智能作動(dòng)器Preisach遲滯參數(shù)辨識(shí)及補(bǔ)償研究

王萍萍，劉 磊，欒曉娜

（1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150001；2.大連理工大學(xué) 航空航天學(xué)院，遼寧 大連 116024）

智能作動(dòng)器廣泛用于微納米技術(shù)領(lǐng)域，但其遲滯非線性效應(yīng)影響作動(dòng)器精度，而遲滯非線性效應(yīng)造成的誤差可達(dá)位移的10%～15%［1］。為提高作動(dòng)器精度，需研究智能作動(dòng)器遲滯非線性辨識(shí)及補(bǔ)償［2］。

遲滯效應(yīng)物理特性較復(fù)雜，可通過(guò)基于現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型描述，尤其 Preisach模型［3－4］。經(jīng)典 Preisach遲滯非線性只依賴輸入信號(hào)路徑，與信號(hào)頻率無(wú)關(guān)，而Preisach具有全局記憶性［5］，即過(guò)去、當(dāng)前時(shí)刻輸入共同決定將來(lái)某時(shí)刻輸出。為辨識(shí)Preisach模型，Henze等［6］通過(guò)假設(shè)Preisach模型μ分布函數(shù)利用數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，但通常較難提前獲得某壓電作動(dòng)器的μ分布函數(shù)；Song等［7］對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行微分求解Preisach密度函數(shù)，但易受測(cè)量噪聲影響。本文用最小二乘與奇異值分解方法辨識(shí)Preisach模型參數(shù)。噪聲及擾動(dòng)也會(huì)產(chǎn)生小的奇異值，需進(jìn)行截?cái)嘁詼p小誤差。但若輸入信號(hào)不滿足持續(xù)激勵(lì)（PE）條件［8－9］，也易造成較大辨識(shí)誤差。因此需采用具有變幅值的輸入信號(hào)進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，以滿足持續(xù)激勵(lì)條件，提高辨識(shí)精度。為驗(yàn)證辨識(shí)結(jié)果，本文設(shè)計(jì)Preisach逆模型前饋補(bǔ)償遲滯非線性，利用壓電平臺(tái)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證遲滯辨識(shí)、補(bǔ)償方法的有效性。

1 Preisach遲滯非線性模型

1.1 Preisach遲滯非線性模型

經(jīng)典Preisach遲滯非線性模型為遲滯算子與相應(yīng)密度函數(shù) μ的二重積分［2］，即

式中：u（t）為輸入電壓；μ（α，β）為無(wú)量綱密度函數(shù)；f（t）為作動(dòng)器輸出；rαβ為遲滯算子也稱繼電器算子。

式（1）不含動(dòng)力學(xué)項(xiàng)，故對(duì)Preisach遲滯參數(shù)辨識(shí)不同于一般動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。

1.2 Preisach遲滯非線性模型離散化

對(duì)Preisach遲滯非線性模型參數(shù)辨識(shí)時(shí)主要目標(biāo)即辨識(shí)密度函數(shù)μ。本文對(duì)Preisach平面進(jìn)行離散化，并設(shè)單元具有均勻密度μij，將二重積分轉(zhuǎn)化為求和，即

式中：n為離散水平；sij為單元格（i，j）面積（已知）；γij為單元格（i，j）繼電器輸出，可指定為特殊值，如對(duì)壓電陶瓷作動(dòng)器γij可指定0或1，即vij＝μijsij，故只要辨出 vij即可求出 μij。

對(duì)式（2）在時(shí)間區(qū)間t1＜t＜tm內(nèi)采樣，故存在時(shí)間序列t1＜t2＜…＜ti＜…＜tN，對(duì)遲滯離散方程N(yùn)個(gè)采樣，得線性矩陣方程為

對(duì)Preisach遲滯非線性辨識(shí)轉(zhuǎn)化為對(duì)式（3）的求解。通常式（3）的維數(shù)、條件數(shù)較高，如對(duì)n＝50的離散化，矩陣A的維數(shù)為1 275，采用一般輸入信號(hào)、一般求解方法較難獲得精確解。本文目的即采用恰當(dāng)?shù)闹C波輸入信號(hào)，構(gòu)造式（3），對(duì)矩陣ATA進(jìn)行奇異值分解，辨識(shí)離散化密度函數(shù)μij，并用逆模型前饋補(bǔ)償遲滯效應(yīng)驗(yàn)證辨識(shí)方法的正確性。

2 奇異值分解法辨識(shí)Preisach模型參數(shù)

2.1 Preisach模型參數(shù)辨識(shí)

用于諧波信號(hào)辨識(shí)Preisach遲滯模型參數(shù)不同于非遲滯動(dòng)力學(xué)，頻率豐富并非能提高遲滯效應(yīng)辨識(shí)精度，主要因Preisach模型速率無(wú)關(guān)性，即單獨(dú)改變輸入信號(hào)頻率不能改變Preisach模型輸出特性。密度函數(shù)為恒定值4，在0.5 s時(shí)輸入信號(hào)頻率增加為2倍，遲滯回路仍保持不變，見(jiàn)圖1。

相反，充分幅值可激發(fā)更多記憶曲線，Presach模型中不同狀態(tài)點(diǎn)被激發(fā)，可滿足持續(xù)激勵(lì)（PE）條件、提高Preisach遲滯模型參數(shù)辨識(shí)精度，變幅值輸入諧波信號(hào)及Preisach回路見(jiàn)圖2。由圖2看出，變幅值輸入信號(hào)生成更多遲滯回路，采樣時(shí)可產(chǎn)生更多線性獨(dú)立方程，提高矩陣A的秩，增加參數(shù)辨識(shí)精度。

2.2 滿足持續(xù)激勵(lì)條件的最小二乘解

對(duì)一般非遲滯系統(tǒng)，參數(shù)辨識(shí)均會(huì)構(gòu)造充分頻率的輸入信號(hào)，盡量激發(fā)系統(tǒng)模態(tài)滿足持續(xù)激勵(lì)條件，即det（ATA）≠0，此時(shí)方程存在唯一解［8］為

圖2 變幅值輸入信號(hào)及Preisach回路Fig.2 Amplitudevarying input and its Preisach loop

但對(duì)Preisach遲滯非線性，充分頻率無(wú)助于提高辨識(shí)精度，且因矩陣A維數(shù)高、存在系統(tǒng)噪聲，接近零的奇異值會(huì)增加誤差。為提高精度，需對(duì)接近零的奇異值截?cái)唷渭儾捎靡话惚孀R(shí)方法式（4）不易獲得參數(shù)精確值。

2.3 奇異值分解參數(shù)辨識(shí)

本文采用最小二乘法辨識(shí)遲滯模型。為提高辨識(shí)精度，對(duì)矩陣ATA奇異值進(jìn)行分解［10］，即

式中：U＝［u1，u2，…，un］；V＝［v1，v2，…，vn］；∑ ＝diag（σ1，σ2，…，σn）；σ1≥σ2≥…≥σn≥0；U，V為么矩陣，滿足 UUT＝UTU＝I，VVT＝VTV＝I，I為單位陣。

設(shè)矩陣 ATA的秩為 k，存在 σk＋1，σk＋2，…，σn＝0，對(duì)ATA進(jìn)行分解，即

求偽逆時(shí)，奇異值截?cái)嗉纫紤]截?cái)嗾`差，也要考慮測(cè)量噪聲影響。噪聲可能會(huì)產(chǎn)生非常小奇異值，影響矩陣良定性。可用條件數(shù)衡量矩陣的良定性，ATA條件數(shù) k（ATA）為

式中：σ1為最大奇異值；σk為最小非零奇異值；k（ATA）為最大最小奇異值比例。若條件數(shù)太大，ATA屬于非良定矩陣。

3 Preisach遲滯非線性逆模型補(bǔ)償

Preisach遲滯為具有全局記性效應(yīng)的非線性，無(wú)動(dòng)力學(xué)環(huán)節(jié)。本文對(duì)遲滯補(bǔ)償時(shí)采用具有記憶效應(yīng)的逆模型法補(bǔ)償［11］，此為前饋補(bǔ)償算法，依賴于辨識(shí)精度。一旦獲得Preisach遲滯模型即可據(jù)過(guò)去及當(dāng)前輸入信號(hào)決定輸出信號(hào)。為驗(yàn)證辨識(shí)精度，逆模型補(bǔ)償時(shí)不用位移測(cè)量，直接據(jù)辨識(shí)Preisach模型及參考信號(hào)求解控制電壓u（k），補(bǔ)償算法見(jiàn)算法1，其中Ψ為辨識(shí)的Preisach遲滯模型。在該算法中，k時(shí)刻參考位移為fr（k），位移估計(jì)為＾f（k），控制電壓u（k＋1）使（k＋1）跟蹤 fr（k）。

壓電作動(dòng)器位移估計(jì)表達(dá)式為

式中：Ak為k時(shí)刻γij狀態(tài)集為x的估計(jì)。

算法：Preisach逆模型補(bǔ)償

式中：γ用于調(diào)節(jié)步長(zhǎng)；umax為辨識(shí)的最大電壓。

4 遲滯效應(yīng)辨識(shí)及補(bǔ)償方法實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

微納米壓電作動(dòng)平臺(tái)見(jiàn)圖3，采用壓電堆棧作動(dòng)器及運(yùn)動(dòng)放大結(jié)構(gòu)以獲得更大位移，用電容傳感器測(cè)量位移。壓電設(shè)備安裝于氣浮平臺(tái)，以減少環(huán)境振動(dòng)、噪聲影響。

圖3 微納米壓電平臺(tái)Fig.3 Micro／nano piezoelectric stage

4.1 遲滯效應(yīng)辨識(shí)實(shí)驗(yàn)

在0～60 V電壓區(qū)間用低頻輸入信號(hào)對(duì)遲滯非線性進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)。所用變幅值諧波輸入信號(hào)見(jiàn)圖4。由圖4看出，電壓信號(hào)頻率為π／3 rad／s時(shí)，其幅值由1 V遞增到60 V。

在變幅值諧波輸入電壓激勵(lì)下壓電位移輸出見(jiàn)圖5。由圖5看出，位移發(fā)生漂移，“”點(diǎn)對(duì)應(yīng)0 V電壓，據(jù)Preisach模型擦除特性，輸入電壓回零時(shí)對(duì)應(yīng)的位移應(yīng)亦為零，仍發(fā)生的位移應(yīng)作為漂移處理。

圖4 變幅值輸入諧波信號(hào)Fig.4 Input signals with variant amplitudes

圖5 壓電平臺(tái)位移輸出信號(hào)Fig.5 Displacement output of piezoelectric stage

圖6 曲線擬合法抑制漂移結(jié)果Fig.6 Drift suppression result using curve fitting

本文用多項(xiàng)式擬合法對(duì)特殊點(diǎn)擬合，給出曲線方程，再對(duì)其它點(diǎn)插值求解漂移值。擬合曲線表達(dá)式為

式中：fdrift為位移漂移量；t為時(shí)間。

據(jù)擬合曲線方程fdrift補(bǔ)償位移漂移量，補(bǔ)償結(jié)果見(jiàn)圖6，補(bǔ)償誤差均方根為0.012μm。位移漂移補(bǔ)償后的遲滯環(huán)（回路）見(jiàn)圖7。由圖7看出，曲線擬合遲滯環(huán)漂移已有效減小。

對(duì)補(bǔ)償漂移后的遲滯環(huán)進(jìn)行采樣，設(shè)單元格（i，j）內(nèi)點(diǎn)的γij一致，本文中單元格被激活時(shí)γij＝1，否則取0；且設(shè)離散化水平n＝60，對(duì)矩陣ATA進(jìn)行奇異值分解，矩陣滿秩，但條件數(shù) k（ATA）＝3.32×1021，矩陣非良定，對(duì)小于最大奇異值0.000 01倍的奇異值進(jìn)行截?cái)啵墒剑?）所得μ的辨識(shí)結(jié)果見(jiàn)圖8。由圖8看出，密度函數(shù)μ均大于零。

圖7 遲滯回路Fig.7 Hysteretic loops

圖8 密度函數(shù)μ辨識(shí)結(jié)果Fig.8 Identified result of density functionμ

圖9 模型逆補(bǔ)償誤差Fig.9 Error with model inversion compensation

圖10 逆補(bǔ)償前后遲滯回路Fig.10 Hysteretic loop with and without compensation

4.2 逆模型遲滯補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)

本文采用逆模型遲滯補(bǔ)償驗(yàn)證參數(shù)辨識(shí)的正確性，主要為因逆模型補(bǔ)償對(duì)建模誤差敏感；而逆模型前饋補(bǔ)償也可在不用測(cè)量信號(hào)基礎(chǔ)上補(bǔ)償遲滯非線性，故應(yīng)用前景較好。

據(jù)以上辨識(shí)結(jié)果，采用逆模型補(bǔ)償算法，由于密度函數(shù)μ總大于零，故其逆函數(shù)總存在。式（13）中γ取0.04，umax＝60，用逆補(bǔ)償后參考跟蹤誤差見(jiàn)圖9。由圖9看出，不用逆模型補(bǔ)償時(shí)跟蹤誤差均方根為0.678 μm，而用逆模型補(bǔ)償后誤差均方根為0.071μm，減小89.5%。

參考信號(hào)與輸出位移間遲滯回路見(jiàn)圖10。由圖10看出，逆模型補(bǔ)償能有效減小遲滯效應(yīng)及跟蹤誤差，表明Preisach建模及辨識(shí)的準(zhǔn)確性。

5 結(jié) 論

（1）本文通過(guò)研究Preisach遲滯非線性辨識(shí)及補(bǔ)償方法，構(gòu)造變幅值諧波輸入信號(hào)以滿足持續(xù)激勵(lì)條件；

（2）通過(guò)奇異值分解、截?cái)嘈∑娈愔担镁仃噦文娅@得辨識(shí)的最小二乘解；

（3）用逆模型補(bǔ)償不僅能驗(yàn)證參數(shù)辨識(shí)結(jié)果亦可補(bǔ)償遲滯非線性，并通過(guò)壓電平臺(tái)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證本文方法的正確性。

［1］Ge P，Jouaneh M.Tracking control of a piezocermic actuator［J］.IEEE Trans.Contro Syst.Technol.，1996，13（8）：973－983.

［2］Leang K，Zou Q，Devasia S.Feedforward control of piezoactuators in atomic force microscope systems［J］.IEEE Control Syst.Magzine，2009，29（1）：70－82.

［3］黨選舉，梁衛(wèi)，姜輝.基于改進(jìn)Preisach模型的音圈電機(jī)復(fù)雜遲滯建模［J］.振動(dòng)與沖擊，2012，31（21）：156－162.DANG Xuanju，LIANG Wei，JIANG Hui.Complex hysteresis modeling for a voice coil motor based on improved preisach model［J］.Journal of Vibration and Shock，2012，31（21）：156－162.

［4］劉旺中，陳照波，侯守武，等.基于Preisach理論的形狀記憶合金溫度－位移遲滯仿真研究［J］.振動(dòng)與沖擊，2012，31（16）：83－87.LIU Wangzhong，CHEN Zhaobo，HOU Shouwu，et al.Simulation on modeling of temperaturedisplacement hysteresis in SMA based on preisach theory［J］.Journal of Vibration and Shock，2012，31（16）：83－87.

［5］Mayergozy I D.Mathematical modeling of hysteresis and their application［M］.Amsterdam：Elsevier，1991.

［6］Henze O，Rucker W M.Identification procedures of preisach model［J］.IEEE Trans.Magn.，2002，38（2）：833－836.

［7］Song G，Zhao J，Zhou X，et al.Tracking control of a piezoceramic actuator with hysteresis compensation using inverse Preisach model［J］.IEEE Trans.Magn.，2005，10（2）：198－209.

［8］Astrom K，Wittenmark B.Adaptive control［M］.New York：AddisonWesley；1994.

［9］Tan X，Baras J.Adaptive identification and control of hysteresis in smart materials［J］. IEEE Transactions Automatic Control，2005，50（6）：827－839.

［10］ Aster R，Borcher B，Thurber C.Function analysis and inverse problem［M］.Amsterdam：Elsevier，2005.

［11］劉磊.航天器主動(dòng)隔振及精確定向控制技術(shù)研究［D］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2011.