考慮自旋的高速角接觸球軸承油膜剛度計算

吳明星，吳 維，胡紀濱，苑士華，魏 超

(北京理工大學 車輛傳動重點實驗室，北京 100081)

滾動軸承作為傳動裝置中關鍵支承元件，其工作性能對整個傳動裝置工作性能及可靠性有重要影響，而軸承剛度在預測高速傳動裝置靜力、動力響應時具有重要作用[1-4]。滾動軸承剛度計算涉及因素較復雜，研究較薄弱，尚未建立計算模型[5]。

目前研究所建模型均采用近似方法，即靜態下將滾動軸承滾子與滾道間接觸視為純Hertz接觸進行分析。杜迎輝等[6]通過計算球與內外圈溝道接觸點接觸剛度，提出軸承徑向剛度、軸向剛度及角剛度計算方法。王保民等[7]考慮內圈離心位移，計算角接觸球軸承接觸剛度及軸承綜合剛度。實際上，滾動軸承在高轉速與油潤滑條件下，接觸區處于彈流潤滑狀態，且彈流引起的油膜剛度對軸承剛度有一定影響。Hamrock等[8]經大量數值計算，給出點接觸等溫彈流潤滑中心膜厚及最小膜厚經驗公式：

Hc=2.69U0.67G0.53W-0.067(1-0.61e-0.73k)

(1)

Hmin=3.63U0.68G0.49W-0.073(1-e-0.68k)

(2)

上式廣泛用于計算軸承油膜剛度。唐云冰[9]據最小油膜厚度與接觸載荷間關系計算軸承油膜剛度。吳昊等[10]推導考慮油膜厚度時計算圓錐滾子軸承軸向剛度數學公式，并用實例說明軸向載荷不高時油膜的存在對軸承剛度影響較大，實際計算中不應忽略。黃浩等[11]計算中心膜厚下軸承油膜剛度及軸承剛度，認為油膜剛度對軸承剛度有一定影響。

顯然，在計算軸承剛度時需考慮軸承油膜剛度，而式(1)、(2)計算膜厚未考慮軸承高速旋轉時滾動體不可忽略的自旋運動影響。對此，本文考慮該影響，利用軸承最小膜厚與接觸載荷間關系，推導自旋影響的軸承油膜剛度計算公式，以期為高速傳動裝置軸系振動計算提供理論支撐。

1 運動學分析

1.1 姿態角計算

傳統采用滾道控制理論計算姿態角β有兩方面不足：① 對β角計算分低、高速兩種狀態，而未考慮由低速到高速的過渡過程；② 軸承高速運轉時，滾動體相對內外圈滾道均存在一定自旋運動，而滾道控制理論假設自旋只存在于非控制滾道，因而不能準確反映滾動體實際運動情況。丁長安等[12]放棄滾道控制理論，利用達朗貝爾原理推導出新計算姿態角公式：

(3)

式中：Ms為自旋摩擦力矩；αi，αo分別為滾動體與內外圈接觸角；μ為摩擦系數；w為接觸載荷；a為接觸橢圓長半軸； ∑為第二類完全橢圓積分；γi=D/dmcosαi，γo=D/dmcosαo，D為滾動體直徑，dm為軸承節圓直徑。該式計算的β能同時考慮內外圈自旋。

1.2 自旋角速度計算

設軸承外圈不動內圈旋轉，據相關運動學關系，可得內外圈自旋角速度表達式：

ωsi=(ωi-ωm)sinαi-ωrsin(β-αi)

(4)

ωso=ωmsinαo-ωrsin(αo-β)

(5)

式中：ωi為軸承內圈角速度；ωm，ωr分別為滾動體公、自轉角速度，據式(3)，其表達式為

(6)

ωr=

(7)

2 考慮自旋的膜厚分析

2.1 基本方程

圖1 自旋運動示意圖

角接觸球軸承高速運轉時內外圈滾道上均存在一定自旋，考慮彈流潤滑及自旋更符合角接觸球軸承特點。將滾動體與套圈間潤滑接觸等效為無限大平面與橢球接觸，設平面以自旋角速度ωs轉動，橢球以滾動體與套圈平均速度ub滾動，見圖1。

當量彈性模量為

(8)

式中：E1，E2分別為兩接觸體的彈性模量；ν1,ν2分別為兩接觸體泊松比。

當量曲率半徑為

(9)

式中：R1，R2分別為兩接觸體曲率半徑。接觸體中心位于同側取-，反側取+。

沿x，y向卷吸速度分別為

(10)

(11)

卷吸速度為任意方向點接觸穩態彈流潤滑的Reynolds方程為

(12)

式中：ρ為潤滑油密度；η為潤滑油粘度；p為壓強；h為油膜厚度。

油膜形狀幾何方程為

(13)

式中：h0為無載荷中心油膜厚度。

載荷平衡方程為

(14)

粘壓關系采用Roelands粘壓公式[13]：

η=η0exp{(lnη0+9.67)[(1+5.1×10-9p)z-1]}

(15)

(16)

式中：η0為大氣壓下粘度；α為粘壓系數。

密壓關系采用Dowson-Higginson密壓公式[8]：

(17)

式中：ρ為壓力p下密度；ρ0為大氣壓下密度。

2.2 考慮自旋的膜厚方程

對式(12)～式(17)數值求解，用快速傅里葉變換[14]計算彈性變形，用線性松弛法進行壓力循環迭代，并據載荷平衡方程對剛體中心膜厚進行修正，直至壓力與載荷均滿足所設收斂精度。

為研究自旋速度對接觸特性影響，取ωs=0～ 500 rad/s變化時彈流潤滑進行數值計算，油膜形狀計算結果見圖2。由2圖看出，受自旋運動影響，油膜厚度沿x=0截面不再對稱，最小膜厚隨自旋速度的增加而減小，并處于卷吸速度最小位置。中心膜厚幾乎不變，原因為自旋運動中心與接觸橢圓中心重合時，接觸中心處卷吸速度不變。

圖2 自旋對膜厚影響

據軸承實際運轉時所涉具體工況參數范圍，確定影響油膜厚度主要參數范圍:k為1～9.5；ub為1～40 m/s；w為2 000～12 000 N；ωs為0～500 rad/s；得無量綱參數范圍：G為2 500～5 000；W為3.23E-4 ～1.94E-3；U為1.68E-11～6.74E-10；Ωs為0～4.4E-11。據此，通過大量數值計算得無量綱最小膜厚Hmin隨各參數變化規律，最終對數值計算結果進行擬合，得考慮自旋運動的彈流潤滑無量綱最小油膜厚度公式：

Hmins=8.9×10-3U0.719 64[1+

1.043 17exp(-664.016W)]G0.800 53k1.616 23[1+

21.459 5exp(-0.299 96k)]×

(18)

式中：Ωs為無量綱自旋角速度參數；U為無量綱速度參數；G為無量綱材料參數；W為無量綱負荷參數；k為橢圓率。各表達式為

Ωs=ωsη0/E′

(19)

U=ubη0/E′Rx

(20)

(21)

G=αE′

(22)

式中：η0為常壓下滑油動力粘度；α為滑油粘壓系數；Rx為滾珠沿x向當量曲率半徑。

3 結果與討論

3.1 考慮自旋的球軸承油膜剛度

滾珠與內外圈間最小油膜厚度可表示為

hmins=RxHmins

(23)

據式(18)、(23)得W與hmins間關系為

W=(-0.001 506)ln[0.107 7×103hmins

(G0.800 53RxU0.719 64k1.616 23(1+

21.459 5exp(-0.299 96k))(1-

(24)

據剛度定義，由式(21)、(24)得滾動軸承考慮自旋的油膜剛度為

{G0.800 53U0.719 64k1.616 23(1+

21.459 5exp(-0.299 96k))×

103hmins/(G0.800 53RxU0.719 64k1.616 23×

(1+21.459 5exp(-0.299 96k)×

3.2 計算結果

將式(25)與式(2)計算所得油膜剛度進行對比。以SKF7210角接觸球軸承為例，結構、材料參數見表1。

表1 7210軸承參數

由圖3、圖4看出，自旋角速度隨載荷的增加而減小，但受軸向載荷影響較小。在徑向載荷作用下，自旋角速度減小較快，且徑向載荷較大時，即使轉速達到10 000 r/min，自旋角速度亦較小。故徑向載荷可抑制自旋角速度增大。

由圖5看出，滾動體內外圈同時存在自旋，且內圈自旋角速度遠大于外圈，自旋角速度隨轉速的增大非線性增加，而以往對內圈或外圈控制時自旋角速度只存在于一個滾道上。因此考慮內外圈同時存在自旋更接近實際情況。

圖3 自旋角速度隨軸向載荷變化

圖6 最小油膜厚度隨轉速變化

將不考慮自旋時油膜厚度隨轉速變化[9]與圖6比較發現，內外圈最小油膜厚度均隨轉速的增大而增大，即轉速提高有利于彈流潤滑油膜的形成，此因為轉速的增加會使潤滑油流速增大。但考慮自旋后，隨轉速的提高，自旋滑動速度隨之增大，因而導致最小膜厚增大、斜率變低，最小膜厚增加趨勢變緩，尤其內圈最小膜厚，轉速增大到一定值時，最小膜厚幾乎不再隨轉速增大而增大。滾動體與外圈間油膜厚度普遍高于內圈，即外圈接觸潤滑狀態優于內圈。自旋對膜厚產生一定影響，故計算最小油膜厚度時應考慮自旋作用影響。

由圖7看出，考慮、不考慮自旋的油膜剛度均隨轉速的增大非線性減小，由于轉速增加利于彈流潤滑油膜形成，使最小油膜厚度增大，從而使油膜剛度減小。但考慮自旋后，因存在自旋滑動速度，使最小膜厚更小，因此考慮自旋的油膜剛度較不考慮自旋的油膜剛度變大。

由圖8看出，油膜剛度隨徑向載荷的增加非線性增大，因為載荷增大使滾動體與滾道間接觸載荷增大，從而使最小油膜厚度減小，結果導致油膜剛度增大。

以上各圖中，n為軸承轉速，Fa為軸承所受軸向載荷，Fr為徑向載荷，H-D為膜厚式(2)所得計算結果。由以上分析知，考慮自旋后，最小油膜厚度更小，油膜剛度更大。考慮、不考慮自旋油膜剛度隨轉速變化趨勢相同，說明本文結果正確。考慮內外圈同時存在自旋更符合軸承工作實際情況。

4 結 論

(1) 針對自旋對高速傳動裝置支撐軸承剛度影響，推導出考慮自旋的角接觸球軸承油膜剛度計算表達式。

(2) 自旋角速度隨載荷的增加而減小，隨轉速增加而增大。軸向載荷對自旋角速度影響較小，徑向載荷對自旋角速度影響較大，能有效抑制自旋角速度增大。

(3) 自旋可使軸承油膜剛度較計算值變大，且油膜剛度隨轉速的增加而減小，隨載荷的增加而增大。高速傳動裝置軸承剛度計算需考慮自旋影響。

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