1×10－5。

3.2 求解結果及分析

3.2.1 軸系固有特性

利用以上系統參數通過有限元法求出系統固有頻率、固有振型（包括彎曲、扭轉振動）分別見表1、圖4。圖4中橫軸為軸系沿縱向位置坐標，縱軸為歸一化的振型位移。3.2.2 摩擦參數影響

表1 系統前四階固有頻率Tab.1 The first four natural frequencies

圖4 系統前四階固有振型Fig.4 The first four modes of the shaft

無特別說明，軸承座傾角均為零。不同摩擦參數時距軸系左端0.45 m軸承－軸頸接觸處非線性動力學響應見圖5。圖5（a）的摩擦系數較小，對初始擾動，軸系激發的各階模態振幅值逐漸減小，表明系統穩定；圖5（b）、（d）的摩擦系數相對較大，由初始擾動激發的軸系各階模態振幅值逐漸增大，當扭轉振動角速度大小接近軸系轉動角速度時，系統發生自激振動。比較圖5（b）、（d）知，增大摩擦系數可縮短系統發生自激振動時間。圖5（c）為對產生自激振動的時域響應的頻域分析。此時系統的自激頻率主要為扭轉第二階頻率。計算發現該頻率對應的阻尼較小，而模態響應相對較大。因此，第二階模態更易被激發，與仿真結果吻合。圖5（e）為系統發生自激振動時系統所受摩擦力矩。該摩擦力矩表現出的周期性負阻尼效應為導致系統模態失穩重要因素之一。該機理與文獻［9］類似。

圖5 距軸系左端0.45 m軸承－軸頸接觸處非線性動態響應（μ0＝0.01，β0＝1，N′＝100 kN，n＝50 r／min）Fig.5 The nonlinear dynamic response at the 0.45 m bearingshaft neck contact point

3.2.3 轉速及接觸力影響

系統在不同轉速、接觸力下非線性動態響應見圖6、圖7。比較圖6（a）、圖5（b）、圖6（c）看出，轉速越快系統越不易發生模態失穩。對低速條件的時域響應進行頻域分析，對比圖5（c）、圖6（b）看出，轉速越低系統激發的扭轉頻率越多。除第二階扭轉振動頻率外，在212 Hz，5 572 Hz附近有明顯峰值，分別對應第一階彎曲振動頻率、第三階扭轉振動頻率。比較圖7（a）、圖5（b）、圖7（b）看出，接觸力越大系統越易發生模態失穩。失穩時接觸力越大系統達到穩定自激振動所需時間越少。圖6、圖7結果表明，相同條件下系統低速、重載時易發生自激振動。

圖6 距軸系左端0.45 m軸承－軸頸接觸處不同轉速下非線性動態響應（μ0＝0.01，μ1＝0.1，β0＝1，N′＝100 kN）Fig.6 The nonlinear dynamic response at the 0.45 m bearingshaft neck contact point under different rotational speed

圖7 距軸系左端0.45 m軸承－軸頸接觸處不同接觸力下非線性動態響應（μ0＝0.01，μ1＝0.1，β0＝1，n＝500 r／min）Fig.7 The nonlinear dynamic response at the 0.45m bearingshaft neck contact point under different contact force

圖8 距軸系左端0.45 m軸承－軸頸接觸處不同傾斜狀態下非線性動態響應（μ0＝0.01，μ1＝0.1，β0＝1，n＝50 r／min，N′＝1 000 kN）Fig.8 The nonlinear dynamic response at the 0.45 m bearingshaft neck contact point under different bearing inclination angle

3.2.4 軸承傾斜影響

以上分析均為軸承無傾斜，接觸力均勻施加于中間軸段；但軸承傾斜與否亦為系統發生自激振動的重要因素。系統在不同軸承傾角條件下非線性動態響應見圖8。參數選擇滿足條件N′≥kylztanα／2，以保證軸承下部分與軸頸間緊密接觸。比較圖7（b）、圖8（a）、（b），當軸承傾斜時系統更易發生自激振動，且振幅值明顯高于軸承無傾斜時振幅值。對比圖8（a）、（b）看出，隨軸承傾角增大系統發生模態失穩達到穩定振幅后出現周期性波動。由圖8（c）看出，軸承發生傾斜時對相同摩擦系數及轉速，減小接觸力仍會發生自激振動。對產生自激振動的時域響應進行頻域分析見圖8（d）、（e）。此時系統激發出多階彎曲、扭轉模態頻率及其倍頻。

4 結 論

（1）通過仿真表明，軸系在低速、重載條件下，摩擦激勵可能激發系統某些固有模態，引發自激振動。而摩擦負阻尼特性為引發軸系模態失穩的重要原因。

（2）除摩擦負阻尼效應外，軸系轉速、接觸力及軸承傾斜等均為系統發生自激振動的重要影響因素。轉速降低、接觸力增大及軸承傾斜角度加大，系統越易發生自激振動；軸承發生傾斜時振幅值明顯高于軸承未傾斜時振幅值。

（3）本文所用分布式支承方式對軸承的建模，可為分析軸承分布支承力及軸承傾斜對軸系自激振動影響提供可能。

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