以錯誤為墊腳石,提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力

余靈楚

【摘要】錯誤的體驗對于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是非常必要的。數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)適時抓住錯誤，利用錯誤，辨析錯誤，改正錯誤是數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生批判性思維的重要途徑。以錯誤為墊腳石，是培養(yǎng)并提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的一個重要臺階。

【關(guān)鍵詞】錯誤墊腳石數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）04-0144-02

錯誤不受人喜歡，它似乎就是壞事。人們總是設(shè)法防止錯誤，回避錯誤，盡量減少錯誤的出現(xiàn)。但是，沒有錯誤的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是不可能的，錯誤之中隱含著正確。錯誤并非都是壞事，錯誤的體驗對于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是非常必要的。數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)適時抓住錯誤，利用錯誤（必要時甚至故意制造錯誤），努力將壞事變成好事。辨析錯誤，改正錯誤是數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生批判性思維的重要途徑。以錯誤為墊腳石，是培養(yǎng)并提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的一個重要臺階。結(jié)合自己的教學(xué)，試談幾點做法。

１．正誤并舉，制造認(rèn)知沖突

認(rèn)知沖突是學(xué)生加深思考，建構(gòu)新知的良機(jī)。有意識地制造認(rèn)知沖突，是激發(fā)學(xué)生求知欲望的的重要手段。當(dāng)錯誤比較隱蔽時，將錯誤與正確的認(rèn)識相對并舉常可以制造良好的認(rèn)知沖突。用正誤并舉引起的認(rèn)知沖突激發(fā)學(xué)生思考，通過認(rèn)知沖突的消解來建立新知，這比起單純的正面分析，常常能使學(xué)生對知識的理解更加深刻。

例如運(yùn)用基本不等式求最值，需要“正、定、等”的條件，為使學(xué)生深刻理解“定”和“等”的要求，不妨直接給一題：

題1：已知x＞0，求函數(shù)y=x■+■的最小值。

初次運(yùn)用不等式求最值，學(xué)生的做法正誤皆有，選擇典型的正誤解法，呈于眾前。

解法一：由于x＞0，y=x■+■≥2■=4■，當(dāng)且僅當(dāng)x■=■，即時x=2，等號成立，因此ymin=8。

解法二：由于x＞0，y=x■+■=x■+■+■≥3■=3■，因此ymin=3■。

解法三：由于x＞0，y=x■+■=x■■+■+■≥3■=6■，當(dāng)且僅當(dāng)x■=■，即x=■時，等號成立，因此ymin=6■。

正誤并列，答案各異，孰對孰錯，激起認(rèn)知沖突。學(xué)生急欲知其底里，卻苦于一時迷惑，求知之欲頓起。這時教師引導(dǎo)學(xué)生辨析正誤，分析錯因，錯誤便可成為正確認(rèn)識的基石。此題分析解法二的錯誤并不難，解法一的錯因更為隱蔽，簡單的數(shù)值比較“6■＜8”，似乎也能讓學(xué)生認(rèn)識到錯誤。但利用圖形（如圖）可以幫助學(xué)生得到更直觀而深刻的認(rèn)識，讓學(xué)生徹底，消解沖突，走出誤區(qū)。用幾何畫板作函數(shù)①y=x■+■和函數(shù)②y=4■的圖象，解法一的結(jié)果對應(yīng)兩曲線的切點B(2，8)的情況，而事實上函數(shù)①圖象的最低點為A(■，6■）。

２．改造錯題，培養(yǎng)批判精神

遇到錯題，可謂倒霉。習(xí)題多多，棄之亦可；事先改正，當(dāng)合情理，但有時錯題也可以利用，不妨引導(dǎo)學(xué)生對錯題進(jìn)行改造。通過多方思考，一可培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，二可培養(yǎng)學(xué)生的批判精神，倒霉事也能成為好事。

高一新生剛進(jìn)校不久，首次遇到一道沒有正確答案的選擇題，全班大多數(shù)同學(xué)大驚小怪，事過一年多，那情景卻記憶猶新。

題2：若■有意義，實數(shù)x的取值范圍是（）。

A.x|-2＜x＜■ B.x|-2≤x≤■ C. x|-■＜x＜2 D.x|-■≤x≤2

就是這樣一個尋常而低級的錯題，那么多學(xué)生顯得不知所措，實在引人思考。學(xué)生長期在封閉性的正確問題中走得太順利了，一旦遇上結(jié)論不正確或條件多余甚至不可解的問題便沒有主張。當(dāng)時有學(xué)生要我先予以改正再讓他們做，我因?qū)е唬骸百Y料上出現(xiàn)錯誤是常有的事，教科書上都難免有錯誤。老師也不知道這道題是打印錯誤還是命題有誤，改正錯誤可能不止一途，請大家討論一下，可如何改正？”于是，錯題變成了開放題。經(jīng)過引導(dǎo)思考，學(xué)生給出四種改正方案：①將選擇之B改為x|x≤-2，或x≥■；②將題干中的“有”改為“無”；③將題干中根式改為■；④將題干中根式改為■．后作評論，大家認(rèn)為方案②改動最少。

改造此題，乃一樁小事。打破學(xué)生對資料和書本的迷信，培養(yǎng)學(xué)生的批判精神卻是大事，自此之后，我要求學(xué)生刻意尋找資料上的錯誤，發(fā)現(xiàn)錯誤，予以表揚(yáng)．有意識地培養(yǎng)學(xué)生逢錯不驚，逢錯自辨，逢錯自改的良好品質(zhì)，努力養(yǎng)成其“逢兇化吉”的能力。

３．正視錯誤，培養(yǎng)嚴(yán)密思維

在日常教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生往往對結(jié)論、公式的理解不夠深刻,忽視其適用范圍，在一知半解時就去做題，常導(dǎo)致解題過程出現(xiàn)不嚴(yán)密現(xiàn)象，甚至以偏概全，遺漏特殊情況，從而表現(xiàn)出思維的不嚴(yán)密性。

題3： 設(shè)等比數(shù)列a■的前n項和為Sn，若S3+S6=2S9，求數(shù)列的公比q。

學(xué)生錯解：∵S3+S6=2S9，∴■+■=2·■

整理得q3（2q6-q3-1)=0

由q≠0得方程2q6-q3-1=0，∴（2q3+1)(q3-1)=0，∴q=-■或q=1。

在等比數(shù)列中，a1≠0是顯然的，但公比q可能為1，因此，在等比數(shù)列求和時若公比未明，學(xué)生極易犯上例錯誤,此時教師可引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯誤的本質(zhì)原因是對等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用范圍的忽視。故應(yīng)先討論公比q=1的情況，再在q≠1的情況下，對式子進(jìn)行整理變形。

若q=1，則有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1但a1≠0，即得S3+S6≠2S9與題設(shè)矛盾，故q≠1。又S3+S6=2S9?圯■+■=2·■?圯q3（2q6-q3-1)=0，即（2q3+1)(q3-1)=0，因為q≠1，所以q3-1≠0，所以2q3+1=0解得q=-■。

４．反思錯誤，培養(yǎng)調(diào)節(jié)能力

思路錯誤是學(xué)生解題受阻的常見原因，而陷入錯誤思路不能自拔往往是由于學(xué)生盲目做題，不善反思，不善進(jìn)行思維的自我反思的原因。

哪里跌到，就從哪里爬起，吃一塹，力求長一智，為讓學(xué)生在錯誤的思路前能自覺地反思與調(diào)節(jié)，應(yīng)教導(dǎo)他們在思路受阻時學(xué)會做波利亞式的自我提問：這個問題條件足夠嗎？（懷疑問題的可解性）我的障礙在哪里？我弄清題意了嗎？我是否遺漏了已知條件？我是否盯住了目標(biāo)？我的思路合理嗎？我是否見過類似的情形？……正確的解法往往是在錯誤思路的反思與調(diào)節(jié)中得到，教學(xué)中應(yīng)該展示這樣的全過程。

題4： 已知a，b∈R+，a+b=1求證：a+■b+■≥■

思路一：左邊＝ab+■+■+■≥2+2，受阻。

反思：有什么已知條件沒考慮？“a+b=1”！原不等式何時取等號？根據(jù)對稱性，應(yīng)是a=b=■時，而必須ab=■=1，這不可能，所以不成功，應(yīng)證ab+■≥■·■+■=■。

思路二：將“a+b=1”用起來。ab+■=ab+■=ab+■+■=ab+■■=ab+(■+■)+2≥ad+4，如有ad≥■便成，但ab≤（■）2=■，不等式異向，再次受阻。

反思：異向不等式無法傳遞，ab還應(yīng)與其倒數(shù)結(jié)合考慮。對ab+■直接運(yùn)用基本不等式不成功，是否可拆項或調(diào)整系數(shù)后再用？對照時a=b=■，應(yīng)有ab=■。

思路三：ab+■=（ab+■）+■≥2■+■≥■+■=■。

引導(dǎo)學(xué)生在錯誤的反思中養(yǎng)成強(qiáng)大的自我調(diào)節(jié)能力，則錯誤也就成為好事．此題還有其它各種思路與反思，比如運(yùn)用函數(shù)y=x+■在區(qū)間(0，1]上的單調(diào)性等，并可得出更多的證法，這里僅展示其一隅。

利用錯誤提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的做法還有許多,如讓學(xué)生將自己的錯解匯集成“錯題集”以提高復(fù)習(xí)效率；設(shè)立“錯在哪里”的班級專欄培養(yǎng)學(xué)生對錯誤的分析能力；讓學(xué)生相互批改作業(yè)培養(yǎng)其對錯誤的評判力等等，在此限于篇幅不再一一展開。

參考文獻(xiàn)：

[1]錢從新 《例說教學(xué)中的串點成線》 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊

[2]郭思樂喻緯 《數(shù)學(xué)思維教育論》 上海教育出版社

[3]鄭毓信 《數(shù)學(xué)方法論》 廣西教育出版社