非線性阻尼扭擺振動(dòng)模型及在轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量中應(yīng)用

林洪文，馬 強(qiáng)，唐文彥，王 軍，張曉琳

(哈爾濱工業(yè)大學(xué),哈爾濱 150001)

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可表征轉(zhuǎn)動(dòng)物體慣性大小，亦為研究、設(shè)計(jì)、控制轉(zhuǎn)動(dòng)物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的重要技術(shù)參數(shù)，廣泛應(yīng)用于工業(yè)生產(chǎn)各領(lǐng)域，因此測(cè)定物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量具有重要實(shí)際意義。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大小不僅與剛體質(zhì)量有關(guān)，亦與轉(zhuǎn)軸位置、質(zhì)量分布有關(guān)。對(duì)形狀規(guī)則、材料密度均勻的標(biāo)準(zhǔn)件，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可據(jù)J=∫r2dm計(jì)算，但對(duì)形狀不規(guī)則、質(zhì)量分布不均勻物體，計(jì)算其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量非常困難，通常用實(shí)驗(yàn)方法測(cè)定。測(cè)量質(zhì)量分布不均勻、外形尺寸較大物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，常用扭擺法。測(cè)量過(guò)程為將被測(cè)物體置于精密氣浮軸承或金屬軸承支撐的扭擺工作臺(tái)上，施加激勵(lì)迫使扭擺工作臺(tái)做自由扭擺振動(dòng)，通過(guò)數(shù)據(jù)采集與計(jì)算機(jī)系統(tǒng)，精確記錄扭擺臺(tái)振動(dòng)在各采樣時(shí)刻的角位移，通過(guò)數(shù)據(jù)分析、處理，計(jì)算被測(cè)物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

1 扭擺振動(dòng)傳統(tǒng)模型及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算方法

(1)

(2)

二階微分方程的特征方程為

(3)

特征根為

(4)

(5)

(6)

式中：K為扭擺系統(tǒng)剛度系數(shù)。

利用形狀規(guī)則、質(zhì)量分布均勻的標(biāo)準(zhǔn)砝碼可計(jì)算對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，標(biāo)準(zhǔn)砝碼在扭擺振動(dòng)平臺(tái)振動(dòng)，對(duì)所采數(shù)據(jù)分析處理可確定標(biāo)準(zhǔn)值并通過(guò)測(cè)量系統(tǒng)標(biāo)定實(shí)驗(yàn)獲得K值。因此，對(duì)待測(cè)物體作扭擺振動(dòng)的數(shù)據(jù)采集分析，用式(6)可算出待測(cè)物體某一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。在測(cè)量一般回轉(zhuǎn)體時(shí)可忽略空氣阻尼，認(rèn)為ζ=0，只測(cè)量扭擺周期即可求得轉(zhuǎn)動(dòng)慣量值。在對(duì)大尺寸異形物體進(jìn)行測(cè)量時(shí)，阻尼不可忽略情況下可測(cè)出扭擺轉(zhuǎn)動(dòng)角度隨時(shí)間變化曲線，據(jù)扭擺振幅的衰減規(guī)律可求得阻尼比與周期，進(jìn)而據(jù)公式計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

對(duì)大尺寸板狀物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量實(shí)驗(yàn)結(jié)果發(fā)現(xiàn)，改變物體的迎風(fēng)面積大小，振動(dòng)阻尼系數(shù)改變振動(dòng)周期亦改變。按式(6)計(jì)算物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量獲得不同結(jié)果，最大相對(duì)誤差達(dá)2%以上，對(duì)精密測(cè)量無(wú)法接受。且與物體在轉(zhuǎn)軸一定時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不變的規(guī)律相矛盾。本文由扭擺振動(dòng)非線性模型一般形式入手，利用弱非線性條件下平均值方法導(dǎo)出線性化方程，獲得新轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算式。

2 板狀物體扭擺振動(dòng)非線性模型及線性化分析

2.1 弱非線性自治系統(tǒng)平均法

由精密氣浮平臺(tái)上大尺寸板狀物體扭擺振動(dòng)試驗(yàn)中采集的數(shù)據(jù)擬合獲得振動(dòng)曲線看出，大尺寸板狀物體扭擺振動(dòng)為衰減振蕩曲線，屬弱非線性振動(dòng)。因此，設(shè)扭擺振動(dòng)弱非線性表達(dá)式為

(7)

式中：J為振動(dòng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；K為扭擺鋼桿剛度系數(shù)，扭擺角度很小時(shí)為常數(shù)。

式(7)右端為非線性項(xiàng)，其中ε為反映弱非線性的無(wú)限小量。利用弱非線性微分方程的平均值法求一次近似解方法[3]的基本思想為將派生系統(tǒng)周期解的振幅、相位視為隨時(shí)間緩慢變化的函數(shù)，并將振幅、相位對(duì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)取平均值，求出方程的解。動(dòng)力學(xué)方程描述的弱非線性系統(tǒng)自由振動(dòng)一般形式為

(8)

ε=0時(shí)式(8)的解為

x=acos(ω0t+φ0)=acosφ

(9)

式中：φ=ω0t+φ0，a,φ0為由初始條件確定的常數(shù)。

速度表達(dá)式為

(10)

ε≠0時(shí)非線性因素影響使系統(tǒng)響應(yīng)出現(xiàn)高次諧波，振動(dòng)瞬時(shí)頻率與振幅有關(guān)。考慮此影響，通解可設(shè)為

x=acosφ+εx1(a,φ)+ε2x2(a,φ)+…

(11)

式中：x1(a,φ),x2(a,φ),…為φ以2π為周期的函數(shù)，a,φ為時(shí)間t的函數(shù)，其決定方程為

(12)

由于考慮弱非線性系統(tǒng)，且關(guān)心周期解，因此非線性微分方程的解仍具有與式(9)相同形式，僅a,φ0不再為常數(shù)，而為時(shí)間的函數(shù)。ε充分小時(shí)，a,φ0為在某一常數(shù)附近緩慢變化的函數(shù)，而弱非線性系統(tǒng)解亦可視為在基本解附近緩慢變化的函數(shù)。因此，只要找到a(t),φ0(t)的表達(dá)式，即可獲得非線性微分方程的解。

為獲得描述a(t),φ0(t)的方程，將式(9)兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得：

(13)

比較式(10)、(13)得：

(14)

(15)

(16)

聯(lián)立式(14)、(16)解得：

(17)

以上推導(dǎo)中未作任何近似處理，因此，式(9)、(17)完全等價(jià)于式(8)的解。但仍難于求解。故需利用弱非線性求其近似解。

(18)

若僅求一次近似解，即求x=acosφ，則

(19)

將式(18)代入式(19)得：

(20)

2.2 非線性系統(tǒng)等效線性化方法

據(jù)第一次近似平均法，可對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行等效線性化處理[4]。考慮扭擺振動(dòng)非線性微分方程：

(21)

式中：

引用非線性微分方程一次近似平均法結(jié)論[6]：

(22)

引入等效阻尼系數(shù)λe、角頻率ωe、剛度系數(shù)ke得：

(23)

(24)

經(jīng)線性化獲得振動(dòng)方程為

(25)

上式表明，第一次近似解中，弱非線性自治系統(tǒng)振動(dòng)等價(jià)于線性系統(tǒng)。因此，λe(a),ke(a)分別為等效阻尼及剛度系數(shù)。導(dǎo)出非線性阻尼項(xiàng)[5]為

(26)

重寫扭擺振動(dòng)方程：

(27)

弱非線性自治系統(tǒng)線性化后式(27)的解與傳統(tǒng)模型線性有阻尼自由振動(dòng)方程的解形式相同。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算公式變?yōu)?/p>

(28)

3 板狀物體扭擺振動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

3.1 實(shí)驗(yàn)方案及儀器

被測(cè)物體為兩塊相同材料尺寸的均質(zhì)聚酯矩形纖維板(800 mm×600 mm)。測(cè)試儀器為哈爾濱工業(yè)大學(xué)精密儀器研究所的HIT-115型轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)試臺(tái)。

3.2 實(shí)驗(yàn)測(cè)試條件

(1) 氣浮平臺(tái)空氣壓力6～8 MPa；激光位移傳感器采樣頻率312.5 Hz。

(2) 兩塊阻尼板對(duì)稱置于測(cè)量臂上，阻尼板中心軸線與轉(zhuǎn)動(dòng)平臺(tái)中心軸線距離分別為L(zhǎng)=1 200 mm，改變兩塊阻尼板平面與支撐臂軸線之間角度，從0°～180°，每隔10°測(cè)量一組，每組采集5次數(shù)據(jù)，每次采集數(shù)據(jù)點(diǎn)25 000個(gè)。

(3) 通過(guò)每次采集數(shù)據(jù)，擬合得出扭擺轉(zhuǎn)動(dòng)曲線，求出其周期、衰減因子、阻尼系數(shù)，求出轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J1。

(4) 計(jì)算板狀物體扭擺振動(dòng)在弱非線性轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的修正量J2。

J2=-(J1-J)

(29)

由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J1與振動(dòng)周期、阻尼系數(shù)、阻尼比之關(guān)系知，J1與振動(dòng)周期線性關(guān)系較好，可由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)獲得擬合的直線方程J1擬合=J0+λ(T-T0)。從而得J2=-(J1-J)=(J-J0)-λ(T-T0)，考慮阻尼系數(shù)減小趨于0時(shí)，周期為T0，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J≈J0,由此可得弱非線性下轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的修正量J2。

圖1 傳統(tǒng)模型與線性化模型扭擺轉(zhuǎn)動(dòng)慣量結(jié)果對(duì)比(第一種方法)

圖2 傳統(tǒng)模型與線性化模型扭擺轉(zhuǎn)動(dòng)慣量結(jié)果對(duì)比(第二種方法)

分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)知，兩阻尼板軸線距氣浮平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)中心L=1 200 mm時(shí)，第一種方法為將阻尼板在每一角度下5組數(shù)據(jù)計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J1、振動(dòng)周期、阻尼系數(shù)、阻尼比，不作平均，即95組數(shù)據(jù)分析處理。所得轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最大絕對(duì)誤差為0.142 33 kg·m2，最大相對(duì)誤差為0.098%；第二種方法為將阻尼板在同一角度下5組數(shù)據(jù)計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J1、振動(dòng)周期、阻尼系數(shù)、阻尼比，求其平均值即19組數(shù)據(jù)分析處理結(jié)果，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最大絕對(duì)誤差為0.054 99 kg·m2,最大相對(duì)誤差為0.038%。傳統(tǒng)模型與線性化模型轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算結(jié)果對(duì)比見(jiàn)圖1、

圖2。由兩圖看出，扭擺振動(dòng)非線性模型線性化后計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量結(jié)果，可避免傳統(tǒng)模型轉(zhuǎn)動(dòng)慣量隨振動(dòng)狀態(tài)變化的矛盾。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的重復(fù)性得到較大提高，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量最大相對(duì)誤差均小于0.1%；消除系統(tǒng)誤差后非線性模型線性化方法計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量結(jié)果，誤差減小較大，精度提高較大，可實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量精確測(cè)量。

4 結(jié) 論

(1) 大尺寸板狀物體扭擺振動(dòng)時(shí)，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算結(jié)果隨振動(dòng)狀態(tài)變化，與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量規(guī)律矛盾，表明該模型失效。

(2) 利用扭擺振動(dòng)非線性模型一般形式結(jié)合弱阻尼條件運(yùn)用范德波平均值法，將其線性化后所得新轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算公式，不僅可消除傳統(tǒng)模型矛盾，且轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量結(jié)果的重復(fù)性得以提高，大大減小相對(duì)誤差。消除系統(tǒng)誤差后可實(shí)現(xiàn)大尺寸板狀物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的精確測(cè)量。

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