基于EEMD子帶提取相關機械振動信號單通道盲源分離

孟 宗，蔡 龍

（燕山大學 電氣工程學院，河北 秦皇島 066004）

由于現代化工業生產不斷發展，機械設備故障診斷技術備受關注。獨立分量分析（Independent Component Analysis，ICA）為較新的信號處理方法［1］。而基于獨立分量分析的盲源分離（Blind Signal Separation，BSS）方法在機械設備故障診斷及狀態監測中已獲得成功應用［2］。該方法大多局限于超定或正定假設條件，即觀測信號數目（傳感器個數）需多于或等于源信號數目，且源信號需滿足統計獨立要求；但在實際機械設備故障檢測中某部件的故障信息常受同一設備不同組件振動激勵影響，時域上表現為信號具有一定相關性；且機械故障源數并非已知，觀測信號數目不少于源信號數目假設難以滿足，因此用標準的ICA方法不能準確分離源信號。

為解決傳統機械故障盲源分離方法在欠定條件下（觀測信號個數少于源信號個數）的失效問題，Li等［3－4］對基于系數表示的欠定盲源分離方法進行研究；Fabian等［5］提出基于中值的聚類算法，可實現欠定狀況下盲分離。以上算法基礎為源信號的稀疏表示。信號稀疏性較差時則不能實現好的分離效果。毋文峰等［6］將經驗模態分解（Empirical Mode Decomposition，EMD）與盲源分離結合用于機械故障診斷，不僅實現單觀測通道下機械振動信號盲分離，亦能克服源信號稀疏性限制。該方法因在源信號相互統計獨立前提下實現，故存在模態混疊缺陷［7］。對統計相關源的盲源分離問題，張延良等［8］采用“兩步法”對瞬時混合的相關源信號進行盲分離，但該算法要求在某些時刻空間僅存在一個源信號；周曉峰等［9］提出基于小波包分解的相關機械振源盲源分離方法，亦存在波包分解層數確定問題；Li等［10］將相關源信號分成若干組后進行處理，雖組內源信號可以相關，但信號間需保證相互統計獨立。相關源盲分離方法多在超定或正定假設條件下進行，對欠定或單觀測通道條件下相關源盲分離問題研究較少。

雖EMD自適應分解性等優點使其在機械故障診斷領域得以應用［11］，但亦存在模態混疊現象。對此Wu等［12］提出總體經驗模態分解 （Ensemble Empirical Mode Decomposition，EEMD）方法。即將噪聲輔助分析用于EMD以促進抗混分解，能有效抑制混疊現象。本文結合EEMD算法優點，在相關振源信號部分子帶滿足統計獨立假設前提下提出基于EEMD子帶提取的相關機械振動信號單通道盲源分離方法，對單通道觀測信號進行EEMD分解及源數估計；選擇若干獨立性較強子帶分量重組觀測信號；對新觀測信號進行盲分離，并用于旋轉機械振動信號分離。以某故障軸承為研究對象分析分離信號頻譜特征，進行故障診斷。

1 盲源分離模型

盲源分離為在混合系統結構未知情況下僅由觀測信號恢復出源信號過程。設s（t）為m個未知的獨立源信號；x（t）為源信號經未知信道傳輸后由n個傳感器采集的n維觀測矢量；A為未知的n×n維混合矩陣。

無噪聲時n維觀測矢量x（t）為 s（t）的線性組合，用矩陣表示為

盲源分離目的為在源信號統計獨立的假設前提下，據獨立性測度函數尋求最優分離矩陣W，分離觀測信號中獨立分量，獲得源信號最優估計y（t），即

大多BSS算法均針對源信號相互獨立情況，對由相關源混合成的觀測信號不能直接應用。若將該信號分成不同類或不同子帶，子帶間相互獨立，可在該子帶內用BSS算法。觀測信號數目與源信號數目相等時，式（1）可改寫為

設相關源信號s（t）存在若干相互獨立子帶，第i子帶內相互獨立，則可在該子帶內用標準的獨立分量分析獲得 si（t）估計 yi（t），即

設獨立子帶 xi（t）由 x（t）通過線性濾波 Hi獲得，則 xi（t）可表示為 si（t）的線性混合為

由式（4）、（5）看出，對源信號存在相關源的盲源分離問題，其混合矩陣A與分離矩陣W可通過對獨立子帶觀測信號進行獨立分量分析獲得。

2 基于EEMD的子帶分解

EEMD算法為改進的EMD算法，亦稱噪聲支持的經驗模態分解，不僅能有效抑制模態混疊現象，使分解出的固有模態分量（Intrinsic Mode Function，IMF）具有確定的物理意義，且可將待分解信號與極小幅度白噪聲視為整體進行EMD分解。白噪聲均勻分布特性可使信號不同頻率尺度投射在白噪聲建立的均勻分布隨機尺度上，能有效抑制IMF的不連續性。EEMD算法步驟如下：

（1）向被分解信號x（t）中加入均值0、幅值標準差為常數的高斯白噪聲，進行信號歸一化處理；

（2）用EMD算法分解歸一化信號，獲得各階IMF分量；

（3）重復上兩步驟n次，要求每次加入的隨機白噪聲服從正態分布；

（4）對EMD分解所得n組IMF分量集總平均。據不相關隨機序列統計均值為0原理，去除人為加入高斯白噪聲對真實IMF分量影響，獲得x（t）的EEMD分解，即

式中：cij（t）為第 j次分解所得第 i個 IMF分量；rj（t）為第j次分解所得余項。

EEMD算法可據被分析信號特征，將含相關源在內的信號分解成一系列線性、平穩的IMF分量，即將多變量信號分解成若干單分量調幅、調頻信號之和。該過程可視為線性濾波。IMF分量集合可視為觀測信號的子帶集合。EEMD將觀測信號分解p個子帶分量后可表示為

EEMD分解中加入的高斯白噪聲大小直接影響其分解信號效果。加入白噪聲目的為避免模態混疊，但加入白噪聲太大，會影響信號中有效高頻成分極值點間隔的分布特性；加入白噪聲太小則無法影響信號低頻極值點選取，失去尺度補充作用。因此，EEMD算法中加入白噪聲準則［13］為

式中：ηh為分解信號有效高頻成分幅值標準差；ηg為加入高斯白噪聲幅值標準差；ηf為分解信號幅值標準差。一般β＝δ／4即可有效避免模態混疊。

3 基于EEMD的相關源單通道盲分離

大多盲源分離方法均需滿足觀測信號數目n不少于源信號數目m的假設。而對機械故障診斷中單觀測通道盲源分離與源信號數目未知情況則無法直接對系統線性求逆。即使混合矩陣A已知，分離系統的解也不具備唯一性。為解決單通道下傳統盲源分離算法失效問題，需估計源信號數目并對觀測信號進行升維處理，以滿足盲源分離假設。

EEMD分解所得子帶分量可將單通道傳感器觀測信號拓展為含多個源信號的特征組合。若用EEMD將采集的單通道機械振動觀測信號分解，選合適子帶分量組成新觀測信號，直至維數與源信號數目相同，即能解決觀測信號數目小于源信號數目難題。

3.1 源數估計

為實現單通道機械振動信號盲分離，需估計系統中源信號數目。對單通道觀測信號x（t）進行EEMD分解，獲得子帶分量 ci（t）（i＝1，2，…，d）及余項 rd（t）。再將x（t）與分解所得子帶分量組成多維觀測信號ximf（t）＝（x（t），c1（t），…，cd（t），rd（t））T。

ximf（t）相關矩陣定義為

式中：“H”為復數共軛變換。

噪聲為空間白色信號時，式（11）的Rx可改寫為

式中：v為信號 ximf（t）＝（x（t），c1（t），…，cd（t），rd（t））T的維數；Iv－d為單位矩陣；σ2為噪聲功率。

對Rx進行奇異值分解，得

式中：Λs＝diag｛λ1，…，λd｝為 d個按遞減順序排列的主特征值；Λz＝diag｛λd＋1，…，λv｝為 v－d個噪聲特征值，且 Λz＝σ2I。

理論上Rx的v－d個最小特征值等于噪聲功率σ2。因此在精確估計協方差矩陣并設噪聲方差相對小的前提下，可通過判斷Rx最小特征值個數確定其噪聲子空間維數，進而達到估計源信號個數目的；但在實際操作中Rx最小特征值不可能完全相等，且主特征值與噪聲特征值間設定閾值較困難，無法準確判斷噪聲子空間維數。為解決閾值設定問題，采用Bayesian信息準則（BIC）估計信號與噪聲子空間維數。BIC信息準則可對非高斯源信號進行源數估計，適用于機械振動信號。BIC信息準則為在Minaka Bayesian選擇模型（MIBS）基礎上建立的源數估計方法。MIBS可用BIC信息準則近似為

MIBS目標為尋找能使代價函數最大的序號k＝m，m即為估計的源信號個數。

3.2 互信息準則與獨立子帶選取

為克服模態混疊，本文用EEMD對觀測信號x（t）進行子帶分解。為選擇合適子帶分量重構成新觀測信號，需選取EEMD分解所得子帶。考慮EEMD分解x（t）所得子帶能體現源信號信息，據式（4）、（5）知，若單一子帶分量統計獨立性越高該子帶越能清晰體現源信號獨立子帶成分，越適合組成子帶觀測信號進行盲分離。因互信息作為衡量一組隨機變量間獨立性重要尺度，故將其作為子帶選取準則。互信息值為非負，當一組隨機變量相互統計獨立時互信息趨于零。互信息值可通過互累積量近似獲得［14］，即

已知源信號個數m時，據互信息標準，觀測信號重構步驟為：

（1）用EEMD將單通道觀測信號x（t）進行子帶分解，得子帶分量集合 CJ（J＝1，2，…，u）；

（2）按式（15）分別計算CJ中每個分量的歸一化互信息；

（3）選取CJ中歸一化互信息最小的m個子帶分量組成新觀測信號 xR（t），即

式中：sR（t）為與 xR（t）對應的重構獨立源信號；AR為正定情況下新m×m混合矩陣。

3.3 預白化

白化過程能使盲源分離問題大幅簡化，其本質為去相關及壓縮。白化后信號只需通過正交變換即能恢復源信號。白化過程描述：定義 RxR＝E［xR（t）xHR（t）］為重構的觀測信號自相關函數，與xR（t）對應源信號為sR（t），AR為m×m混合矩陣。由于RxR為對稱正定矩陣，故存在特征值分解為

式中：Λx＝diag（λ1，λ2，…，λm）為 RxR特征值由大到小排列組成的對角矩陣；Vx＝［d1，d2，…，dm］為與 Λx對應的特征向量組成的正交矩陣。則白化矩陣為w0＝Λ。設 z（t）為白化后觀測信號，標準白化過程可表示為

白化最終目的為使變換后隨機變量z（t）自相關函數為單位矩陣 Rz＝E［z（t）zH（t）］＝I，故 U為酉矩陣。由此，通過白化處理求混合矩陣A過程轉化成尋找酉矩陣U過程。

3.4 聯合對角化白化后觀測信號

本文盲源分離過程用特征矩陣近似聯合對角化（Joint Approximate Diagonalization of Eigenmatrices，JADE）方法［15］。設 M為任意 N階矩陣，z（t）的四階累積矩陣Qz（M）定義為

式中：Kopqr（z）為 z（t）中第 o，p，q，r分量的四階累積量；γqr為 M第 q，r個元素。

式（18）可改為

由于sR（t）中各分量相互統計獨立，故其四階累積量QsR（M）為對角陣。即矩陣U的確定可通過Qz（M）聯合對角化實現；但實際操作中若只取一個M矩陣，較難獲得理想結果。通常取一組矩陣M＝［M1，M2，…，MK］，并對 M中每個分量求取 Qz（MI），（I＝1，2，…，K），將問題轉化為K個N×N四階累積量矩陣近似對角化，并用UHQz（MI）U中對角元素的平方和作為對角化過程參照函數，即

通過優化算法最小化E（U）獲得酉矩陣U，即可獲得源信號估計，即

4 仿真實驗

為驗證本文方法分離信號的有效性及可行性，構造3個振源信號為

式中：f0＝80 Hz；s1（t），s2（t），s3（t）組成源信號s（t）。

設采樣頻率1 024 Hz，采樣點數512，源信號時域波形見圖1。為獲得虛擬觀測信號，任選3×3隨機矩陣作為混合矩陣，即

據式（1）盲源分離模型獲得3路觀測信號x（t）。設監測條件受限，僅采集到1路觀測信號x1（t），其時域波形見圖2。由于觀測信號只有1個，源信號有3個，且 s1（t），s2（t）為相關源信號，屬單觀測通道條件下相關源信號盲源分離問題，用本文算法進行處理。

圖1 相關源信號時域波形Fig.1 Timewave of the correlated source signals

圖2 單通道觀測信號時域波形Fig.2 Timewave of the singlechannel observed signal

4.1 源數估計

對單通道觀測信號x1（t）進行EEMD分解，獲得子帶分量 c1（t），…，c8（t）及殘余分量 r8（t）。將 x1（t）、子帶分量及殘余分量組成新的多維信號 ximf（t）＝（x1（t），c1（t），…，c8（t），r8（t）），計算其相關矩陣 Rx＝E［ximf（t）xH

imf（t）］；再對 Rx進行奇異值分解，獲得特征值由大到小排列的矢量 Λ＝diag｛λ1，…，λ10｝，見表1。基于相關矩陣特征值估計源信號數目為3，進一步由Bayesian信息準則計算獲得源信號個數為3。

表1 相關矩陣特征值Tab.1 The eigenvalues of correlation matrix

圖3 EMD分解所得子帶觀測信號Fig.3 The subband observed signals decomposed by EMD

圖4 分離信號時域波形［16］Fig.4 Timewave of the separated signals［16］

圖5 EEMD分解所得子帶觀測信號Fig.5 The subband observed signals decomposed by EEMD

4.2 基于EEMD的相關源盲分離

為凸顯EEMD有效克服模態混疊優勢，本文用EMD、EEMD算法同時對單通道觀測信號x1（t）進行分離。EMD算法分解所得子帶觀測信號見圖3。限于篇幅，據上節估計的源信號數目只選互信息最小的前3個子帶分量。由圖3看出，c1對應調幅信號s1（t），c2對應調幅信號 s2（t），c3對應正弦信號 s3（t）。由于相關信號源的引入c2與c3出現模態混疊。用欠定盲源分離方法（簡稱 EMDBSS）［16］估計源信號，結果見圖 4。由圖4看出，EMDBSS的分離信號能實現源信號辨識，但分離精度欠佳。此因子帶分量偏離觀測信號固有模式，直接影響后續盲源分離過程。由于盲源分離存在不確定性，導致分離信號與源信號存在排列順序、幅值差異，但不影響分離結果識別。

用本文方法進行分離，EEMD分解子帶見圖5（此處僅給出互信息最小的前3個子帶），c2對應調幅信號s1（t），c3對應調幅信號 s2（t），c5對應正弦信號 s3（t）。對比圖3、圖5看出，EEMD算法的子帶分量能更好展現仿真信號頻率組成成分、相位及周期變化等信息，并能有效抑制模態混疊。將EEMD分解所得c2，c3，c5分量重構新觀測信號，白化后進行聯合對角化，獲得源信號估計y（t），其時域波形見圖6。對比圖4、圖6看出，本文算法的分離效果優于EMDBSS。

圖6 分離信號時域波形（本文算法）Fig.6 Timewave of the separated signals（by proposed method）

為定量評價分離效果，用源信號與分離信號相似系數作為分離的性能指標。相似系數定義：設si為源信號s的第i個分量，yj為經盲源分離的與si對應的分離量，則si與yj的相似系數為

式中：cov為協方差；0≤ ρij≤1，ρij越接近于1說明盲分離算法分離的信號及與之對應的源信號越相似。

相似系數可抵消因盲分離不確定性造成的幅值尺度差異、避免源信號與分離信號幅值尺度不相同影響。兩算法分離信號與源信號相似系數對比見表2。為方便對比，表中已變換分離信號排列順序。由表2看出，本文算法分離信號與源信號相似系數更接近1，說明本文算法分離精度優于EMD－BSS算法，對頻帶交疊信號能實現較有效分離。此因EEMD算法將信號在固有模態子空間進行分解，將頻帶交疊信號分解在其它子帶中。EEMD的優秀特性使算法具有更強的抗干擾性、魯棒性。

表2 兩種算法相似系數Tab.2 The similarity coefficients of the two methods

綜合仿真結果，與EMD相比EEMD分解所得子帶分量能避免模態混疊，物理意義更明顯，且EEMD算法不存在小波分解方法的基函數選擇，與盲源分離結合能克服傳統獨立分量分析只限于源信號相互獨立、平穩、觀測信號數目不少于源信號數目的局限性。可保證分離結果能充分保留源信號的非平穩特征。

5 實驗研究

作為旋轉機械重要組成部分的軸承運轉時，因內、外圈及滾動體等各部件間相互關聯，其振源間存在較強相關性。受限實驗條件僅監測1路觀測信號。用本文方法對內、外圈及滾動體耦合故障進行檢測。實驗數據源自某旋轉機械故障模擬實驗臺，被測試軸承型號為6205－2RS SKF，為支撐電機轉動軸的深溝球軸承。測試用軸承規格參數見表3。

表3 軸承規格參數Tab.3 The specification of bearing

電動機轉速1 772 r／min，得轉軸基頻 fr＝29.5 Hz。用電火花技術加工軸承的單點故障，據軸承結構尺寸及轉速，計算得軸承內圈故障特征頻率fi＝159.9 Hz，外圈故障特征頻率f0＝105.9 Hz，滾動體故障特征頻率f0＝141.1 Hz，采樣長度 2 048，采樣頻率 fs＝12 000 Hz。軸承運轉時，通過振動傳感器測得含內、外圈及滾動體故障信息的單通道觀測信號見圖7。

圖7 單通道觀測信號時域波形Fig.7 Timewave of the singlechannel observed signal

用本文方法對觀測信號進行處理，獲得估計源信號時域波形見圖8，但由圖8不能確定內、外圈故障信息。對估計源信號進行頻域分析，包絡譜見圖9。由圖9（a）看出，除58.6 Hz峰值處對應基頻的二倍頻外，在160.2 Hz處出現峰值。與軸承內圈故障理論頻率值159.9 Hz較接近。由于實際測量環境及客觀因素影響，計算值與真實值會有微小差異，但完全可斷定160.2 Hz對應內圈故障特征頻率。由圖9（b）看出，在105.5 Hz處出現峰值，與外圈故障特征頻率105.9 Hz吻合。在210.9 Hz、58.6 Hz處出現的峰值分別對應外圈故障特征頻率的二倍頻與基頻的二倍頻。由圖9（c）看出，141.3 Hz處峰值與滾動體故障特征頻率對應。為比較，用EMD－BSS算法對該單通道混疊信號進行分離，獲得分離信號頻譜見圖10。對比圖9、圖10可知，本文方法能更好展現相關源信號的頻率分布特性。由此可見，實測的軸承故障數據較理想，該方法的有效性、實用性得到驗證。

圖8 分離信號時域波形Fig.8 Timewave of the separated signals

圖9 分離信號頻譜圖（本文算法）Fig.9 The frequencydomain chart of the separated signals（by proposed method）

圖10 分離信號頻譜圖（EMDBSS算法）Fig.10 The frequencydomain chart of the separated signals（by EMDBSS）

6 結 論

（1）本文針對傳統盲源分離方法難以解決實際機械故障診斷中存在的相關源、單觀測通道等問題，在分析EEMD算法原理基礎上，集合EEMD與盲源分離各自優勢，提出基于EEMD子帶提取的相關機械振源單通道盲分離方法。

（2）為滿足傳統盲源分離方法觀測信號數目不少于源信號數目的假設將單通道觀測信號進行EEMD分解，據最小互信息準則，選擇相關性較小子帶分量組成的新觀測信號具有線性、平穩特性，符合傳統獨立分量分析的前提條件。

（3）通過用本文方法對仿真信號與實測軸承故障信號的分離，驗證該方法可行性及優越性，亦為機械故障診斷技術提供新方法。

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