淺談含變限積分的未定式求極限問題

邢秀俠

摘要：本文通過三個例子詳細分析了含變限積分的未定式求極限的常見方法，并總結了各種方法的特點。

關鍵詞：極限；未定式；變限積分；洛必達法則；牛頓-萊布尼茲公式

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）25-0092-02

在高等數學課程中，極限是一個最基本的概念，它貫穿著教材的始終。自然求極限問題也是這門課程中的一類基本而重要的問題。縱觀所有求極限問題，代入法是深受工科大學生喜愛的求極限方法。而未定式求極限由于涉及到無窮大、無窮小，四則運算法則不再成立，于是成為學生容易感到困惑并經常犯錯的地方，學生常常感覺無從下手，這更是屬于高等數學教學中的難點。常見的未定式求極限方法有很多，如消去零因子法、同除以最高次冪、同乘共軛因式、兩類重要極限及其推廣形式、等價無窮小替換、泰勒公式等，還有最強大的洛必達法則。對學生而言，如果不做一定量的練習，綜合運用多種方法求極限通常是很困難的。碰到含積分的未定式求極限問題時，還要先想辦法去掉積分號，然后再綜合利用求極限的各種方法，所以學生會覺得更難了。本文接下來將通過幾個典型例子詳細分析如何求含變限積分的未定式的極限，給出常見的幾種思路，并總結每種方法的特點和局限性。

常見的去積分號的方法有：牛頓-萊布尼茲公式、積分中值定理、變限積分求導公式等。學生最喜歡的就是牛頓-萊布尼茲公式，這個公式能把積分變成數值，通常這幾乎是他們碰到定積分或變限積分的第一反應。但遺憾的是，能積出來的或者說容易積出來的積分實在不多，所以這個思路的局限性很明顯。還有一種方法是利用積分中值定理，它能把積分變成簡單的函數，從而去掉積分號，但不足之處是表達式中含有中值ζ，而關于ζ可知的信息太少，僅知道它屬于積分區間。故當求未定式極限需借助中值ζ的更詳細的信息時，這個思路很可能只能去掉積分號，卻不一定能求出極限了。洛必達法則是求解未定式極限的強大工具。它把 型未定式求極限轉化為分子分母分別求導后再求極限，而恰巧變限積分求導可以去掉積分號，所以將洛必達法則和變限積分求導相結合是求解含變限積分的未定式極限問題的一種非常有效的方法。

1.例1： .法一分析：這屬于 型未定式。學生的第一反應是把分子上的積分積出來，恰巧這個例子是可以積出來的。解： = = .此時仍屬于 型未定式。可以考慮利用等價無窮小替換sinx～x，sinx2～x2，當x→0時，可得 = =1.這一步也可以利用第一類重要極限 =1及其推廣形式 =1得到.故 =1.法二分析：也可以將變限積分求導和洛必達法則相結合去積分號，因被積函數cosx在積分區間[0，x2]上連續，由微積分學基本定理可知，變限積分函數 cost dt在區間[0，x2]上可導，分母上xsinx也可導，所以可以使用洛必達法則。另外，在利用洛必達法則之前，為了求導簡單些，可以先用等價無窮小替換：sinx～x，當x→0時，解： = = = cosx2=1.其中第一個等號用的是等價無窮小替換，第二個等號用的是洛必達法則，最后一個等號是用復合函數的連續性和余弦函數的連續性得到的。法三分析：也可以用積分中值定理去積分號。解：由積分中值定理，可知至少存在一點ζx∈[0，x2]使得 cost dt=cosζx·x2.因為當x變動時，中值ζ也變動，所以ζ依賴于x，為表示這種依賴關系，這里用ζx表示中值，于是 = = （cosζx ）.注意到x→0時，x2→0，由夾逼定理知此時ζx→0，所以 cosζx= cosζx=1.由等價無窮小sinx～x，當x→0時，知 =1.最后利用乘積的極限法則，有 （ cosζx）= · cosζx=1.故 =1.

2.例2： .分析：這是屬于 型未定式。被積函數是屬于“積不出來”的類型，牛頓-萊布尼茲公式不能用，可以考慮利用洛必達法則或積分中值定理去積分號。法一：用變限積分求導和洛必達法則去積分號。 = ，由第一類重要極限、復合函數的連續性以及乘積的極限法則，可得 =- e · = .故 = .法二：用積分中值定理去積分號。由積分中值定理，可知至少存在一點ζx∈[cosx，1]，使得 e dt=e ·（cosx-1），所以 = ，注意到x→0時，cosx→1，由夾逼定理知此時ζx→1，所以 e = e = .由等價無窮小cosx-1～- x2，當x→0時，知 = =- e = .故 = .

3.例3： .分析：這是屬于 型未定式。被積函數也是屬于“積不出來”的類型，不能用牛頓-萊布尼茲公式，可以嘗試利用洛必達法則或者積分中值定理去積分號。法一：用變限積分求導和洛必達法則去積號。 = = ，再利用等價無窮小sinx～x，當x→0時，可得 =1.故 = .注：如果利用積分中值定理，會發現可以去掉積分號，但是仍然求不出極限。由積分中值定理，可知至少存在一點ζx∈[0，x2]，使得 sint2 dt=sinζ2x·x2.因此， = = .注意到x→0時，x2→0，由夾逼定理知此時ζx→0，所以 sinζ2x=0.上式的最右端仍然是 型未定式，但由于不知道ζx對x的依賴關系，也不清楚ζx→0的具體速度，導致極限 求不出來。

通過例1～例3，我們發現對于含變限積分的 型未定式，求解時第一步可以嘗試三條路徑去掉積分號，利用牛頓-萊布尼茲公式、洛必達法則或積分中值定理，然后再綜合運用各種求極限方法求解。對例1來說，三種方法均適用，例2只能用其中兩種方法，例3只能用其中一種方法。從例2和例3中，我們很容易看出牛頓-萊布尼茲公式和積分中值基金項目：本文作者受到“北京高等學校青年英才計劃項目（Beijing Higher Education Young Elite Teacher Project）”（No.YETP1593）資助。endprint

摘要：本文通過三個例子詳細分析了含變限積分的未定式求極限的常見方法，并總結了各種方法的特點。

關鍵詞：極限；未定式；變限積分；洛必達法則；牛頓-萊布尼茲公式

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）25-0092-02

在高等數學課程中，極限是一個最基本的概念，它貫穿著教材的始終。自然求極限問題也是這門課程中的一類基本而重要的問題。縱觀所有求極限問題，代入法是深受工科大學生喜愛的求極限方法。而未定式求極限由于涉及到無窮大、無窮小，四則運算法則不再成立，于是成為學生容易感到困惑并經常犯錯的地方，學生常常感覺無從下手，這更是屬于高等數學教學中的難點。常見的未定式求極限方法有很多，如消去零因子法、同除以最高次冪、同乘共軛因式、兩類重要極限及其推廣形式、等價無窮小替換、泰勒公式等，還有最強大的洛必達法則。對學生而言，如果不做一定量的練習，綜合運用多種方法求極限通常是很困難的。碰到含積分的未定式求極限問題時，還要先想辦法去掉積分號，然后再綜合利用求極限的各種方法，所以學生會覺得更難了。本文接下來將通過幾個典型例子詳細分析如何求含變限積分的未定式的極限，給出常見的幾種思路，并總結每種方法的特點和局限性。

常見的去積分號的方法有：牛頓-萊布尼茲公式、積分中值定理、變限積分求導公式等。學生最喜歡的就是牛頓-萊布尼茲公式，這個公式能把積分變成數值，通常這幾乎是他們碰到定積分或變限積分的第一反應。但遺憾的是，能積出來的或者說容易積出來的積分實在不多，所以這個思路的局限性很明顯。還有一種方法是利用積分中值定理，它能把積分變成簡單的函數，從而去掉積分號，但不足之處是表達式中含有中值ζ，而關于ζ可知的信息太少，僅知道它屬于積分區間。故當求未定式極限需借助中值ζ的更詳細的信息時，這個思路很可能只能去掉積分號，卻不一定能求出極限了。洛必達法則是求解未定式極限的強大工具。它把 型未定式求極限轉化為分子分母分別求導后再求極限，而恰巧變限積分求導可以去掉積分號，所以將洛必達法則和變限積分求導相結合是求解含變限積分的未定式極限問題的一種非常有效的方法。

1.例1： .法一分析：這屬于 型未定式。學生的第一反應是把分子上的積分積出來，恰巧這個例子是可以積出來的。解： = = .此時仍屬于 型未定式。可以考慮利用等價無窮小替換sinx～x，sinx2～x2，當x→0時，可得 = =1.這一步也可以利用第一類重要極限 =1及其推廣形式 =1得到.故 =1.法二分析：也可以將變限積分求導和洛必達法則相結合去積分號，因被積函數cosx在積分區間[0，x2]上連續，由微積分學基本定理可知，變限積分函數 cost dt在區間[0，x2]上可導，分母上xsinx也可導，所以可以使用洛必達法則。另外，在利用洛必達法則之前，為了求導簡單些，可以先用等價無窮小替換：sinx～x，當x→0時，解： = = = cosx2=1.其中第一個等號用的是等價無窮小替換，第二個等號用的是洛必達法則，最后一個等號是用復合函數的連續性和余弦函數的連續性得到的。法三分析：也可以用積分中值定理去積分號。解：由積分中值定理，可知至少存在一點ζx∈[0，x2]使得 cost dt=cosζx·x2.因為當x變動時，中值ζ也變動，所以ζ依賴于x，為表示這種依賴關系，這里用ζx表示中值，于是 = = （cosζx ）.注意到x→0時，x2→0，由夾逼定理知此時ζx→0，所以 cosζx= cosζx=1.由等價無窮小sinx～x，當x→0時，知 =1.最后利用乘積的極限法則，有 （ cosζx）= · cosζx=1.故 =1.

2.例2： .分析：這是屬于 型未定式。被積函數是屬于“積不出來”的類型，牛頓-萊布尼茲公式不能用，可以考慮利用洛必達法則或積分中值定理去積分號。法一：用變限積分求導和洛必達法則去積分號。 = ，由第一類重要極限、復合函數的連續性以及乘積的極限法則，可得 =- e · = .故 = .法二：用積分中值定理去積分號。由積分中值定理，可知至少存在一點ζx∈[cosx，1]，使得 e dt=e ·（cosx-1），所以 = ，注意到x→0時，cosx→1，由夾逼定理知此時ζx→1，所以 e = e = .由等價無窮小cosx-1～- x2，當x→0時，知 = =- e = .故 = .

3.例3： .分析：這是屬于 型未定式。被積函數也是屬于“積不出來”的類型，不能用牛頓-萊布尼茲公式，可以嘗試利用洛必達法則或者積分中值定理去積分號。法一：用變限積分求導和洛必達法則去積號。 = = ，再利用等價無窮小sinx～x，當x→0時，可得 =1.故 = .注：如果利用積分中值定理，會發現可以去掉積分號，但是仍然求不出極限。由積分中值定理，可知至少存在一點ζx∈[0，x2]，使得 sint2 dt=sinζ2x·x2.因此， = = .注意到x→0時，x2→0，由夾逼定理知此時ζx→0，所以 sinζ2x=0.上式的最右端仍然是 型未定式，但由于不知道ζx對x的依賴關系，也不清楚ζx→0的具體速度，導致極限 求不出來。

通過例1～例3，我們發現對于含變限積分的 型未定式，求解時第一步可以嘗試三條路徑去掉積分號，利用牛頓-萊布尼茲公式、洛必達法則或積分中值定理，然后再綜合運用各種求極限方法求解。對例1來說，三種方法均適用，例2只能用其中兩種方法，例3只能用其中一種方法。從例2和例3中，我們很容易看出牛頓-萊布尼茲公式和積分中值基金項目：本文作者受到“北京高等學校青年英才計劃項目（Beijing Higher Education Young Elite Teacher Project）”（No.YETP1593）資助。endprint

摘要：本文通過三個例子詳細分析了含變限積分的未定式求極限的常見方法，并總結了各種方法的特點。

關鍵詞：極限；未定式；變限積分；洛必達法則；牛頓-萊布尼茲公式

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）25-0092-02

在高等數學課程中，極限是一個最基本的概念，它貫穿著教材的始終。自然求極限問題也是這門課程中的一類基本而重要的問題。縱觀所有求極限問題，代入法是深受工科大學生喜愛的求極限方法。而未定式求極限由于涉及到無窮大、無窮小，四則運算法則不再成立，于是成為學生容易感到困惑并經常犯錯的地方，學生常常感覺無從下手，這更是屬于高等數學教學中的難點。常見的未定式求極限方法有很多，如消去零因子法、同除以最高次冪、同乘共軛因式、兩類重要極限及其推廣形式、等價無窮小替換、泰勒公式等，還有最強大的洛必達法則。對學生而言，如果不做一定量的練習，綜合運用多種方法求極限通常是很困難的。碰到含積分的未定式求極限問題時，還要先想辦法去掉積分號，然后再綜合利用求極限的各種方法，所以學生會覺得更難了。本文接下來將通過幾個典型例子詳細分析如何求含變限積分的未定式的極限，給出常見的幾種思路，并總結每種方法的特點和局限性。

常見的去積分號的方法有：牛頓-萊布尼茲公式、積分中值定理、變限積分求導公式等。學生最喜歡的就是牛頓-萊布尼茲公式，這個公式能把積分變成數值，通常這幾乎是他們碰到定積分或變限積分的第一反應。但遺憾的是，能積出來的或者說容易積出來的積分實在不多，所以這個思路的局限性很明顯。還有一種方法是利用積分中值定理，它能把積分變成簡單的函數，從而去掉積分號，但不足之處是表達式中含有中值ζ，而關于ζ可知的信息太少，僅知道它屬于積分區間。故當求未定式極限需借助中值ζ的更詳細的信息時，這個思路很可能只能去掉積分號，卻不一定能求出極限了。洛必達法則是求解未定式極限的強大工具。它把 型未定式求極限轉化為分子分母分別求導后再求極限，而恰巧變限積分求導可以去掉積分號，所以將洛必達法則和變限積分求導相結合是求解含變限積分的未定式極限問題的一種非常有效的方法。

1.例1： .法一分析：這屬于 型未定式。學生的第一反應是把分子上的積分積出來，恰巧這個例子是可以積出來的。解： = = .此時仍屬于 型未定式。可以考慮利用等價無窮小替換sinx～x，sinx2～x2，當x→0時，可得 = =1.這一步也可以利用第一類重要極限 =1及其推廣形式 =1得到.故 =1.法二分析：也可以將變限積分求導和洛必達法則相結合去積分號，因被積函數cosx在積分區間[0，x2]上連續，由微積分學基本定理可知，變限積分函數 cost dt在區間[0，x2]上可導，分母上xsinx也可導，所以可以使用洛必達法則。另外，在利用洛必達法則之前，為了求導簡單些，可以先用等價無窮小替換：sinx～x，當x→0時，解： = = = cosx2=1.其中第一個等號用的是等價無窮小替換，第二個等號用的是洛必達法則，最后一個等號是用復合函數的連續性和余弦函數的連續性得到的。法三分析：也可以用積分中值定理去積分號。解：由積分中值定理，可知至少存在一點ζx∈[0，x2]使得 cost dt=cosζx·x2.因為當x變動時，中值ζ也變動，所以ζ依賴于x，為表示這種依賴關系，這里用ζx表示中值，于是 = = （cosζx ）.注意到x→0時，x2→0，由夾逼定理知此時ζx→0，所以 cosζx= cosζx=1.由等價無窮小sinx～x，當x→0時，知 =1.最后利用乘積的極限法則，有 （ cosζx）= · cosζx=1.故 =1.

2.例2： .分析：這是屬于 型未定式。被積函數是屬于“積不出來”的類型，牛頓-萊布尼茲公式不能用，可以考慮利用洛必達法則或積分中值定理去積分號。法一：用變限積分求導和洛必達法則去積分號。 = ，由第一類重要極限、復合函數的連續性以及乘積的極限法則，可得 =- e · = .故 = .法二：用積分中值定理去積分號。由積分中值定理，可知至少存在一點ζx∈[cosx，1]，使得 e dt=e ·（cosx-1），所以 = ，注意到x→0時，cosx→1，由夾逼定理知此時ζx→1，所以 e = e = .由等價無窮小cosx-1～- x2，當x→0時，知 = =- e = .故 = .

3.例3： .分析：這是屬于 型未定式。被積函數也是屬于“積不出來”的類型，不能用牛頓-萊布尼茲公式，可以嘗試利用洛必達法則或者積分中值定理去積分號。法一：用變限積分求導和洛必達法則去積號。 = = ，再利用等價無窮小sinx～x，當x→0時，可得 =1.故 = .注：如果利用積分中值定理，會發現可以去掉積分號，但是仍然求不出極限。由積分中值定理，可知至少存在一點ζx∈[0，x2]，使得 sint2 dt=sinζ2x·x2.因此， = = .注意到x→0時，x2→0，由夾逼定理知此時ζx→0，所以 sinζ2x=0.上式的最右端仍然是 型未定式，但由于不知道ζx對x的依賴關系，也不清楚ζx→0的具體速度，導致極限 求不出來。

通過例1～例3，我們發現對于含變限積分的 型未定式，求解時第一步可以嘗試三條路徑去掉積分號，利用牛頓-萊布尼茲公式、洛必達法則或積分中值定理，然后再綜合運用各種求極限方法求解。對例1來說，三種方法均適用，例2只能用其中兩種方法，例3只能用其中一種方法。從例2和例3中，我們很容易看出牛頓-萊布尼茲公式和積分中值基金項目：本文作者受到“北京高等學校青年英才計劃項目（Beijing Higher Education Young Elite Teacher Project）”（No.YETP1593）資助。endprint