高速電主軸軸向振動研究

陳小安，張 朋，合 燁，劉俊峰

（重慶大學 機械傳動國家重點實驗室，重慶 400044）

高速電主軸為集原動機－傳動裝置－執行機構－控制系統于一身、實現“近零傳動”的機電耦合系統，已成為高端數控機床的核心功能部件［1－2］。高速電主軸可靠的動力學行為是保證高品質加工的重要因素。Wang等［3－4］以軸承靜力學模型為基礎分析高速電主軸徑向振動固有特性，研究高轉速對轉子一階徑向振動固有頻率影響。Jorgensen等［5－6］據影響系數法建立電主軸轉子動力學模型，討論不同工況下轉子徑向振動響應。Li等［7－8］建立熱 －機耦合電主軸動力學模型，分析機－電－熱耦合作用下轉子動態特性。Jiang等［9］建立轉子動力學模型，探討轉子幾何因素對徑向振動特性影響。

雖對高速電主軸動力學行為討論已較深入，但大多研究轉子徑向振動，忽略軸向振動。加工制造過程中尤其精密、超精密加工，電主軸用于立式加工場合增多，對轉子軸向振動特性要求更高，見圖1。

本文針對高速電主軸轉子軸向振動問題，在考慮熱態特性及電磁作用基礎上，用有限元法建立軸承－轉子動力學模型；據動力學模型計算轉子系統固有模態，發現一階固有振型為轉子軸向剛體振動，其固有頻率遠低于一階徑向振動，固有頻率計算結果較實驗結果誤差小；據線性二次型最優控制理論建立閉環系統動力學模型表明，閉環系統對軸向振動抑制效果顯著。

圖1 高速電主軸軸向加工Fig.1 Axial machining of highspeed motorized spindles

1 動力學模型

高速電主軸動力學行為受軸承動態支承、熱態、電機電磁及轉子動態等特性聯合作用影響［7－8］。

1.1 軸承模型

高速運行的角接觸球軸承在軸向載荷Fa、徑向載荷Fr及彎矩載荷M的聯合作用下，內外圈會發生相對軸向位移δa、徑向位移δr及角位移θ，計入內外圈熱膨脹位移εit，εet，得角接觸球軸承內部幾何約束關系見圖2。圖中，E，E’，m，m’分別為軸承運行前后鋼球球心及內溝曲率中心；n為外溝曲率中心；任意鋼球位置Ψj處內溝曲率中心坐標為 Axj，Azj；Vxj，Vzj為鋼球球心位置參數；α為原始接觸角；αij，αej分別為軸承運行時內外接觸角。

圖2 軸承內部幾何關系Fig.2 Geometrical relationship inside the bearing

據套圈控制理論及赫茲接觸理論［3］，聯立鋼球平衡方程與內圈平衡方程可得軸承擬靜力平衡方程［10］為

式中：Fb為內圈載荷向量；Kb為動態支承剛度矩陣，包括軸向、徑向及角剛度陣；δb為軸承內圈位移向量。

1.2 轉子－軸承動力學模型

應用 Timoshenko梁理論［11］，考慮轉子軸向、徑向及角擺動振動，且耦合入軸承動態支承剛度，以離心力、電磁不平衡拉力［12－13］為外載荷的高速電主軸轉子動力學方程為

式中：Ms，Cs，Ks分別為轉子質量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣；X為節點位移向量；FC，FM分別為離心力載荷向量及電磁不平衡拉力載荷向量。

2 計算、實驗結果及分析

本文以2GDZ15型高速電主軸為分析對象，對軸承動態支撐剛度、轉子固有模態及響應進行計算及實驗研究。

2.1 軸承動態支承剛度

2GDZ15型高速電主軸前后軸承型號為B7011CD／P4A及B7009CD／P4A，定位預緊。其軸向、徑向及角剛度見圖3。由圖3看出，轉速升高，鋼球離心力增大，與外圈接觸力增大，接觸剛度增大，軸承軸向剛度、徑向剛度及角剛度均隨轉速升高而增大。

圖3 軸承剛度Fig.3 Bearings stiffness

2.2 轉子有限元模型

2GDZ15型高速電主軸轉子系統有限元模型見圖4。簡化轉子的細小結構，將其劃分為16個單元，17個節點；軸上附加轉動零件等效簡化成套環；軸承支撐位于三角形處。

圖4 轉子有限元模型Fig.4 The finite element model of the rotor

2.3 轉子模態計算結果及分析

用子空間迭代法［3］求解有限元模型動力學方程，獲得一階軸向、徑向振型見圖5、圖6。由兩圖看出，轉子一階軸向振型為剛體振動；一階徑向振型為中部振動，最大振動幅值出現在尾端。

求解四種轉速下有限元模型，其軸向、徑向一階固有頻率計算結果見表1。由表1看出，高速電主軸軸向振動一階固有頻率低于徑向振動；隨轉速升高，軸向、徑向振動一階固有頻率增大，此因軸承軸向、徑向剛度隨轉速升高而增大。

圖5 轉子一階軸向振型Fig.5 The first axial vibration mode of rotor

圖6 轉子一階徑向振型Fig.6 The first radial vibration mode of rotor

表1 轉子一階固有頻率Tab.1 The first normal frequencies of the rotor

2.4 轉子振動實驗結果及分析

實驗裝置由2ZDG15型高速電主軸、WD501型電渦流式位移傳感器及前置器、B＆K2692－014電荷放大器、SC305－UTP型數據采集分析儀及信號處理分析軟件組成。電主軸運行穩定后用電渦流位移傳感器測量電主軸轉子前端軸向、徑向振動位移，流程見圖7。

圖7 振動測試分析流程圖Fig.7 The flow chart of vibration testing and analysis

四種轉速下轉子軸向振動位移信號頻譜見圖8。由圖8看出，一階固有頻率處均出現振動峰值，轉速升高振幅有所增加，與計算結果相符；一、二倍轉頻處出現較小振動峰值，其原因為離心力載荷及電磁不平衡拉力載荷頻率分別為一、二倍轉頻［12－13］，轉子運行時軸心線與定子軸心線擺動偏移造成兩種載荷在轉子軸向產生微小分量，而對軸向振動影響作用不大。

圖8 軸向振動信號頻譜圖Fig.8 The spectrum curve of axial vibration signal

四種轉速下，轉子徑向振動固有頻率分別為1 617 Hz、1 620 Hz、1 625 Hz、1 633 Hz，隨轉速升高態勢與軸承徑向剛度隨轉速升高相同，不再贅述。

表2 轉子一階固有頻率誤差Tab.2 The errors of the first normal frequencies of rotor

一階固有頻率計算結果與實驗結果誤差見表2。

3 軸向振動主動抑制分析

3.1 理論分析

高速電主軸軸向振動會對立式加工件品質產生不利影響，需對轉子軸向振動進行主動抑制。其閉環系統見圖9。用位移傳感器測量轉子軸向振動位移、速度（位移信號一階微分）作為反饋信號；用DSP技術設計控制器（主要設計反饋增益矩陣G），完成預定控制目標；由于電磁非接觸加載裝置響應頻率高，加載載荷可控，操作方便，故可通過設計電磁非接觸加載裝置對轉子進行軸向加載，形成閉環控制系統，完成高速電主軸軸向振動主動抑制。

圖9 軸向振動主動抑制系統Fig.9 The active inhibition system for axial vibration

由于只進行轉子軸向剛體振動的主動抑制，故有限元動力學方程只保留軸向振動自由度，其矩陣或向量均加下標a表示；理論上離心力及電磁不平衡拉力只存在于徑向，方程中不含此項，只有軸向外載荷F及控制力Fa。閉環轉子系統有限元動力學方程為

取歸一化振型向量，將動力學方程轉換到模態坐標q下，即

式中：ζ為軸向振動阻尼比；ω為軸向固有角頻率。

模態坐標下轉子軸向剛體動力學方程為

系統狀態方程形式為

系統輸出方程為

用線性二次型最優控制理論［14］，其性能泛函為

式中：CD為反饋阻尼；KD為反饋剛度。代入物理坐標下動力學方程得

很明顯，閉環轉子系統軸向阻尼、剛度大于開環系統。固有頻率升高，振動阻尼增大，有外界擾動時其軸向振幅會迅速衰減。

3.2 實例計算

無軸向載荷2GDZ15型高速電主軸運行于12 000 r／min時開、閉環系統在單位脈沖力作用下的動力學響應見圖10。由圖10看出，閉環系統軸向振幅迅速衰減，已發揮主動抑制作用。增益矩陣第一元素對應反饋阻尼值，隨其增大軸向振動響應衰減速度增快；增益矩陣第二元素對應反饋剛度值，其較開環系統剛度值小，故隨其增大軸向振動頻率變化不大。

軸向載荷F＝25sin（1 000 t）N作用下2GDZ15型高速電主軸運行于12000 r／min時開、閉環系統響應見圖11。由圖11看出，閉環系統軸向振動瞬態幅值迅速衰減，此為反饋阻尼作用。隨反饋阻尼增加瞬態幅值衰減速度增快；穩態幅值減小為因反饋剛度增大，與開環系統軸向振幅相比，閉環系統抑制效率分別為9.56%、21.84%、31.06%。

圖10 單位脈沖力作用下軸向振動幅值響應Fig.10 The axial vibration displacement response caused by unitpulse force

4 結 論

（1）用于立式加工的高速電主軸其軸向振動大小對加工質量影響較大，對高速電主軸進行動力學分析時不能限于徑向振動，亦需考慮軸向振動。

（2）經理論、實驗研究，高速電主軸軸向振動一階固有頻率為剛體振動遠低于一階徑向振動，更易產生共振，且離心力及電磁不平衡拉力對其均有影響，故高品質電主軸制造須進行嚴格的動平衡，或設計在線動平衡調節裝置［15］，以保證電主軸轉子振幅值在允許范圍內。

圖11 連續載荷作用下軸向振動幅值響應Fig.11 The axial vibration displacement response caused by continuous load

（3）因軸承剛度在熱誘導力影響下預緊狀態產生較大變化，其動態支撐剛度亦隨之變化，故高速電主軸一階軸向、徑向振動固有頻率隨轉速升高均有升高趨勢。

（4）本文通過對高速電主軸軸向振動的主動抑制理論研究及實例計算表明，閉環系統受外界突發干擾時軸向振幅值迅速衰減，在連續載荷作用下其穩態振幅值有明顯抑制作用。可為高品質電主軸設計開發提供理論支撐。

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