一種確定奇異值分解降噪有效秩階次的改進方法

王建國，李 健，劉穎源

(東北電力大學 自動化工程學院，吉林 吉林 132012)

有效消除噪聲影響一直是旋轉設備故障診斷研究的重要內容之一[1]，特別是故障早期，由于調制源弱，早期故障信號微弱，并且受周圍設備的噪聲干擾，導致故障特征難以識別[2]。因此，最大限度地提高振動測量信號的信噪比[3-5]，是為故障特征信號的提取做好前期工作的重要環節[6-7]。

振動信號Hankel矩陣奇異值分解，作為一種非線性濾波方法，可以用于消除信號中的隨機噪聲成分，提取信號中的周期成分，得到相對純凈的故障信號[8-9]。

如何確定奇異值有效秩階次是該方法的關鍵技術之一，目前采用方法相對較多的是試湊法和均閥法，然而這兩種方法對操作者的經驗要求相對較高，且不易掌握。另一種方法是根據原始信號主頻個數的二倍關系來確定奇異值分解降噪的有效秩階次的方法[10]，該方法對仿真信號進行試驗分析取得了較好的效果。但是在實際工程應用中，由于工況的復雜性，振動信號的幅值和頻率伴隨脈動激發力的產生將出現調制現象，導致頻帶發生大幅度遷移，加之噪聲信號大量存在，使原始信號的主頻個數往往難以區分，致使有效秩階次難以確定。為此本文提出了基于Hankel矩陣和奇異值差分譜單邊極大值分解技術，研究奇異值分解降噪特性消除系統信號中混合噪聲的改進方法。從奇異值差分譜出發，避免了主頻個數不容易確定問題的發生，實際測試中取得了較好的效果。

本方法提供了一個確定有效秩階次的選取原則，使得操作者能夠有效地、快速地確定選取階次，而不用在單純依靠操作者的經驗來進行選取，提高了可操作性和實用性，避免了傳統差分方法只取最大值點的局限性，采用單邊極大值原則使得選取方法有效避免了過降噪現象發生，為后續故障診斷提供了有利的保證。

1 奇異值分解降噪機理

假設從滾動軸承測得的含有噪聲的數據信號為y=[y1,y2,…,yN]，基于相空間重構理論，可以將上述數據構造成p×q階Hankel矩陣：

(1)

式中Hm為p×q階矩陣，其中N為信號長度，n=p+q-1并且p≥q。

矩陣Hm通過重構吸引子的特征揭示了它在重構空間的動態特性，因此可以將Hm表示為Hm=D+W的形式，D表示光滑信號在重構空間的p×q矩陣，W表示噪聲干擾信號的p×q矩陣。所以如何對原始信號進行降噪，就是怎樣尋找到D的最佳逼近矩陣[11]。

對Hm進行奇異值分解可以得到：

Hm=USVT

(2)

式中U和VT分別為p×p和q×q矩陣，S為p×q的對角矩陣，主對角線元素為λi(1,2,…,k)，k=min(p,q)即：

S=diag(λ1,λ2,…,λk)

(3)

由此可見，如何確定重構矩陣的維數和有效秩的階數，是解決上述方法的至關重要問題。

2 重構矩陣的維數和有效秩階數的確定

2.1 重構矩陣的維數確定

Hankel重構矩陣維數的確定，直接影響降噪效果的好壞。文獻[10]通過對多組不同長度及頻率的源信號進行分析后發現，最佳維數基本在p=N/2處的一個鄰域內產生，并且在此鄰域所取的維數值的降噪效果比較理想，而且能滿足工程要求。因此，重構矩陣的結構可以根據振動信號長度N來確定，工程應用中可以取p=N/2。經驗證該方法可行且效果較好，本文不再贅述。

2.2 有效秩階數的確定

奇異值的差分譜序列bi=λi-λi+1,i=1,2,…,q-1描述了奇異值序列的具體變化情況。

差分后形成序列B=(b1,b2,…,bq-1)充分的反應了相鄰的兩個奇異值的變化。根據定義的差分譜序列可知，兩個相鄰的奇異值差別越大，那么他們在整個差分譜中所表現出的特征也越明顯，也就是說它們之間產生的峰值也就相對越大。而這些較大的峰值通常攜帶有非常重要的狀態信息，因此較大峰值尤其應受到關注，這其中也包含著最大峰值，但并不意味著最大峰值就是最值得關注的信息。而這些較大峰值的出現就是由于有用信號和噪聲信號的不相關而導致的。因此，根據所得峰值的不同，選則較恰當的奇異值有效秩階次就可以去除噪聲信號從而得到有用信號。

故本文提出一種單邊極大值原則選取方法，即在奇異值差分譜中從右至左，選擇第一個至少單邊與其相鄰峰值比較，差距絕對值最大的極大峰值的對應點位置，來確定重構信號的有效秩階次，從而完成對有用信號的重構和對噪聲的有效消除。

3 有效性驗證

3.1 仿真驗證及分析

為驗證上述方法的有效性，分別用不同頻率的信號源加載不同能量分貝的噪聲對該方法進行驗證。現選取x(t)1和x(t)2兩個信號進行分析，并通過對比降噪后信號和加噪前信號的圖譜接近程度和信噪比的大小來衡量該方法的高效實用性。

x(t)1=(1+0.6t)sin(80πt)+2cos(30πt)+ζ(n)

x(t)2=5sin(3πt)+4sin(8πt)cos(2πt+3π)+

8sin(8πt)+ζ(n)

式中：ζ(n)分別表示強度為5 dB和15 dB的高斯白噪聲。

以上兩個信號源采樣長度均取1 024，Hankel矩陣行數取512。x(t)1采樣頻率為1 024 Hz，x(t)2采樣頻率為200 Hz。跟據奇異值差分譜我們可以看到x(t)1較大峰值處大奇異值分別為2和4，其中最大峰值處為4，x(t)2較大峰值處大奇異值分別是2、4和8，其中最大峰值處為2，根據本文提到的奇異值差分譜單邊極大值原則，所以兩個信號源有效秩階數分別確定為4和8，降噪后分別對應于圖1和圖2中的圖d。為了進行比較，對信號x(t)1的奇異值2、6和x(t)2的奇異值6、10也做了相應處理，對應于圖1和圖2中的圖(e)和圖(f)，降噪前后的SNR如表1所示。

表1 信號降噪前后SNR

從表1中可以看出，噪聲信號通過奇異值差分譜單邊極大值原則降噪，SNR得到大大提高，而圖(d)是選取有效秩階數為4和8的信噪比，為最大。x(t)1信號圖a降噪前的SNR之所以出現負值，是由于源信號的能量小于噪聲能量的原因，即源信號被噪聲信號所覆蓋所造成。為了能更清晰的觀察，將圖1和圖2中奇異值差分譜值分別取前100個奇異值進行放大，從中可以看到差分譜有效地反映了所包含大信息量的奇異值個數，并且根據單邊極大值原則選擇了有效秩階數分別為4和8進行降噪，而不是選取了最大峰值所對應的有效秩階數。

x(t)1選擇有效秩階數為4，是因為4的峰值與其相鄰峰值的2比較差距最大，而x(t)2之所以選擇8是因為遵循本文所提原則，從右至左8與4所對應峰值的差距最大，雖然比較后為負值但是原則提到絕對值最大，且從右至左8點為第一個符合要求的點，所以選擇8為x(t)2有效秩階數。降噪后的信號圖譜比較光滑并且與加噪之前的信號圖譜對比基本吻合。

圖1(e)為有效秩階數為2的降噪圖形，可以看出降噪后的圖形明顯失真，主要原因是因為有效秩階數的選取偏低，造成過降噪后果，圖1(f)為有效秩階數為6的降噪圖形，由于有效秩階數選取偏高導致降噪后的效果存在大量毛刺，說明噪聲沒有完全去掉，仍有保留。圖2(e)選取6為有效秩階數，出現了過降噪的現象，那么由此可見，如果選取最大峰值為4的點，過降噪現象將會更加明顯，而圖2(f)也是由于有效秩的選取偏高進而出現了欠降噪的結果。

圖1 信號x(t)1降噪結果

圖2 信號x(t)2降噪結果

3.2 實驗驗證及分析

本次研究對象為型號N205的軸承外圈故障信號，滾動體個數Z=12，軸承節圓直徑D=39 mm，滾動體直徑d=7.5 mm，壓力角0。信號采集頻率為12 800 Hz，轉速為1 440 r/min，采樣點個數取3 000，實驗結果如下：

圖3 軸承外圈故障信號降噪結果

圖4 軸承外圈故障信號降噪后包絡譜

從圖3中可以看出，根據本文提出的單邊極大值原則選擇有效秩階數為44，而沒有選擇最大峰值階數4。從圖(d)和圖(c)的比較可以看出，降噪后的信號有效地保留了源信號的周期部分，去除了噪聲干擾信號，為后期的故障特征信號提取創造了條件。本文同時作了經驗法經常容易選取的有效秩為4的降噪效果圖，如圖(e)所示，幅值同樣降低很多，但是為了進一步表征軸承故障的物理意義，對圖(c)、圖(d)和圖(e)三組信號做了如下處理。

根據軸承外圈故障特征頻率公式可得：

為了提取外圈故障特征頻率，進一步對降噪后的信號做Hilbert包絡并進行頻率譜分析，結果如圖4所示。

從圖(a)功率譜的分析可以發現存在一個明顯的峰值116.4 Hz，對應軸承外圈故障特征頻率，同時存在232.8 Hz、348.5 Hz和464.9 Hz頻率成分，這剛好與故障特征頻率的二倍頻、三倍頻、四倍頻相對應，跟軸承外圈故障特征相吻合。如圖(b)所示為原始信號包絡譜，與圖(a)降噪后的包絡譜相比較可知，信號的低頻和高頻成分得到了很好的抑制，并且圖(b)中的軸承故障特征頻率的三倍頻和四倍頻幾乎被邊頻帶和噪聲信號所淹沒，其中四倍頻尤為明顯，經過降噪后，如圖(a)所示，三倍頻和四倍頻都有清晰顯露，使故障特征頻率更加精準的表現出來，更加有利于對軸承振動信號進一步分析。而圖(c)中不但沒有顯示出明確的故障頻率信息，而且功率譜圖像嚴重失真，缺少大量信息。故此可以分析，該譜是由于降噪的有效秩階數過高，從而導致嚴重過降噪，失去有用信號所造成。所以，通過對比試驗，進一步的驗證了本文的降噪方法的有效性。

4 結 論

(1) 奇異值分解降噪有效秩單純的選取差分譜中最大值峰值所對應的點，并非能得到最佳降噪效果，且容易丟失有用信號。

(2) 采用單邊極大值原則能夠方便、有效地選取有效秩降噪階數，和傳統的方法相比，給出選取原則，很大程度上減少了對操作人員經驗的依賴，且在一定程度上避免了過降噪現象的產生。

(3) 針對旋轉設備故障信號的噪聲干擾問題，本文經過數值仿真和對實際軸承的實驗研究表明，基于奇異值差分譜單邊極大值降噪的原則，不但可以直觀有效地確定奇異值有效秩降噪階數，而且具有良好的降噪效果，一定程度上提高了信號的信噪比，為后續的故障診斷工作提供了有利條件。

[1] 陳恩利，吳勇軍，申永軍．基于改進奇異值分解技術的齒輪調制故障特征提取[J]．振動工程學報，2008，21(5)：530-534．

CHEN En-li，WU Yong-jun，SHEN Yong-jun．An improved method of detecting modulated gear fault characteristic based on singularity value decomposition[J]．Journal of Vibration Engineering，2008，21(5):530-534．

[2] 湯寶平，蔣永華，張詳春． 基于形態奇異值分解和經驗模態分解的滾動軸承故障特征提取方法[J]． 機械工程學報，2010，46(5):37-42．

TANG Bao-ping，JIANG Yong-hue，ZHANG Xiang-chun． Feature extrac-tion method of rolling bearing fault based on singular value decomposition-morphology filter and empirical mode de-composition[J]．Journal of Mechanical Engineering，2010，46(5):37-42．

[3] 陳志新,徐金梧,楊德斌.基于復小波塊閾值的降噪方法及其在機械故障診斷中的應用[J].機械工程學報，2007，43(6): 200-204.

CHEN Zhi-xin，XU Jin-wu，YANG De-bin.Denoising method of block thresholding based on DT-CWT and its application in mechanical fault diagnosis [J].Journal of Mechanical Engineering，2007，43(6): 200-204.

[4] 彭志科,盧文秀,褚福磊.新的基于小波變換的振動信號消噪方法[J].機械工程學報，2006，42(4): 18-22.

PENG Zhi-ke，LU Wen-xiu,CHU Fu-lei.Novel wavele based method for vibration signal noise cancellation.[J].Journal of Mechanical Engineering，2006，42(4): 18-22.

[5] 李富才,何正嘉,陳進.小波域相關濾波法及其早期故障預示應用[J].振動工程學報，2005，18(2): 145-148.

LI Fu-cai，HE Zheng-jia，CHEN Jin.Wavelet transform domain correlation filter and its application in incipient fault prognosis[J].Journal of Vibration Engineering，2005，18(2): 145-148.

[6] 胡愛軍,唐貴基,安連鎖.基于數學形態學的旋轉機械振動信號降噪方法[J].機械工程學報，2006，43 (4) 127-130.

HU Ai-jun，TANG Gui-ji，AN Lian-suo.De-noising technique for vibration signal sofrotating machinery based on mathematical morphology filter[J].Journal of Mechanical Engineering，2006，43 (4): 127-130.

[7] 王成棟,朱永生,張優云.轉子振動信號消噪方法研究[J].振動、測試與診斷，2003，23(4): 252-255.

WANG Cheng-dong,ZHU Yong-sheng,ZHANH You-yun.Study on denoising rotor vibration signals contaminated by electromagnetic interference[J].Journal of Vibration，Measurement & Diagnosis，2003，23(4): 252-255.

[8] 張波,李健君.基于Hankel矩陣與奇異值分解(SVD)的濾波方法以及在飛機顫振試驗數據預處理中的應用[J].振動與沖擊，2009，28(2):162-166.

ZHANG Bo，LI Jian-jun.Denoising method based on hankelmatrix and SVD and its application in flight flutter testing data preprocessing[J].Journal of Vibration and Shock，2009，28(2):162-166.

[9] 陳恩利，張璽，申永軍，等．基于 SVD 降噪和盲信號分離的滾動軸承故障診斷[J]．振動與沖擊，2012，31(23)：185-190.

CHEN En-li，ZHANG Xi，SHEN Yong-jun，et al．Fault diagnosis of rolling bearings based on SVD denoising and blind signals separation [J] ．Journal of Vibration and Shock，2012，31(23)：185-190.

[10] 錢征文，程禮，李應紅.利用奇異值分解的信號降噪方法[J].振動、測試與診斷，2011，31(4):599-463.

QIAN Zheng-wen，CHENG Li，LI Ying-hong.Noise reduction method based on singular value decomposition [J].Journal of Vibration，Measurement&Diagnosis,2011，31(4):599-463.

[11] 王太勇，王正英，胥永剛，等． 基于 SVD 降噪的經驗模式分解及其工程應用[J]． 振動與沖擊，2005，24( 4):96-98．

WANG Tai-yong，WANG Zheng-ying，XU Yong-gang，et al． Empirical mode decomposition and its engineering applications based on SVD denoising[J]． Journal of Vibration and Shock，2005，24( 4):96-98．

[12] 朱啟兵,劉杰,李允公.基于結構風險最小化原則的奇異值分解降噪研究[J].振動工程學報,2005,18 (2):204-207.

ZHU Qi-bing,LIU Jie,LI Yun-gong,Wen Bang-chun .Study on noise reduction in singular value decomposition based on structural risk minimization[J].Journal of Vibration Engineering,2005,18 (2):204-207.

[13] 孫鑫暉，張令彌，王彤．基于奇異值分解的頻響函數降噪方法[J]．振動、測試與診斷，2009,29(3):325-328.

SUN Xin-hui，ZHANG Ling-mi，WANG Tong.Noise reduction of frequency response function using singular value decomposition[J].Journal of Vibration，Measurement & Diagnosis,2009,29(3):325-328.