非線性遲滯阻尼對隔振系統力傳遞特性影響

孫靖雅，華宏星，肖 鋒，劉興天，黃修長

(1.上海交通大學 振動、沖擊、噪聲研究所,上海 200240;2.上海交通大學 機械系統與振動國家重點實驗室,上海 200240)

隔振裝置廣泛用于船舶、橋梁、航天、交通運輸等領域[1-6]，以減少振動、沖擊對設備使用精度及疲勞壽命的不利影響。為抑制隔振裝置響應，最常用為阻尼技術。傳統粘滯阻尼加入可抑制共振峰，但同時也會降低高頻區隔振性能。因此，能同時改善共振區、高頻隔振區隔振特性的非線性阻尼一直為熱門研究領域。Ruzicka[7]采用等效阻尼法研究任意速度指數的阻尼對單自由度隔振系統影響，認為共振峰處取相同等效阻尼系數時，速度指數大于1的阻尼有利于力激勵隔振；速度指數小于1的阻尼則有利于基礎位移激勵隔振。Guo等[8-12]采用不同方法亦獲得相同結論。對力激勵隔振，增大阻尼速度指數改善隔振效果亦會有不利影響。速度指數大于1時，激勵力幅值增大將導致等效阻尼系數隨之增大，會致高頻隔振效果下降，且速度指數大于2的阻尼一般需采用主動控制方能實現。而遲滯阻尼(結構阻尼)對隔振系統具有較好隔振效果，與粘滯阻尼相比，該類阻尼不僅能抑制共振峰，同時在高頻區的隔振性能也有所改善。但遲滯阻尼與材料的損耗因子有關[7]，且高損耗因子較難實現。Tang等[13-14]采用粘滯阻尼，通過改變阻尼器安裝方式，實現位移相關的幾何非線性阻尼。利用等效阻尼系數方法對粘滯阻尼作用下隔振效果研究結果表明，振動幅度較大時呈現為強阻尼；振動幅度較小時表現為弱阻尼。該類阻尼具有較好的隔振效果，不僅能抑制共振峰，也具良好高頻隔振性能。Raj等[4]研究在汽車懸架中應用的間隙隨活塞行程變化阻尼器，提出阻尼系數隨位移變化的阻尼隔振效果更好。Jia等[1]設計的新穎阻尼系數隨位移變化阻尼器，在船舶管路減振中得以應用。文獻[1-4]僅闡述該類阻尼器機理及優點，未從理論上分析該類阻尼器對隔振系統影響。本文采用平均法研究摩擦阻尼在幾何非線性條件下產生的非線性阻尼對隔振系統影響。該方法亦可分析任意速度指數的非線性阻尼對隔振系統影響。本文分析的摩擦阻尼引起的非線性阻尼，在小振幅條件下可簡化為遲滯阻尼。與材料阻尼損耗因子引起的遲滯阻尼不同，利用摩擦阻尼產生的遲滯阻尼，其阻尼系數大小可調節，并可實現材料內阻尼達不到的強阻尼效果。該阻尼可用于改善粘性阻尼隔振裝置的隔振性能。

鑒于目前研究衛星隔振常用單自由度隔振系統模型，模型基礎通常考慮為固定不動[15-16]，未考慮基礎質量對隔振性能影響。故本文建立可考慮基礎質量對隔振系統影響的二自由度無約束模型，采用平均法對系統運動方程求解獲得頻率-幅值方程，繼而獲得激勵下響應幅值。用導出的力傳遞率、力位移傳遞率分析粘滯阻尼及遲滯阻尼單獨作用下隔振特性，考慮兩種阻尼聯合作用下隔振效果。采用數值方法求解運動方程，并與理論結果比較。

1 隔振系統模型

令兩物體水平方向相對位移z=y-x，摩擦阻尼器兩端相對運動速度可表示為

(1)

得阻尼器水平方向阻尼力為

(2)

當z/a≤0.2時，阻尼力可近似簡化為

(3)

即小振幅時，垂直方向布置的摩擦阻尼器可在水平方向產生遲滯阻尼。

圖1 隔振系統示意圖

2 數學模型及求解

圖1隔振系統運動方程可表示為

(4)

用z=y-x消除式(4)中y，x可簡化為

(5)

式中：μ=mM/(m+M)。

(6)

設方程(6)解的形式為

u=U(τ)sin[φ(τ)]

(7)

式中：φ(τ)=Ωτ+ψ(τ)。

采用平均法解方程(6)可得幅值-頻率特性方程為(具體見附錄或文獻[5,9])：

(8)

則方程的解為

(9)

3 隔振系統傳遞率

將u=U(τ)sin[φ(τ)]代入式(4)，并設初始速度、位移均為零，得：

(10)

(11)

對力傳遞率，一般定義為輸出力與激勵力傅里葉變化的比值[8,17]，此時力傳遞率與力-位移傳遞率分別為(見附錄)：

(12)

(13)

4 討論

上兩種傳遞率均以dB表示，即20log10Tff與20log10Tfd。

4.1 兩種阻尼單獨作用下傳遞率特性

當ζ1=0,ζ2≠0時，隔振系統為傳統的線性隔振系統。其力傳遞率、力位移傳遞率分別為

(14)

(15)

當ζ1≠0,ζ2=0時，隔振系統為具有結構阻尼的非線性隔振系統：

(16)

(17)

由以上公式看出，影響傳遞率因素主要為質量、阻尼及激勵頻率。由圖2看出，在兩種阻尼單獨作用下，力傳遞率、力位移傳遞率規律相似，即在共振區阻尼增大，共振峰值減小；在高頻隔振區傳遞率隨阻尼的增大而增大，隔振性能變差。共振峰相同時，遲滯阻尼作用下高頻隔振區傳遞率上升較小，而粘滯阻尼作用下則上升較大。

圖3為兩種阻尼作用下傳遞率比值曲線，其中ΔT表示粘滯阻尼與遲滯阻尼作用下力傳遞率比值及力位移傳遞率比值。阻尼系數取ζ=ζ1=ζ2。由圖3看出，采用相同阻尼系數時，遲滯阻尼較粘滯阻尼隔振效果更好，不僅能抑制共振，且在高頻隔振區性能亦可得以改善。高頻區有遲滯阻尼的隔振系統傳遞率隨頻率下降速率為40 dB每十倍頻程，而粘滯阻尼下降速率為20 dB每十倍頻程。因此，采用遲滯阻尼可獲得較傳統粘滯阻尼更好的隔振性能。質量對傳遞率影響主要體現在隨剛體質量m的增大，力傳遞率不斷下降，剛體質量趨于無窮大時，力傳遞率接近零，此時無力傳遞于基礎；隨基礎質量M的增大，力傳遞率不斷增大，并趨于傳統單自由度隔振系統力傳遞率特性。需說明的是，本文給出的遲滯阻尼影響下力傳遞率公式與文獻[7]稍有區別，主要差異在于文獻[7]中對遲滯阻尼進行簡化，其表達式在高頻區較精確，在共振區存在一定誤差。式(16)結論較之更精確。

圖2 不同阻尼系數下，力傳遞率Tff和力位移傳遞率Tfd隨頻率的變化曲線(M=m=1)

對力位移傳遞率，或剛體質量或基礎質量趨于無窮大時，隔振系統力位移傳遞率均近似為零。其與力傳遞率公式有相似之處，但力位移傳遞率受激勵頻率影響。當激勵頻率增大時，力位移傳遞率迅速下降，但激勵頻率ω<1，系統傳遞率會被放大，即系統在低頻激勵下位移響應可能較大。實際物理意義可解釋為：激勵頻率遠小于共振頻率時，剛體與基礎可認為是牢固結合整體；剛體偏心質量位置改變時，剛體與基礎位移也會同時發生改變，但整個隔振系統質心保持不變。即剛體與基礎的最大位移有限，取決于偏心質量、偏心距乘積的大小。

(18)

求解后可得力傳遞率最大值對應頻率。

當ζ1=0,ζ2≠0時，力傳遞率最大值及對應頻率分別為

(19)

(20)

該結果可在文獻[7]中得到印證。

當ζ1≠0,ζ2=0時，力傳遞率最大值發生于Ω=1，最大值為

(21)

可以看出，粘滯阻尼影響下的共振頻率隨阻尼變化而變化，但遲滯阻尼影響下共振頻率不受頻率影響，發生于Ω=1處。對力位移傳遞率最大值及對應頻率，由于解析公式表達較復雜，且當阻尼系數較大時，不存在共振峰(圖2(b)、(d))，因此，具體表達式此處不再給出。

4.2 兩種阻尼共同作用下傳遞率特性

傳統隔振系統常采用粘滯阻尼抑制共振區響應，但阻尼增大同時也降低高頻區隔振性能。與粘滯阻尼相比，遲滯阻尼能同時改善共振區、高頻隔振區隔振性能。因此，在粘滯阻尼的隔振系統中加入遲滯阻尼，系統的隔振性能也可以得到改善。

圖4為不同配置阻尼作用下系統力傳遞率曲線。由圖4看出，ζ1=0,ζ2=0.1阻尼配置情況下，隔振系統在高頻隔振區隔振性能較好，但在共振區力傳遞率較大。為抑制共振峰值，增大粘滯阻尼至ζ2=0.3后，共振峰得到一定削減，但高頻隔振區傳遞特性反而變差。若采用ζ1=0.05,ζ2=0.1或ζ1=0.05,ζ2=0.2配置，雖高頻區隔振性能有一定降低，但共振區響應卻得到明顯改善。因此，采用遲滯阻尼對現有隔振系統性能提升為可行途徑。

圖3 兩種阻尼作用下力傳遞率比值隨頻率變化曲線

5 數值仿真

圖6為數值計算得基礎所受作用力曲線，縱坐標為基礎所受力與激勵力比值Fbase/(m0rω2)，橫坐標為掃頻時間坐標。由圖6看出，摩擦阻尼產生的遲滯阻尼與材料內阻尼表現出的遲滯阻尼有所不同，主要體現在：運動方向改變時，阻尼力會出現跳躍現象，且隨振幅的增大而增大。力的階躍幅度與摩擦阻尼大小、振幅等有關。輸出阻尼力不均勻，會對隔振效果產生不利影響。

6 結 論

(1) 采用兩自由度無約束隔振系統模型進行阻尼影響下的傳遞率特性研究。用平均法及數值仿真方法求解獲得摩擦阻尼在幾何非線性下產生的遲滯阻尼(結構阻尼)對系統力傳遞率特性。

(2) 增大剛體、基礎質量可降低力傳遞率，提高隔振性能。增加阻尼系數會降低共振峰值，亦會降低高頻隔振效果。采用遲滯阻尼，可明顯降低共振峰值，高頻性能下降較少。激勵頻率對基礎力位移傳遞率有顯著影響，激勵頻率小于1時，會對力位移傳遞率起放大作用；當激勵頻率大于1時，力位移傳遞率迅速下降。

(3) 數值結果與理論結果吻合良好。摩擦力產生的運動方向上非線性阻尼力存在跳躍現象，主要與運動方向轉變時摩擦力方向改變有關。實際應用中應考慮可能的不利影響。

(4) 采用摩擦阻尼實現的結構阻尼可用于改善隔振系統隔振性能，并可提升現有隔振系統性能。

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附錄

1. 式(6)求解過程：

將式(7)求導得

u′=U(τ)Ωcos(φ(τ))

(8*)

并設滿足條件

U′sinφ+Uψ′cosφ=0

(9*)

式(8)的導數為

u′′=ΩU′cosφ-ΩU(Ω+ψ′)sinφ

(10*)

將式(7)、(8*)、(10*)代入式(6)，得

2ζ2UΩcosφ+Usinφ=Ω2sin(Ωτ)

(11*)

用條件(9*)消除式(11*)中ψ′可簡化為

ΩU′=-[U(1-Ω2)sinφ-Ω2sin(Ωτ)+

(12*)

ΩUψ′=[U(1-Ω2)sinφ-Ω2sin(Ωτ)+

(13*)

對上式右端在2π周期內平均

(14*)

(15*)

上式化簡為

(16*)

(17*)

穩態解應滿足U′=0且ψ′=0，據式(16*)、(17*)則有

-πΩ2sinψ-8ζ1-2πζ2UΩ=0

(18*)

Uπ(1-Ω2)-πΩ2cosψ=0

(19*)

消除上兩式中ψ，即得式(8)

(8)

2.式(12)具體推導

由式(10)推導出Tff的表達式為

考慮Uπ(1-Ω2)-πΩ2cosψ=0(見式(8)推導)，則有