基于Prohl-Myklested方法的汽車變速器斜齒輪傳動系統建模及非線性分析

張宇白，袁惠群，寇海江

(1.東北大學 機械工程與自動化學院，沈陽 110819；2.東北大學 理學院，沈陽 110819)

汽車變速器傳動機構由齒輪、軸、軸承等傳動件組成，為多齒輪盤-軸轉子系統，其齒輪傳動系統力學性能好壞直接影響汽車各項性能指標的優劣。考慮扭轉、擺動影響，傳動系統自由度達幾十個，建立運動微分方程較復雜。因此對其降維非常必要。Prohl-Myklested方法給出將實際轉子模型簡化為較少自由度的集中參數模型基本準則。考慮各齒輪盤直徑與各軸段直徑相差不大，輪齒較寬，且嚙合齒輪剛度激勵對該系統動力學特性起重要作用，將該方法用于汽車變速器齒輪傳動系統可大大降低傳動系統自由度數。而此類研究目前未見報道。

對變速器傳動系統力學特性的研究[1-3]考慮嚙合剛度時變性影響，尤其重點考慮齒側間隙非線性影響，但現有研究多集中于較少自由度齒輪系統的非線性，且直齒輪居多，忽略齒側間隙及時變剛度的多自由度齒輪系統研究，據此建立的運動微分方程[4-5]忽略各自由度間耦合作用，會產生一定誤差。

本文基于改進的Prohl-Myklested方法對汽車變速器斜齒輪傳動系統進行降維處理，驗證其準確性。針對由該方法所得模型軸段剛度不同、兩端質量集中、非對稱彈性支承等特點，本文提出圓盤兩端剛度不同時的矩陣計算公式，給出該類模型運動微分方程計算方法。提出考慮齒側間隙、時變剛度耦合作用的斜齒輪動態嚙合力表達式，研究各自由度耦合作用下斜齒輪傳動系統非線性力學行為特點，并提取故障特征。

1 Prohl-Myklested方法原理

實際轉子系統可視為由一根變截面軸與圓盤組成的系統，Prohl-Myklested方法即將連續轉子簡化為離散的盤-軸系統。當節點間第i個軸段由k個非等截面軸段組成時，可將質量及轉動慣量集中于左右兩端構成剛性薄圓盤，軸段則簡化為無質量的等截面彈性軸。質量、轉動慣量、抗彎剛度分配原則據Prohl-Myklested方法[6]獲得。斜齒輪傳動系統扭轉振動較突出，抗扭剛度影響不可忽略，Prohl-Myklested方法中當量抗扭剛度計算公式等效原則是純扭轉軸兩端相對扭轉角保持不變，計算式為

(1a)

(1b)

圖1 變速器齒輪傳動系統實物圖

圖1為變速器齒輪傳動系統實物圖。考慮三擋斜齒輪嚙合，其模型及齒輪結構參數見表1。材料參數為彈性模量E=2×1011Pa，泊松比μ=0.3，密度ρ=7 850 kg/m3。利用Prohl-Myklested方法將其簡化為非對稱彈性支承、兩端集中質量、軸段存在不同抗彎剛度及抗扭剛度的斜齒輪傳動系統模型見圖2，結構參數見表2，其中p為主動齒輪，g為從動齒輪。

表1 齒輪技術參數

圖2 變速器齒輪傳動系統集中參數模型圖

表2 變速器齒輪傳動系統集中參數模型結構參數

2 仿真驗證

為驗證集中參數模型動力學行為的準確性，本文利用ANSYS進行有限元模態分析，結構參數及材料參數同前。嚙合齒輪由彈簧連接，考慮斜齒輪傳動的重合度較大，單對齒及雙對齒交替嚙合剛度波動幅度較小，設嚙合剛度為常值[7]，取其平均嚙合剛度1.133×108N/m。采用MASS21模擬齒輪轉子、Beam189模擬轉軸、COMBIN14模擬彈性支承，分別對模型進行模態分析。集中質量模型與連續體模型各階次固有頻率值見圖4。由圖4看出，兩種模型所得前十二階模態吻合較好，誤差小于8%。

圖3 變速器傳動系統有限元模型

圖4 連續體模型與集中參數模型固有頻率對比

集中參數模型及質量連續模型有限元法振型對比見圖5。其中圖5(a)、(b)為平行軸弓形彎曲振型圖，且彎曲方向一致；圖5(c)、(d)為輸出軸靜止、輸入軸彎曲振型圖；圖5(e)、(f)為輸入軸靜止、輸出軸高階彎曲振型圖；圖5(g)、(h)為輸出軸靜止、輸入軸高階彎曲振型圖。由圖5看出，兩模型計算結果吻合較好，證明簡化集中參數模型的準確性。即改進的Prohl-Myklested方法可較好描述變速器齒輪傳動系統動力學特性。

圖5 集中參數模型及質量連續模型振型對比

3 非線性動力學方程

3.1 斜齒輪非線性動態嚙合力

圖6 齒輪系統含齒側間隙及變剛度非線性動力學模型

斜齒輪系統齒側間隙、時變剛度非線性動力學模型見圖6，圖中k(t)為時變嚙合剛度，c為嚙合阻尼力，2bn為齒側間隙。主動齒輪嚙合處受力見圖7，圖中αn為法面壓力角，ατ為端面壓力角，β為螺旋角，βb為基圓螺旋角，Fn為沿嚙合線方向動態嚙合力，其在徑向、切向投影分別為Fr，Fa。兩齒輪所在節點自由度分別為xp，yp，φp，θxp，θyp，xg，yg，φg，θxg，θyg。三檔斜齒輪副沿嚙合線相對位移為

δ(t)=(xp-xg)sinαn+(yp-yg)cosβcosαn+(rpφp+

rgφg)cosβb+(rpcos(αtθyp)+rgcos(αtθyg))sinβb-

(rpsin(αtθxp)+rgsin(αtθxg))sinβb

(2)

式中：rp，rg分別為主動齒輪、從動齒輪分度圓半徑。采用齒輪嚙合線方向相對位移分段線性方法得間隙非線性位移函數[8]為

(3)

設m1為主動齒輪等效質量；m2為從動齒輪等效質量；ks為齒輪綜合嚙合剛度；ξ為阻尼比，取值范圍0.03～0.1，本文取0.05,嚙合阻尼計算式為

(4)

輪齒嚙合剛度可表示為輪齒所受載荷除以輪齒嚙合變形[9]。設齒輪嚙合對數為n，主、被動輪各嚙合輪齒變形為δpi(i=1,…,n)，δgi(i=1,…,n)，各嚙合齒對接觸力為Fi(i=1,…,n),則輪齒嚙合剛度[10]為

(5)

通過建立斜齒輪三維接觸有限元分析，既可確定輪齒間載荷分配，又可求出實際變形，即在某嚙合位置及給定載荷Fi下主動輪齒、被動輪齒的實際變形δpi，δgi及總變形δsi=δpi+δgi，從而求出每對齒嚙合綜合剛度。整個輪齒嚙合綜合剛度為各對齒剛度之和。取不同時刻可求出時變嚙合剛度數據值。傳動過程中嚙合剛度的明顯周期性變化，可用傅里葉級數形式表示為

(6)

考慮嚙合阻尼力及齒側間隙非線性彈性力作用，輪齒間動態嚙合力為

Fn=k(t)g(t)+cδ(t)

(7)

(8)

3.2 剛度矩陣計算方法

利用柔度影響系數法可求出圓盤的剛度矩陣，其柔度系數為

(9)

式中：a為圓盤至軸段左端點距離；l為盤軸總跨度；b=l-a。由于剛度、柔度矩陣互為逆陣，即

(10)

因此圓盤變形勢能表達式為

(11)

本文采用第二類拉格朗日方程建立考慮齒側間隙-時變嚙合剛度非線性的斜齒輪傳動系統運動學微分方程。傳動系統計算模型自由度共18個，且多個自由度間具有強耦合關系，但其與軸向自由度耦合程度較小，可忽略。設齒輪軸向充分固定，軸向剛度無窮大。傳動系統運動學微分方程為

(12)

4 非線性特性分析

4.1 隨轉速變化的傳動系統非線性行為

選齒側間隙50 μm，采用四階龍格-庫塔法計算傳動系統動力學特性。變速器非線性齒輪傳動系統隨主動輪自轉轉速變化分岔圖見圖8，其中圖8(a)僅考慮時變嚙合剛度參數振動，該系統由周期運動開始，逐漸向混沌運動過渡，混沌運動與周期運動交替發生；圖8(b)考慮齒側間隙、時變嚙合剛度耦合作用，分岔圖出現與圖8(a)相似的非線性特征，但因齒側間隙的強非線性，振動行為更復雜，傳動系統不穩定的混沌運動區間增大。

對比圖9、圖10，轉速相同情況下齒側間隙對傳動系統非線性振動重要影響清晰可見。不考慮齒側間隙時傳動系統相圖為雙周期運動，且閉曲線重合，幅值譜圖出現雙頻率成分。考慮齒側間隙時，相圖變為不重合的復雜曲線，幅值譜圖包含連續頻譜成分，表現為典型的混沌運動特征。因此，齒側間隙導致系統振動更復雜。

圖8 斜齒輪傳動系統分岔圖

圖11 變速器斜齒輪嚙合有限元應力分布圖

4.2 齒側間隙故障非線性特征

用LS-DYNA有限元軟件模擬齒輪傳動系統嚙合運動，見圖11。

據三種工況，對輸出三檔齒輪施加168.8 Nm扭矩，兩齒輪靜態法向嚙合力為5 098.4 N，提取嚙合接觸面內部激振力見圖12(a)，嚙合力曲線在4 000 N附近上下波動，范圍為3 500～4 500 N間。圖12(b)為齒側間隙非線性時嚙合力時域波形，與圖12(a)較平穩的時域波形相比出現每隔一段時間的沖擊現象，振幅較正常嚙合時略有提高。對此工程實際中需調整并避免齒側間隙過大引起的非線性振動故障發生。對圖12(b)嚙合力數據進行傅里葉變換，獲得嚙合力幅頻特性曲線，見圖13，圖中形成調制邊頻帶。3 400～4 100 Hz間細化譜分析見圖14。由圖14看出，該邊頻帶中心頻率為傳動系統固有頻率3 691.8 Hz，調制頻率為齒輪旋轉頻率50 Hz，此即為齒側間隙故障頻率特征。

圖13 動態嚙合力幅頻特性曲線

圖14 細化譜分析

5 結 論

(1) 基于Prohl-Myklested方法降維處理，建立變速器齒輪傳動系統的動力學模型，數值仿真模擬驗證利用Prohl-Myklested方法對變速器齒輪傳動系統進行簡化的可行性及準確性。

(2) 提出圓盤兩端剛度不同情況下剛度矩陣計算公式，推導出非對稱彈性支承、兩端具有集中質量、軸段存在不同抗彎剛度及抗扭剛度的斜齒輪傳動系統運動微分方程。

(3) 汽車變速器斜齒輪傳動系統非線性數值仿真研究結果表明，齒側間隙導致傳動系統非線性振動更復雜，不穩定混沌運動區間增大。齒側間隙故障發生時，碰摩力時間歷程曲線中出現沖擊現象，振幅較正常嚙合時略高；頻譜成分具有以傳動系統固有頻率為中心頻率，以齒輪旋轉頻率為調制頻率特點。

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