考慮負載變化的機床傳動系統時變動特性研究

張會杰，劉海濤，張 俊，趙萬華

(西安交通大學 機械制造系統工程國家重點實驗室，西安 710054)

工件在加工過程中，由于材料去除率大(如航空薄壁件加工過程中，材料去除率能達到90%以上)，所以絲杠傳動系統的驅動負載變化也較大，而負載的大變化進而會引起絲杠傳動系統的動態特性變化，進一步決定了該進給軸的控制性能[1-2]，從而影響被加工件的加工質量[3-4]，所以有必要研究機床傳動系統的固有頻率和加速度振動響應隨負載變化的變化規律。

針對絲杠傳動系統的研究大都以集中參數法[5-6]、有限元法[7]或兩者相結合的方法[8-9]及其它方法[10-11]。學者[5-11]雖然對傳動系統建模及其動特性的研究有很大的貢獻，但都是基于靜態下的某個特定位置(如絲杠中間處)進行研究的，并沒有考慮負載變化對傳動系統動態性能的影響;而Brussel等[12]則將魯棒算法和滑模控制應用于考慮直線電機驅動工作臺的變質量系統中，但并沒有考慮直驅負載變化下該直驅系統動特性的變化規律；而文獻[13-15]采用有限元方法分析了質量空間分布變化下其系統動態性能的變化規律，但Zhou等[16]進一步理論分析了絲杠在自由狀態下隨不同負載的扭轉振動特性變化規律。然而，實際上絲杠是被固定(兩端固定或一定固定)在床身上，由電機通過聯軸器驅動(或直驅)絲杠旋轉，帶動工作臺往復運動，當負載變化較大時，其傳動系統的動態特性會發生演變。因此，有必要建立考慮負載變化和導軌滑塊副摩擦特性的機床傳動系統等效動力學模型，并進行動特性研究。

本文采用集中參數法建立了考慮負載變化和導軌滑塊副摩擦特性的傳動系統等效動力學模型，理論分析了傳動系統的等效阻尼系數，以及固有頻率、加速度振動響應隨負載變化的變化規律。最后以本實驗室RTLX660數控機床Y軸滾珠絲杠驅動工作臺傳動系統為例，進行了實驗驗證。

1 滾珠絲杠傳動系統動力學建模

1.1 絲杠傳動系統物理模型的等效

絲杠傳動系統的動態性能影響著被加工件的加工質量[1-2]，尤其傳動方向的動態性能，因此有必要研究傳動系統的動態特性。圖1是典型數控機床傳動系統結構及物理模型。主要由床身、工作臺、滾珠絲杠副、導軌滑塊副、電機、支撐軸承等主要部件構成。圖2、3分別是軸承安裝方式(成組布局)示意圖及系統等效動力學模型。本文主要考慮絲杠桿拉壓剛度、軸承副和絲杠螺母副的軸向接觸剛度，則忽略了固定結合部傳動方向的切向剛度及伺服剛度等非主導因素。

圖1 傳動系統結構及等效物理模型

圖1、3中：m(t)為絲杠傳動系統驅動負載的質量，fc為運動方向的摩擦力，x、L分別為絲杠螺母與左側支撐軸承之間的距離、整個絲杠的長度，Kls、Krs、Cls、Crs分別為螺母兩側絲杠桿的廣義軸向剛度與阻尼，Klb、Krb、Clb、Crb分別為左、右軸承的軸向接觸剛度與阻尼，Knut、Cnut是絲杠螺母副軸向接觸剛度與阻尼。

圖2 軸承安裝方式示意圖

圖3 傳動系統等效動力學模型

根據圖3中的等效動力學模型，建立了考慮負載變化和導軌滑塊副摩擦特性的傳動系統動力學方程，如下：

(1)

式(1)中：m-Δm(t)、c、ke分別為傳動系統傳動方向的負載(為被工件質量、工作臺質量、夾具質量、螺母底座等的總質量，單位kg)、粘性阻尼系數(Ns/m)、等效剛度(N/m)，而負載在大切除的加工過程中隨時間而變化；、分別為負載沿傳動方向的位移(m)、速度(m/s)、加速度(m/s2)矢量，Fsinωt為交變切削力，fc(m-Δm(t))為摩擦力(N)，是負載的函數，有如下表達式：

fc(m-Δm(t))=-μf×Q×Sgn(rtre)

(2)

式(2)中：m為初始負載，Δm(t)是負載的變化量，在機床加工過程中，負載變化量隨時間而變化；Q為導軌滑塊副內部所有滾子的壓力之和，Sgn(rtre)為符號函數，與滾動體的滾動趨勢有關，μf為干滾動摩擦系數，呈現為非線性變化，其中μf為

(3)

式(3)中：Qi為每個滾子的受力，E為彈性模量，μ為泊松比，R為滾子半徑。式(3)是根據參考文獻[17]進一步推導得出的。

1.2 等效阻尼系數確定

滾動導軌滑塊副阻尼的機理較為復雜，既有庫倫摩擦阻尼，又有粘性遲滯阻尼，還有滾動體之間相互碰撞的沖擊阻尼(無保持架導軌滑塊副)，當導軌滑塊副潤滑條件欠缺時或者處于干摩擦條件下，庫倫摩擦阻尼占主要部分，而本文則主要考慮庫倫摩擦阻尼。

等效阻尼系數的確定采用在一個振動周期內能量消耗相等的方法進行求得。假設該系統振動位移的穩態解為振幅為A的簡諧振動，形式如下：

y=Asin(ωt-φ)

(4)

式(4)中：A為振動幅值(單位m)、ω為振動的圓頻率(單位rad/s)、φ為初始相位，則系統振動速度穩態解為

(5)

設該系統的一個振動周期內，其運動結合部的庫倫摩擦力消耗的能量為

(6)

(7)

令E1=E2，有下式：

4Afc(m-Δm(t))=πceωA2?

?ce=4fc(m-Δm(t))/(πωA)

(8)

此時，式(1)可以簡化為：

(9)

1.3 理論分析

1.3.1 固有頻率

對于單自由度系統而言，其傳動方向的固有頻率可根據下面公式進行求得：

(10)

式(10)中：π為圓周率常數，等效剛度ke是由絲杠螺母副、軸承副的軸向接觸剛度與絲杠本身的拉壓扭轉剛度串、并聯構成(Kls與Krs串聯，Klb與Krb串聯，上述兩者并聯再與Knut串聯)，表達式如下：

(11)

從式(10)可以知：當傳動方向的等效剛度一定時，傳動方向的固有頻率由負載大小所決定，因此，在工件大切除率的情況下，必須要考慮固有頻率隨負載變化的變化規律。其中，等效剛度ke中的相關參數由下面公式求得：

(12)

(13)

(14)

式(12～14)中：x、L分別為絲杠螺母與左側支撐軸承之間的距離、整個絲杠的有效長度，d為絲杠的底徑，E、G分別為材料的彈性模量、切變模量，p為絲杠導程；Kh為赫茲接觸系數，M是絲杠預拉伸扭矩，TC是預拉伸扭矩系數，dST是絲杠預拉伸螺母的公稱內徑，α為軸承的接觸角，N為軸承的個數，n為單個軸承的滾子個數；P為雙螺母的預緊載荷，α滾球與滾道的接觸角，φ為絲杠的螺旋升角，ic為單螺母的承載列數，i為單螺母的承載圈數，d0為絲杠的公稱直徑，db為滾珠的直徑。

式(12)是根據螺母兩側絲杠的受力形式，即靠近電機一側Krs(x)不僅受拉壓作用，而又受扭轉作用，但另一側僅Kls(x)僅受拉壓作用，借助于桿理論和做功相等的原則，推導出螺母兩側絲杠桿的剛度計算公式；而式(13-14)分別是對角接觸球軸承、絲杠螺母副進行受力分析并利用赫茲接觸理論進行理論推導得出的其軸向剛度表達式。

1.3.2 傳動方向的加速度頻響

本文采用狀態空間法先求傳動方向的位移振動響應，之后再對位移求兩次導數便可得到進傳動的加速度振動響應。由于被加工件是連續切削的，故可將該系統認為是一個狀態連續時變系統，表達式如下：

(15)

式(15)中：A(Δmt)為系統矩陣、B(Δmt)輸入矩陣、C(Δmt)輸出矩陣、D(Δmt)前饋矩陣(若系統沒有直接從輸入到輸出的路徑，此矩陣為零矩陣)，x(t)為狀態矢量，y(t)為輸出矢量，u(t)為控制矢量，其中系統矩陣A(Δmt)是式(9)中系數[M]、[C]、[K]的函數，表達式如下：

(16)

式(16)中：[M]、[C]均是負載的函數，隨工件切除率不同而變化。

對式(15)進行拉普拉斯變換，進一步推導可得(推導過程中將A(Δmt)、B(Δmt)、C(Δmt)、D(Δmt)簡化為A、B、C、D)：

(17)

對式(17)中的X(s)進行拉普拉斯反變換，可得：

(18)

式(18)中：第一項為初始狀態下的響應，第二項為力函數作用下的響應。將上式對t求兩次導數，可得：

(19)

將式(15)中的y(t)求兩次導數(假設D(t)=0)，并將式(19)代入，可得傳動系統的加速度振動響應：

(20)

式(20)中：A、B、C分別為A(Δmt)、B(Δmt)、C(Δmt)，當初始條件x(0)=0，上式可以簡化為：

(21)

2 數值分析與實驗驗證

2.1 數值分析

以RTLX660數控機床Y軸滾珠絲杠傳動工作臺系統為例，當工作臺以靜止狀態處于絲杠中間時，理論分析了該傳動系統動特性隨負載變化的變化規律，并進行了實驗驗證。

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將該機床的數據代入相關公式進行計算，得到動力學方程(9)中的質量、阻尼與剛度系數。對該方程進行特征根求解，便可得到傳動系統的固有頻率的變化規律，如圖4所示；圖5則是等效阻尼系數隨不同負載的變化規律；根據等效阻尼系數，采用狀態空間法求解傳動方向的加速度振動響應的變化規律，如圖8(a)中的“仿真值(m=216 kg)”、“仿真值(m=256 kg)”、“仿真值(m=296 kg)”所示。

圖4 固有頻率隨負載不同的變化規律

圖5 等效阻尼系數隨負載不同的變化規律

2.2 實驗驗證

本文利用LMS Test.Lab振動噪聲測試與分析軟件中的結構分析模態測試模塊，采用Impact錘擊法對RTLX660數控機床Y軸滾珠絲杠傳動工作臺系統進行測試，測試示意圖如圖6所示。

本實驗將約為40 kg重的虎鉗固定在工作臺中間，在虎鉗上夾持約為40 kg重的鐵塊(虎鉗和鐵塊均視作負載)，并忽略上述固定結合部影響。在工作臺的上表面對角處粘貼上三向加速度傳感器，用來拾取在“敲擊點”處施加沿正Y方向脈沖信號之后的工作臺加速度振動響應信號，被測數據通過傅里葉變換處理之后得到的結果，將用來驗證所建立動力學模型的準確性。圖7是不同負載下工作臺傳動方向的加速度振動響應的測試結果。

圖6 滾珠絲杠傳動系統測試圖

3 分析與討論

3.1 負載變化對固有頻率的影響

圖4工作臺固定在x/L=0.5處時其傳動系統固有頻率的變化規律，從圖中可知：負載的變化量由0 kg變為60 kg時，其固有頻率變化了11～12 Hz左右(變化幅度為12%左右)。因為該固有頻率由傳動方向的傳動剛度和質量共同所決定，因此，當傳動剛度一定時，負載變化對傳動系統的固有頻率起決定作用。

在切削過程中，材料的去除率是連續變化的，但為驗證理論分析的正確性，只需針對幾個特定的質量進行驗證即可，因此，本文根據實際情況選擇了三種負載質量，如：296 kg、256 kg、216 kg，進行了實驗驗證。表1則列出了進給系統工作臺在x/L=0.5時，不同負載下傳動系統固有頻率的數值分析值與實驗值。

從表1可知：當負載為216 kg時，固有頻率的分析值與實驗值的誤差范圍為11～12%；當負載為256 kg時，固有頻率的分析值與實驗值的誤差范圍為7～8%；當負載為296 kg時，固有頻率的分析值與實驗值的誤差范圍為6～7%。上述產生誤差的原因是計算傳動方向等效剛度時，忽略了軸承支撐座、電機座和螺母座固定結合部傳動方向的切向剛度及伺服剛度等非主導因素，而負載為296 kg時的誤差之所以比負載為216 kg時的誤差小，是因為該誤差不僅與上述等效剛度計算有關，還與對負載的靈敏度有關。

表1 頻率隨工件質量變化的演變規律(Hz)

3.2 負載變化對加速度振動響應的影響

通過模態分析和討論得到傳動方向的振動特性不僅與傳動系統的傳動剛度有關，還與傳動系統的質量有關。由式(8)可知：等效阻尼系數與傳動系統的驅動負載大小有關。

圖8是不同負載下傳動方向的加速度振動響應。圖8(b)的實驗值是對圖7中不同負載下的實測數據，采用模態分解法進行分析而得到的。表2則列出了對應頻率處的最大響應幅值。

表2 加速度響應幅值隨工件質量變化的演變規律(Hz)

從圖8可知：實驗分析驗證了數值分析的正確性，即傳動方向的加速度振動響應隨負載不同會發生偏移，且數值分析值與實驗值具有相同的趨勢。

由表2可知：有的加速度振動幅值誤差較大，主要是傳動方向的阻尼系數存在不確定性或者隨機性。

圖7 不同負載下工作臺的加速度振動響應

圖8 不同負載下傳動方向的加速度振動響應

從圖8也可知：當系統負載變化時，傳動方向的固有頻率會逐漸偏移，當該頻率在加工過程中被激起，傳動方向將會有比較大的加速度振動幅值，將導致刀具受損、或顫振、或失穩，進一步降低加工質量。

綜上所述，負載變化影響著傳動系統的動態性能，尤其是在負載變化較大時(即被加工件處于大切除率時)，該動態特性的變化(稱為“時變特性”)就不能忽略。該動態特性的變化規律能為機床切削加工參數提供理論依據。

4 結 論

本文建立了考慮負載變化的傳動系統動力學集中參數模型，進行了動態特性的理論研究，并進行了相應的實驗驗證。理論分析和實驗分析都表明負載變化影響著傳動系統的動態性能，即傳動系統在被加工件處于大切除率時存在時變特性。

(1)傳動系統的等效阻尼系數隨不同負載呈現出非線性變化，當負載的變化量由0kg變為80kg時，等效阻尼系數變化了18%左右；

(2)傳動系統的固有頻率隨不同負載也呈現出非線性變化，當負載的變化量由0kg變為60kg時，固有頻率變化了12%左右；

(3)傳動系統的加速度振動響應也隨負載不同而發生演變，當負載的變化量由0kg變為40kg 、80kg時，固有頻率處的加速度振動幅值分別變化了19%、36%。

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