基于改進HELS方法的局部近場聲全息技術(shù)研究

王 冉，陳 進，董廣明

(上海交通大學 機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室，上海 200240)

20世紀80年代，Maynard等[1-2]提出的近場聲全息(NAH)技術(shù)，為求解聲輻射問題帶來較大突破。傳統(tǒng)基于快速傅里葉變換(FFT)的NAH具有理論成熟、計算快速、易于實現(xiàn)等優(yōu)點，但其要求全息孔徑須大于聲源尺寸，因現(xiàn)場條件限制，尤其對大型聲源該要求無法滿足。為此局部近場聲全息(PNAH)[3-5]技術(shù)應運而生，不僅突破傳統(tǒng)NAH對全息孔徑的限制，且在小全息孔徑下仍具有較高計算精度，極大方便NAH技術(shù)的應用。

Helmholtz方程最小二乘法(HELS)[6-9]將聲場近似展開為一系列正交基函數(shù)的線性組合，對測點及重建點位置無限制，所需測點數(shù)少、計算效率高、易于實現(xiàn)，且允許聲場局部重建。但HELS方法對不規(guī)則形狀聲源重建精度較低。實際工程中較多聲源形狀復雜，常含多個組成部分，或聲場由多個相干聲源組成，整體聲源形狀不規(guī)則，難以用HELS方法獲得理想重建結(jié)果。對多源相干聲場研究結(jié)合波疊加法與統(tǒng)計最優(yōu)NAH特點發(fā)展的聲場分離技術(shù)[10]，可在單全息面測量條件下實現(xiàn)相干聲源聲場分離。但對聲場局部重建仍需進一步研究。

針對HELS方法缺點，本文提出改進的HELS方法，并在其基礎(chǔ)上進行數(shù)據(jù)外推，發(fā)展出新的PNAH技術(shù)。改進的HELS方法將復雜聲源聲場視為各組成部分產(chǎn)生的相干聲場疊加，各部分單獨產(chǎn)生的聲場分別由一組獨立、正交球面波的線性組合表示，利用測量聲壓求得線性組合系數(shù)，便可計算輻射聲場；再利用改進HELS法的計算結(jié)果進行數(shù)據(jù)外推，通過迭代算法減小外推誤差，等效擴大測量面；用外推數(shù)據(jù)進行聲場重建，實現(xiàn)復雜聲源或多源相干聲場的局部重建，提高重建精度。聲場重建為典型的反問題，因此在計算正交球面波的組合系數(shù)時，采用Tikhonov正則化方法[11]解決病態(tài)問題，正則化參數(shù)由廣義交叉驗證(GCV)法[12]確定。仿真分析及半消聲室中雙音箱聲源的實驗研究已驗證該方法的正確性、有效性及可行性。

1 HELS方法聲場重建原理

考慮均質(zhì)、可壓縮、無粘性流體中以角頻率ω振動的任意輻射體，其聲壓滿足簡化波動方程，即Helmholtz方程。HELS方法的基本思想即結(jié)合邊界條件求解Helmholtz方程，將任意場點x處的復聲壓p(x)表示為一組正交基函數(shù)的線性組合：

(1)

式中：ρ為介質(zhì)密度；c為聲速；Ψ為基函數(shù)；Cj為對應系數(shù)。坐標系不同基函數(shù)亦不同，球坐標系下基函數(shù)為球面波函數(shù)，由于球面波函數(shù)在MATLAB等軟件的函數(shù)庫中可直接獲得，故通常采用球坐標系，Ψ可表示為

(2)

假設測點數(shù)為M(M≥J)，據(jù)HELS方法，測量聲壓向量可表示為矩陣形式：

Pn=ρcΨHC

(3)

式中：

(4)

采用最小二乘法消除一階誤差，得基函數(shù)系數(shù)向量為

(5)

式中：上標“*”代表矩陣共軛轉(zhuǎn)置。

2 基于改進HELS法的PNAH基本原理

2.1 改進的HELS方法

常規(guī)HELS方法用球面波函數(shù)作基函數(shù)時，較適用于外形尺寸長寬高比接近1:1:1的球形或近似球形聲源。用于其它形狀聲源時，通常將聲源包含在虛擬球面內(nèi)作為球形聲源處理。一方面測量需在含聲源的最小球面外進行，損失了倏逝波成分，另一方面球面波函數(shù)在聲源形狀高度不規(guī)則時無法精確描述聲場，導致聲場重建精度較低。工程實際中聲源形狀較復雜，常含多個組成部分，或存在多個聲源，此時整體聲源形狀不規(guī)則，尤其當各組成部分或聲源聲場相干時，用常規(guī)的HELS方法難以獲得理想的重建結(jié)果。對此本文提出改進的HELS方法。設復雜聲源含K個組成部分，若各部分為相干聲源，據(jù)相干聲場的可疊加性，實際聲場可視為各部分聲場的疊加，則式(1)可改寫為

(6)

式(6)用矩陣形式表示為

Pn=ρcΨACA

(7)

CA=(ρc)-1[ΨA]-1PH

(8)

2.2 數(shù)據(jù)外推

為提高聲場重建精度，提出基于改進HELS法的PNAH，其核心為數(shù)據(jù)外推。聲源、重建面、全息面及擴展面間位置關(guān)系見圖1。數(shù)據(jù)外推目的即由全息面H1上N1個測點的聲壓PH1(xh1)獲得更大擴展面H2上N2個點聲壓PH2(xh2)，據(jù)可用外推聲壓進行聲場重建，從而以數(shù)值計算方式等效擴大全息孔徑，增加算法輸入的聲場數(shù)據(jù)，減小有限孔徑對重建結(jié)果影響，提高重建精度及效率。

圖1 數(shù)據(jù)外推基本布局

若已知全息面H1上測量聲壓PH1，利用改進的HELS方法由式(8)可得系數(shù)向量：

{CA}(1)=(ρc)-1[ΨA]-1PH1

(9)

計算得擴展面H2上聲壓為

{PH2}(1)=ρcΨB{CA}(1)=ΨB[ΨA]-1PH1

(10)

由于擴展面H2含測量面H1，將{PH2}(1)中位于H1內(nèi)的部分用實測聲壓PH1代替。再將{PH2}(1)作為式(8)的輸入，得系數(shù)向量{CA}(2)，進而計算{PH2}(2)，將與H1重合部分用實測聲壓替代后進入下次迭代。迭代過程可表示為

(11)

(12)

式中：i為迭代次數(shù)；UB為ΨB進行SVD后所得矩陣；

(13)

式中：eps為閾值取10-5。該迭代終止條件及閾值選取見文獻[13]。

實際上，經(jīng)大量仿真、實驗結(jié)果驗證，外推結(jié)果經(jīng)一定次數(shù)迭代后趨于穩(wěn)定，因此可在應用迭代終止條件前進行試探性迭代，對此Jia等[14]已證明此結(jié)論的正確性與合理性。而有關(guān)迭代收斂性理論推導證明仍需進一步研究。用外推數(shù)據(jù)作為改進HELS法的輸入進行全息重建，得重建面聲壓：

PR=ΨR[ΨB]-1PH2

(14)

式中：ΨB為重建面R上所有重建點基函數(shù)矩陣。

3 數(shù)值仿真

為驗證基于改進HELS法PNAH的有效性，對多聲源仿真分析。兩個脈動球源，半徑均0.1 m，中心分別位于(-0.4,0,0) m、(0,0,0) m處，表面法向振速2.5×10-3m/s，相干聲場頻率1 000 Hz。全息面H1位置zH=0.15 m，尺寸0.4 m×0.4 m，含5×5個測點，擴展面H2含13×13個測點。重建面R位置zR=0.11 m，尺寸與H2相同，所有網(wǎng)格間距均為0.1 m。測量數(shù)據(jù)PH1中加入信噪比30 dB的隨機噪聲。定義聲場重建的平均相對誤差為

(15)

重建面理論聲壓分布見圖2。用常規(guī)HELS方法進行聲場重建，所得聲壓分布見圖3。與圖2理論聲壓分布相比，常規(guī)HELS方法重建的聲場完全失真，無法準確識別出聲源位置。聲場重建相對誤差最大為552.5%，平均誤差為55.88%。

圖2 重建面理論聲壓等高線圖

用改進的HELS方法進行聲場重建，分別以兩個球源中心為球面波基函數(shù)原點，利用兩組獨立的球面波函數(shù)組合表示兩球源各自聲場，測量聲壓為兩球源各自輻射聲壓之和。將測點聲壓中沿兩條軸線方向9個測點聲壓用于計算展開項系數(shù)，其余測點聲壓用于計算展開項數(shù)，用迭代法獲得最優(yōu)展開項數(shù)J=3，獲得對應的展開項系數(shù)進行聲場重建，重建結(jié)果見圖4。由圖4看出，重建結(jié)果得到較大改善，重建聲壓與理論值較接近，最大相對誤差約14%。

為進一步提高重建精度，采用基于改進HELS法的PANH技術(shù)，即利用25個測點聲壓進行數(shù)據(jù)外推獲得全息外144個新增點聲壓，再用外推聲壓進行聲場重建。利用迭代20次的外推數(shù)據(jù)重建結(jié)果見圖5。可見，重建精度獲得大幅提高，最大相對誤差降至4.05%，整體平均誤差僅0.87%。

圖5 數(shù)據(jù)外推20次迭代后重建誤差

為說明數(shù)據(jù)外推過程的收斂性，聲場整體重建誤差隨數(shù)據(jù)外推迭代次數(shù)的變化見圖6。由圖6看出，隨迭代次數(shù)的增加，重建誤差逐漸降低；迭代次數(shù)增加到50次后，誤差減小速度變慢，最終趨于穩(wěn)定值。在多次仿真分析中，迭代200次以內(nèi)大多可實現(xiàn)收斂，與基于FFT的PNAH[3]或基于邊界元算法的PNAH[4]相比，該方法收斂速度較快。

以上仿真結(jié)果說明，基于改進HELS法的PNAH不僅適用于復雜聲源或多源相干聲場的重建，且可提高重建精度、穩(wěn)定性良好。

4 實驗研究

為驗證基于改進HELS法的PNAH技術(shù)在實際應用中的正確性、可行性，在半消聲室中對雙音箱聲源進行實驗研究。實驗設置見圖7，消聲室本底噪聲15.6 dB(A)，室內(nèi)支架上放置兩音箱作為聲源，音箱紙盆中心分別位于(-0.4,0,0) m、(0,0,0) m，全息面上均勻布置間距0.1 m的5×5個傳聲器，測量距離zH為0.15 m。數(shù)據(jù)外推時，擴展面大小為1.2 m×1.2 m，網(wǎng)格間距及位置均與全息面相同。重建面位置zR=0.1 m，尺寸與擴展面相同。音箱產(chǎn)生的相干聲場頻率為1 000 Hz。

圖7 雙音箱實驗布置

常規(guī)HELS方法的重建結(jié)果見圖8。由圖8看出，聲源位置與實際音箱位置完全不符。取重建面與全息面對應位置的局部聲場重建結(jié)果與測量結(jié)果比較，計算得聲場重建相對誤差，最大誤差為193.9%，平均誤差為40.38%。

圖8 常規(guī)HELS法重建聲壓

采用本文改進的HELS方法，聲場重建結(jié)果見圖9。由圖9看出，盡管左邊聲源不夠明顯，但聲源位置與音箱實際擺放位置基本一致。與常規(guī)的HELS方法相比，改進的HELS方法更適用于復雜聲源或多源相干聲場的重建。

為說明數(shù)據(jù)外推對聲場重建精度影響，取全息面位置局部聲場重建結(jié)果與測量聲壓比較，以便計算聲場重建相對誤差。直接采用改進的HELS方法進行重建，相對誤差見圖10，最大誤差30%，平均誤差7.94%。采用數(shù)據(jù)外推數(shù)據(jù)進行重建，誤差見圖11，最大誤差3.63%，平均誤差5.67%。因此，數(shù)據(jù)外推過程可進一步減小聲場重建誤差、提高重建精度。該實驗驗證了基于改進HELS法的PNAH技術(shù)的有效性及可行性。

4 結(jié) 論

(1) 本文提出基于改進HELS法的PNAH技術(shù)。針對常規(guī)HELS方法對復雜聲源或多源相干聲場重建精度低的問題，提出的改進HELS方法，對聲場假設更合理，能成功重建復雜聲源或多源相干聲場。

(2) 利用改進HELS方法計算結(jié)果進行數(shù)據(jù)外推，再用外推結(jié)果進行聲場重建。通過計算方式等效增大全息面尺寸，提高聲場重建精度。通過仿真分析及實驗驗證，表明該技術(shù)不僅繼承了常規(guī)HELS方法優(yōu)點，可實現(xiàn)復雜聲源或多源相干聲場的局部重建，且重建精度較高；針對聲源類型接近工程實際，便于應用。

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