基于軟件延時補償的高速磁懸浮電機轉子低頻顫振抑制研究

劉 健，韓邦成，王英廣

(1. 北京航空航天大學 慣性技術重點實驗室，北京 100191；2. 新型慣性儀表與導航系統技術國防重點學科實驗室，北京 100191)

磁軸承(Magnetic Bearing)因具有無機械磨損、無需潤滑、電磁力可控等優點[1]被研究、應用，磁懸浮電機即為應用范例。隨磁懸浮技術的日益成熟，磁懸浮電機廣泛應用于如磁懸浮分子泵、空氣壓縮機等民用產品中。磁懸浮分子泵及空氣壓縮機等產品性能要求主要動力部件即磁懸浮電機須在高轉速下才能提升產品性能指標。但隨轉速的提高，磁懸浮電機轉子高速時失穩逐漸凸顯。因此，提高其穩定性，確保磁懸浮電機高速時穩定運轉為須解決的重要問題。磁懸浮電機轉子高速時失穩的主要表征為轉速同頻分量增大及低頻顫振增加，前者可利用動平衡技術解決。確保磁懸浮轉子具有較好動平衡即高速時轉速同頻分量較小[2-3]情況下，低頻顫振為關鍵因素，抑制磁懸浮轉子高速時的低頻顫振，可有效提高穩定性。

對扁平轉子因陀螺效應引起的低頻顫振，磁懸浮陀螺與磁懸浮飛輪已有研究[4-5]，并提出有效解決方法；磁懸浮電機轉子細長，陀螺效應影響可忽略，但磁懸浮電機轉子高速時低頻顫振仍劇烈，目前對其研究較少。而用先進控制算法提高磁懸浮轉子高速的穩定性[6-7]，抑制低頻顫振，且先進控制算法運算復雜，加之控制器性能限制，此方法不但未能有效抑制低頻顫振，反會使系統相位滯后更大，加劇不穩定。Jugo等[8-9]利用頻域模型對磁懸浮轉子高速穩定性進行研究，認為磁軸承非線性力造成磁懸浮轉子高速時低頻顫振的增大，進而導致系統失穩。但該研究僅限于理論分析，未提出有效解決方案。

本文通過100 kW高速磁懸浮電機分析、實驗，證明較大控制系統計算延時可致功放系統相位滯后加劇，高頻輸出電流跟蹤能力減弱，造成磁懸浮轉子高速時低頻顫振增大。該電機以24 000 r/min轉速運行時實驗結果表明，消除控制系統計算延時可有效抑制磁懸浮轉子高速時低頻顫振、提高穩定性。

1 控制系統計算延時影響分析

1.1 控制系統計算延時建模

圖1 控制系統計算延時模型

圖1為控制系統內部DSP端與FPGA端對應關系，磁軸承控制系統中DSP計算的控制量時刻與FPGA更新控制量時刻不同步造成控制系統計算延時。DSP由AD采樣始，至PID算法計算出控制量，所需時間Tcal稱運算時間[10]，引入延時

Gcal(s)=e-sTcal

(1)

在DSP的PID運算中，亦運行FPGA，但因第一周期FPGA內周期值與控制量值均為0，故FPGA端處于空閑狀態，空閑時間為Ti，引入延時：

Gi(s)=e-sTi

(2)

DSP的AD運算與FPGA空閑時段同時進行，因FPGA運行時刻滯后于DSP的AD啟動時刻，對整個控制系統而言，此時段引入的延時與運算延時相同，均為Tcal。DSP中PID運算完成后，啟動周期值與控制量傳送，周期值早于控制量值一個指令傳送，兩者傳送時間間隔為Ts，引入延時為

Gs(s)=e-sTs

(3)

因此，理論上控制系統總延時時間為Tcal+Ts。 引入總延時：

Gdel(s)=Gcal(s)Gs(s)

(4)

實際中FPGA接收到DSP傳送的周期值后即開始PWM生成周期，Ts時段后接收的控制量值并未更新當前時刻，而等本次周期結束后下周期開始前更新。控制量更新時刻滯后于控制量計算時刻一個PWM周期。設PWM周期時間為Td，則此段延時時間為

Gd(s)=e-sTd

(5)

實際運行時控制系統總延時時間為Tcal+Td。總控制系統延時為

Gdel(s)=Gcal(s)Gd(s)

(6)

由于控制量更新時刻滯后計算時刻，實際控制系統延時較理論延時多Td-Ts。相對50 μs的PWM周期時間，指令間隔時間Ts可忽略不計，故控制系統實際運行時引入的計算延時較理論值多50 μs，此延時作用于功放環節會使功放電流高速時相位滯后加劇，功放電流高頻跟蹤能力減弱，磁懸浮轉子高速時低頻顫振劇烈。

1.2 考慮計算延時的功放系統建模

圖2 功放系統線性模型

磁軸承功放參數輸入由磁軸承控制器給出，輸出則為流過磁軸承線圈的電流，一般等效為線性模型，見圖2。由該模型可獲得閉環傳遞函數為

(7)

式中：L，R分別為磁軸承線圈電感、電阻；ka,kf分別為功放開環放大倍數、電流反饋系數。

令s=jω，則式(7)可寫為

(8)

由式(8)，功放相位滯后φamp為

(9)

實際運行時控制系統存在計算延時，其計算延時作用于功放環節，致實際功放模型與理論模型稍有差別。考慮控制系統計算延時影響的功放環節模型見圖3。

圖3 考慮計算延時的功放系統模型

其傳遞函數為

(10)

式中：t為由控制系統計算延時引入的延時時間常數。

將est泰勒級數展開，取前兩項并化簡得：

(11)

令s=jω，代入式(11)得：

(12)

由式(12)，考慮控制系統計算延時的功放環節相角滯后為

(13)

(14)

將式(14)進一步化簡為

(15)

t=0時，φdel=-arctanA=φamp；t>0時，式(15)可進一步化簡為

(16)

因R/L為常數，且Aω∝ω2，故控制系統計算延時的存在會給功放環節引入附加的相位滯后，且隨ω的增大而增大，高速時表現較顯著。而φdel隨控制系統計算延時t的增大而增大。因此，控制系統計算延時的存在會使功放環節相位滯后加劇，導致功放系統高頻時輸出電流的跟蹤能力減弱、磁懸浮轉子低頻顫振劇烈。因此，磁軸承功放系統高速時輸出磁力非線性可致磁懸浮轉子系統低頻特性不穩定，易造成磁懸浮轉子高速時低頻顫振[12]。而功放系統輸出磁力非線性主要表征為功放系統高頻時飽和，輸出電流跟蹤能力減弱，須采取有效措施減小甚至消除控制系統計算延時。

2 控制系統計算延時消除方法

針對現用磁軸承系統，電流采樣通過電流互感器而非采樣電阻，因此不能采用不平衡電阻補償網絡等硬件方式進行延時補償。本文提出的基于軟件方式的控制系統計算延時消除方法簡單易行、效果明顯，具有較強實用價值。

常用控制系統中，AD采樣頻率為6.6667 kHz，FPGA產生的PWM頻率為20 kHz。由PWM與AD頻率關系看出，PWM每隔3個周期接收到一個DSP計算的控制量。FPGA在每個周期完成后均會進行一次控制量更新(PWM上升沿更新)。AD采樣與PWM間生成關系見圖4。由圖4(a)看出，系統上電后，DSP運行并觸發FPGA啟動，初始FPGA中PWM周期值及占空比值均為0，處于空閑狀態。而圖4(b)中，AD第一次采樣到FPGA第一次更新周期值時間約9 μs，而自AD采樣至算出控制量更新值需11 μs，故只能等下周期才能更新該周期控制量值，造成控制量更新時刻晚控制量計算時刻一個PWM周期，即50 μs。該系統計算延時高速時會造成磁懸浮系統相位嚴重滯后(600 Hz，50 μs延時相位滯后接近10°)。

圖4 AD采樣時刻與PWM關系原理及示波器采集

為消除系統計算延時，采用的解決方案見圖5。由圖5(a)看出，此方案利用FPGA并行性，在FPGA啟動時刻與控制量接收時刻間插入延時補償可達到最小化控制系統計算延時目的。加入延時補償時間為Tcal+Ts，運算時間Tcal與指令間隔Ts可在DSP端精確獲得。為保證實用性，加入的延時補償時間亦可略大于Tcal+Ts。雖仍引入計算延時，但延時時間較短(小于1 μs)，可使計算延時最小化。加入軟件延時補償算法后，系統運行過程為：系統上電后DSP啟動運行，在第一個AD采樣啟動后通過外圍總線向FPGA發送運行指令及延時時間量，當延時達到要求值時，FPGA開始生成PWM信號。此段軟件延時補償的加入，能保證DSP算出的控制量更新值及時更新，使控制系統計算時間延時得以減小甚至消除，達到系統運行最優狀態。由于AD采樣周期為PWM周期整數倍，此延時補償程序只需在第一個PWM發生時執行，便可保證其正確性。加入延時補償算法后，AD采樣沿與PWM產生沿間時間間隔約12 μs，略大于自AD采樣至算出控制量時間(約11 μs)，見圖5(b)。

圖5 系統延時補償原理及示波器采集

通過補償算法，消除控制系統計算延時，不僅能補償功放系統高頻時相位滯后、提高高頻時功放輸出電流的跟蹤能力、抑制磁懸浮轉子高速時低頻顫振，且能加大系統高頻時幅值衰減、提高系統高頻時的穩定域度及磁懸浮轉子高速時的穩定性。

3 實驗驗證

為驗證延時補償算法補償效果，以100 kW電機為實驗平臺，進行掃頻及升速實驗驗證，系統參數見表1，徑向控制參數見表2。

表1 100 kW磁懸浮電機高速轉子系統參數

表2 100 kW磁懸浮電機徑向控制參數

3.1 延時補償掃頻實驗驗證

補償前后磁懸浮轉子閉環系統幅頻、相頻對比見圖6。由圖6(a)看出，加入系統計算延時補償算法后，閉環系統相位得到較好補償，相位滯后得到明顯改善。對系統相位補償效果在低、高頻均有體現，低頻60 Hz補償相位7°，低頻80 Hz補償相位12°，中頻300 Hz補償相位11°，600 Hz補償相位15°；高頻1000 Hz補償相位23°，相位補償效果較好。由圖6(b)看出，系統延時補償后，閉環系統低、高頻時幅值增益亦明顯衰減，60 Hz時幅值增益衰減3 dB，800 Hz時幅值增益衰減2 dB。表明計算延時補償后磁懸浮轉子低頻顫振減小，高頻穩定性提高。

圖6 系統計算延時補償前后相頻、幅頻圖

由圖6及數據看出，延時補償算法對閉環系統作用效果較好，既可抑制磁懸浮轉子低頻顫振，又能提高系統高速時的穩定性。

3.2 延時補償升速實驗驗證

為驗證延時補償算法對磁懸浮電機轉子低頻顫振的抑制作用，以表1中100 kW電機為實驗平臺、表2控制參數為實驗條件，進行補償前后升速對比實驗，見圖7。

圖7 100 kW電機實驗平臺

在表2控制參數調控下，100 kW電機穩速升至24 000 r/min，補償前后轉子低頻增益及位移跳動量對比見圖8。

圖8 磁懸浮電機補償前后升速對比

由圖8看出，磁懸浮電機補償前升速至24 000 r/min時低頻增益為-30 dB，補償后為-50 dB；徑向BY通道位移跳動量補償前57.6 μm，補償后20.8 μm，跳動量減小36.8 μm，控制精度提高63.89%。實驗結果表明，控制系統計算延時消除能較好抑制磁懸浮電機轉子的低頻顫振、減小磁懸浮電機轉子高速時的跳動量及控制精度。

4 結 論

(1) 本文針對磁懸浮轉子在高速時低頻顫振加劇、穩定性變差等問題，提出的通過消除控制系統延時補償功放系統相位滯后、提高功放系統高頻時電流跟蹤能力方法，能抑制磁懸浮轉子高速時低頻顫振、提高磁懸浮轉子高頻穩定性。

(2) 實驗結果表明，加入延時補償后，100 kW磁懸浮電機轉子在24 000 r/min時低頻增益減小20 dB，轉子跳動量減小36.8 μm，控制精度提高63.89%。充分說明控制系統計算延時方法的有效性。

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