《材料力學(xué)》軸向拉壓中求桿系結(jié)構(gòu)節(jié)點位移的解析幾何解法

田東方

摘要：針對《材料力學(xué)》中一類求桿系結(jié)構(gòu)節(jié)點位移的問題，提出了一種基于解析幾何的解法，該方法只需具有解析幾何的基本知識，求解圓的交點坐標，就可以順利完成解題過程。與教材中的“以切代弧”的解法相比，具有易于理解、求解簡單的優(yōu)點。本文解法在一定程度上豐富了解題方法，具有一定的參考價值。

關(guān)鍵詞：材料力學(xué)；軸向拉壓；節(jié)點位移

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）37-0080-02

在《材料力學(xué)》、《工程力學(xué)》課程中，當學(xué)習(xí)了桿件軸向拉伸和壓縮后，需要應(yīng)用桿件軸向拉伸或壓縮的縱向變形量，求解桿系結(jié)構(gòu)節(jié)點位移。這一類問題的典型例題如《工程力學(xué)教程》（第2版，西南交通大學(xué)應(yīng)用力學(xué)與工程系編）第135頁，例題7-8。但在教學(xué)中，有許多學(xué)生反映教材上所采用在建立節(jié)點位移和桿件變形量間的幾何關(guān)系時，有時并不直觀，因此無法順利完成解答過程。為此，筆者提出基于解析幾何的方法，求解該類問題。

一、教材例題及解法

例題1：如圖1所示，鉸接桿系由兩根鋼桿1和2組成；各桿長度均為l=2m，直徑均為d=25mm；已知變形前∠BAD=∠CAD=α=30°，荷載F=100kN，鋼的彈性模量E=2.1×105MPa；求節(jié)點A的位移ΔA。

教材解法的總體思路是“以切代弧”。很多學(xué)生學(xué)完后反映，在解對稱結(jié)構(gòu)時（如例題），建立節(jié)點位移和桿件變形之間的聯(lián)系比較容易，但是遇到不對稱的結(jié)構(gòu)時（如圖2），就不那么直觀了，求解比較煩瑣。

二、基于解析幾何的節(jié)點位移解法

本文以例題1為例，給出一種基于解析幾何的求解方法。具體求解過程如下：第一步，設(shè)桿1、2的軸力分別為F■、F■，以節(jié)點A為研究對象，列平衡方程可求得：F■=F■=■=57.726kN。第二步，由各桿軸力計算各桿的伸長量，Δl■=Δl■=■=1.12mm，以上兩步和教材是一樣的。第三步，桿件伸長后，節(jié)點A仍然鉸接在一起。因此，節(jié)點A的新位置是以點B為圓心，半徑為R=l■+Δl■的圓，和點C為圓心，半徑為R=l■+Δl■的圓的交點（圖3中的點A■）。

如圖3所示，以點A為原點，x軸水平向右為正，y軸豎直向上為正，建立直角坐標系。

則點A坐標為（0，0）；點B坐標為（-1，1732051）；點C坐標為（1，1732051）。上述兩個圓的交點通過解下列方程組求得：

（x+1）■+（y-1.732051）■=2.00112■（x-1）■+（y-1.732051）■=2.00112■

可知，x=0；y=±1.733344+1.732051。顯然取y=-0.001293，即A■的坐標為（0，-0.001293），與點A坐標相比，發(fā)生了沿y軸向下的位移，大小為1.293mm，與教材解得的結(jié)果一致。

三、討論

與教材的解法相比，本文提出的方法具有兩個優(yōu)點：第一，便于理解，無需“以切代弧”，也不需要尋找桿件變形量和節(jié)點位移間的聯(lián)系（而這往往是教材方法的難點），取而代之的是求解圓的交點，即解方程組的問題，只需要有高中解析幾何的知識即可理解和掌握，而且對于對稱或不對稱結(jié)構(gòu)解法是完全相同的。第二，本文方法中，求解圓交點的方程組求解比較復(fù)雜，但是可以編寫計算機程序來實現(xiàn)計算。學(xué)習(xí)《材料力學(xué)》或《工程力學(xué)》的是大二年級的學(xué)生，他們都已經(jīng)學(xué)習(xí)了程序設(shè)計，可以勝任這一工作，而且利用計算機求解問題，也是一種趨勢。本文提出的方法便于理解，無需“以切代弧”，也不需要尋找桿件變形量和節(jié)點位移間的聯(lián)系，只需求解圓的交點，即解方程組的問題，而且對于對稱或不對稱結(jié)構(gòu)解法是完全相同的。

參考文獻：

[1]西南交通大學(xué)應(yīng)用力學(xué)與工程系.工程力學(xué)教程[M].第2版.北京：高等教育出版社，2009.

[2]孫訓(xùn)方.材料力學(xué)[M].第4版.北京：高等教育出版社，2002.

基金項目：2011年三峽大學(xué)教研項目《水利工程特色的材料力學(xué)課件編制》（J2011045）。