總體最小二乘正則化算法的載荷識別

張 磊，曹躍云，楊自春，何元安

(1.海軍工程大學 動力工程學院，武漢 430033；2.中國船舶工業集團公司 船舶系統工程部，北京 100036)

機械設備作用在支撐結構上的激勵力，作為結構的動載荷。在結構動力響應計算、動態設計、故障分析及振動傳遞路徑分析等領域，它都是需要預先掌握的能反映設備特性的重要參數。激振力可以通過力傳感器直接測量，但因為力傳感器尺寸和安裝條件會受到限制，而且嵌入力傳感器必將改變原有系統的動力特性，測量結果常出現偏差[1]。

因載荷直接測量有困難，載荷識別方法受到了重視并有大量成果出現[2]。載荷識別是已知系統響應和系統特性求激勵特性的問題，是動力學第二類反問題。由于結構的模態特性，載荷反演問題中結構矩陣求逆的過程往往是病態的，該病態問題的恰當處理是載荷識別成功的關鍵，國內外許多學者對此做了許多有意義的工作。Thite等[3-4]提出逆矩陣法來識別工作載荷，利用最小二乘的正則化方法(Tikhonov正則化和奇異值截斷方法)解決頻率響應矩陣存在的病態問題，并討論正則化參數選取(L曲線法、OCV法、GCV法)對載荷識別結果的影響。毛玉明[5]通過精細計算法建立精確的動態載荷識別問題反演模型，并引入正則化技術尋求一穩定近似解。姜菊萍等[6]利用多項式加速迭代法的正則化方法來解決振源重構中的不適定性。

上述最小二乘(Least Squares，LS)正則化方法在載荷識別時僅考慮振動響應誤差的影響，當振動響應和傳遞函數矩陣同時受誤差影響時，此類方法的載荷識別結果將含有較大誤差，這時總體最小二乘(Total Least Squares，TLS)正則化算法將是一個最佳的選擇。Liu 等[7]提出截斷TLS正則化算法實現載荷識別，該算法既能考慮結構響應的誤差也能反應頻響函數矩陣的誤差，載荷識別效果好。但其難以準確確定截斷閾值，且容易截掉可靠的信息，導致解的分辨率下降。近些年，對TLS問題的研究逐漸深入和廣泛。盡管TLS正則化算法在處理病態問題時存在一定的不足，但學者們[7-10]通過實例驗證了當系數矩陣存在誤差時，其解的精度要大大優于LS正則化算法。可見，非常有必要對TLS正則化算法進行改進，克服在實際應用中存在的不足，提高其處理病態問題的有效性和魯棒性。筆者將圍繞迭代TLS正則化算法在載荷識別中的應用展開深入研究。

1 最小二乘法的載荷識別

若一線性時不變結構，有激勵F1，F2，…Fm，時，存在響應b1，b2，…，bn，由系統的運動方程可得[7]

bn=Hn×mFm

(1)

式中:Hn×m為傳遞函數矩陣(頻率響應函數矩陣)，Fn為路徑載荷的頻域力列向量，bm為頻域參考點響應信號的列向量。

(2)

2 CG-TLS正則化算法的載荷識別

載荷識別時，由于結構的模態特性以及響應測點選取等問題，傳遞函數矩陣中包含的結構信息存在很大的相似性，導致各列之間復共線性強，傳遞函數矩陣為病態。無論是直接逆矩陣法估算激勵力還是最小二乘估計激勵力，都無法避免病態矩陣所帶來的計算誤差。本節將在TLS的基礎上進行Tikhonov正則化，構造出目標函數，然后利用共軛梯度(Conjunction Gradation，CG)法求解該目標函數的最優化問題。建立一種能同時考慮振動響應點和傳遞函數矩陣受誤差影響且速度快、精度高、魯棒性好的CG-TLS正則化算法，最終實現載荷識別。

2.1 TLS正則化算法

總體最小二乘問題的準則為

(3)

滿足b0=H0x，x代表式(1)中的激勵力F。當H0=H時，不考慮系數矩陣的誤差，此時TLS準則等效于LS準則。

將式(3)進行Tikhonov正則化，得到以下的目標函數

(4)

式中:E為系數矩陣的誤差，r為觀測向量的誤差。λ為正則化參數，決定著解分辨率和光滑性這對不可調和的矛盾能否達到最佳折衷，同樣掌握著病態問題求解過程成功與否的命運。矩陣Li為正則化矩陣，一般為帶狀行滿秩矩陣，經典定義為單位矩陣，也可表示為權值的對角矩陣或者差分運算[11]。

構造拉格朗日目標函數

(5)

(6)

(7)

(H+E)x=b+r

(8)

將式(7)代入式(6)有:

E=-rxH

(9)

結合式(9)和式(8)可推出:

將r和E帶入目標函數式(4)，得到新的目標函數為:

(10)

依據上式，f(x)的一階導數為

g(x)=f(x)=

(11)

可見，式(10)為無約束的最優化問題，但該函數的凹凸性未知。Beck等[9]提出信賴域方法求解此最優問題。Lampe[10]首先建立了高斯-牛頓迭代法進行該最優化問題的求解，但需滿足函數f(x)二階導數為正定，此假設一般情況不易滿足。為提高算法的求解速度，文獻[12]利用正交投影法，建立基于Krylov子空間的迭代TLS算法。上述方法不同程度上存在數值性能表現不佳、算法繁瑣，且在每步迭代時需要的存貯量和計算量較大，也不易達到全局收斂等不足。

2.2 CG-TLS正則化算法

共軛梯度法[13]在處理此類優化問題時因其算法簡便、所需存儲量小、收斂速度快等特點而受許多研究人員所關注，各種各樣的非線性共軛梯度法如雨后春筍般的不斷涌現。但現存的方法大都存在一些不足，如數值穩定性不佳，全局收斂的條件苛刻等。本節引入一種能解決非凸目標函數，在特定線性搜索條件下易全局收斂的魯棒性好的非線性共軛梯度法。

為使算法能較迅速地收斂到最優解，利用重新開始技術[16]改進共軛梯度法，改進思想為：若迭代到距離最優點比較近時，重新取搜索方向為負梯度方向，隨后的幾次迭代將產生近似的共軛方向，從而提高算法的效率。一般在實際應用中每迭代l或l+1次，就重新設定搜索方向為負梯度方向，得到l步重新開始的共軛梯度法。優化問題式(10)求解程序如下

程序1：

Step0 給定迭代精度0<ε?1(取ε=10-6)和初始點x0，計算g0=f(x0)，令k∶=0。

Step 2計算搜索方向dk：

Step 5 令k∶=k+1，轉向步驟Step1。

2.3 正則化參數和正則化矩陣選取

3 仿真驗證

為檢驗第2節中提出的CG-TLS正則化算法在處理載荷識別不適定問題中的實際效果。通過ansys仿真一鋼質平板在四個激勵力作用下的響應，據此進行載荷識別算法驗證。仿真的優勢在于精確激勵力為已知，且可以更靈活、全面地進行算法的評估。

仿真鋼質矩形板尺寸為600 mm×500 mm×6 mm，密度為7 800 kg/m3，泊松比為0.3，阻尼系數為0.1，受四個垂直鋼板的激勵力作用，有限元模型如圖1所示，隨機布置10個響應點(包含動載荷信息較為豐富的測點，且振動響應不雷同的測點)。仿真中，動載荷F1，F2，F3，F4為整個頻帶內的單位激勵，激勵頻率范圍為10～1 000 Hz。經計算得到鋼質板的前十階模態為(14.146 Hz，28.281 Hz，31.872 Hz，38.522 Hz，67.279 Hz，73.629 Hz，76.154 Hz，97.613 Hz，121.660 Hz，126.820 Hz)。對每個激勵點單獨激勵，經10次平均，依據激勵力和響應點的加速度響應，計算得到傳遞函數矩陣Hn×m，n為響應點的數目，m為激勵力的數目。傳遞函數矩陣Hn×m的病態與否直接影響載荷識別的效果，一般情況下，由于結構的模態效應，響應點之間具有一定的相關性。尤其在低頻時，響應由單個模態或較少模態疊加而成，相關性更強。這使得Hn×m包含的結構信息存在很大的相似性，將直接導致傳遞函數矩陣病態，低頻段病態性更嚴重。為減輕Hn×m的病態性，通常選擇n>m，但經分析表明n>m并不一定能避免Hn×m病態，若選擇不當反而會放大矩陣的病態性。

為了有效避免矩陣Hn×m病態，需首先診斷矩陣的病態性，利用條件數法和特征值分析法進行病態性的診斷[17]。不同響應點組成的Hn×m其矩陣的條件數和特征值不同，從10個備選響應點中選擇4個最佳響應點組成Hn×m(最佳響應點即在整個頻率范圍內條件數均較小，且特征值分布適宜)，進而得到具有較輕病態性的Hn×m。即使如此，某些頻率點處對應的Hn×m矩陣仍為病態矩陣，對其進行求逆會出現不穩定，又由于觀測噪聲不可避免，將導致載荷識別精度變差，結果不可信。正則化算法作為一種解決此類不適定問題的有力工具，本節將討論基于LS的Tikhonov算法[4]、TTLS算法[7]、CG-TLS正則化算法在載荷識別中的適用性。

圖1 有限元模型

表1 激勵力偏差范數結果表

圖2 條件數比較圖

圖3 噪聲N1時計算激勵力F1的1/3倍頻程圖

圖4 噪聲N1時計算激勵力F3的1/3倍頻程圖

圖5 噪聲N2時計算激勵力F1的1/3倍頻程圖

圖6 噪聲N2時計算激勵力F3的1/3倍頻程圖

圖7 L曲線圖

保持加速度響應噪聲水平σb不變，將傳遞函數矩陣的噪聲水平提高到N2，計算得到圖5、圖6為F1和F3激勵力的三分之一倍頻程圖。可見，隨著傳遞函數矩陣噪聲水平的提高，Tikhonov正則化算法計算結果急劇變差，而TLS正則化算法對噪聲的考慮較全面，載荷識別精度高于前者。在某些頻點處，TTLS算法反而精度不高，可能由于處理矩陣維數較小，易截掉有價值的信息，而且奇異值的逐漸下降分布導致截斷閾值難以準確確定。CG-TLS算法受噪聲水平和頻響函數矩陣奇異性的影響最小，計算精度高于以上兩種算法，表2給出了同樣的結論。因此，CG-TLS算法在進行載荷識別時具有較好的有效性和魯棒性。

表2 激勵力偏差范數結果表

4 試驗驗證

本節引入某雙層圓柱殼體的振動激勵-響應試驗，進一步檢驗CG-TLS正則化算法在載荷識別中的有效性。試驗細節祥見文獻[18]，試驗存在三個激勵源，在內殼體上合理布置若干振動加速度計。選擇激勵工況為1#、2#、3#激振器分別單獨開啟和同時開啟，且均發射連續的正弦信號，頻率為3 kHz，功率輸出均為92 vpp。在進行傳遞函數矩陣估計時，采用多次激勵，做了6次平均來盡量減少噪聲信號的污染。

為準確求取工作載荷，需首先選取恰當的振動響應點組成較為良態的傳遞函數矩陣，依據第3節中指出的條件數和特征值分布診斷方法，確定最佳的響應點組合為振動傳感器(2，6，8，10)(具體位置見文獻[18]中的圖3)。計算傳遞函數矩陣的條件數，在3 kHz時矩陣的條件數為3.716×104，存在嚴重病態。在該頻點處，利用正則化算法提高載荷識別的精度，CG-TLS算法的迭代初始值選為(0，0，0)，L曲線法確定正則化參數如圖7所示。各種正則化算法的計算結果見表3，表中用激勵力估計值與其真值的差值范數衡量算法的計算精度。結果表明：經正則化算法修正的載荷識別精度有顯著的提高，因試驗中隨機噪聲和測量誤差不可避免，使得傳遞函數矩陣和振動加速度響應的觀測項存在誤差波動，CG-TLS正則化算法可以有效地減輕此類誤差波動對載荷識別的影響，在保持計算效率的同時提高了載荷識別的精度。CG-TLS正則化算法計算值與真值的誤差可能源于：數據處理伴隨的數值計算誤差；頻域處理時的加窗截斷導致頻率泄露，從而降低了解的分辨率；利用離散數據的傅里葉變換結果始終不如連續傅里葉變換的結果好。

表3 激勵力的計算結果表

5 結 論

載荷識別的間接法，是動力學的第二類反問題，實際操作過程中常出現求解不適定問題，且主要表現在病態矩陣求逆的不穩定性。為克服上述問題，結合共軛梯度法建立的CG-TLS正則化算法，具有算法簡便、所需存儲量小、收斂性能好等優點，且能同時考慮傳遞函數矩陣和振動響應受噪聲影響，更符合載荷識別的實際情況。

仿真結果表明結構模態特性(尤其低頻情況)以及響應點的組合形式是導致傳遞函數矩陣病態的根源,依據條件數和特征值分布優選響應點組合，能減輕傳遞函數矩陣的病態性的影響，進而提高載荷識別的精度。正則化條件下，載荷識別的性能優于直接計算法，CG-TLS正則化算法與真實值吻合非常好，優于Tikhonov正則化、TTLS算法，并且具有較低的噪聲靈敏度和對迭代初始值不敏感性等優點。振動激勵-響應試驗進一步肯定了以上結果，并指出可能產生誤差的原因為數值計算誤差，頻率泄露或離散數據傅里葉變換。綜上，CG-TLS正則化算法能夠減輕誤差波動對載荷識別精度的影響，在提高效率和抗噪能力的同時保證了載荷識別的精度。

[1]原春暉.機械設備振動源特性測試方法研究[D].武漢：華中科技大學，2006.

[2]Mohammed H F，Mohd J M，Ahmad K A，et al.Inverse combustion force estimation based on response measurements outside the combustion chamber and signal processing[J].Mechanical Systems and Signal Processing，2009，23: 2519-2537.

[3]Thite A N，Thompson D J.The quantification of structure-borne transmission paths by inverse methods.Part 1: Improved singular value rejection methods[J].Journal of Sound and Vibration，2003(264): 411-431.

[4]Choi H G，Thite A N，Thompson D J.Comparison of methods for parameter selection in Tikhonov regularization with application to inverse force determination[J].Journal of Sound and Vibration，2007(304): 894-917.

[5]毛玉明.動載荷反演問題時域分析理論方法和試驗研究[D].大連：大連理工大學，2010.

[6]姜菊萍，姜哲.利用迭代正則化法重構振動聲源[J].噪聲與振動控制，2006,26(5)：34-36.

JIANG Ju-ping，JIANG Zhe.Vibrating resources reconstruction using iterative regularization[J].Noise and Vibration Control，2006,26(5)：34-36.

[7]Liu Y，Steve W，Shepard J.Dynamic force identification based on enhanced least squares and total least-squares schemes in the frequency domain[J].Journal of Sound and Vibration，2005(282): 37-60.

[8]Maziar S，Hossein Z.Computational experiments on the tikhonov regularization of the total least squares problem[J].Computer Science Journal of Moldova，2009，17(1): 14-25.

[9]Bech A，Ben-Tal A.On the solution of the tikhonov regularization of the total least squares problem[J].SIAM Journal Optimal，2006，17: 98-118.

[10]Lampe J.Solving regularized total least squares problems based on eigenproblems[D].Hamburg: Hamburg University of Technology，2010.

[11]Wang Y M，Liang G B，Pan Z D.Inverse of particle size distribution from light-scattering date using a modified regularization algorithm [J].Particuology，2010，8: 365-371.

[12]Lampe J，Voss H.Large-scale tikhonov regularization of total least squares[J].Journal of Computational and Applied Mathematics，2013，238: 95-108.

[13]戴彧虹，袁亞湘.非線性共軛梯度法[M].上海：上海科學技術出版社，1994：1-27.

[14]魏志強，張愿章.復共軛梯度法的結構[J].哈爾濱理工大學學報，2012，17(4): 122-126.

WEI Zhi-qiang，ZHANG Yuan-zhang.Structure of the complex conjugate gradient method[J].Journal of Harbin University of Science and Technology，2012，17(4): 122-126.

[15]Liu H L.A family of nonlinear conjugate gradient methods with a global convergence property[J].International Journal of Number Methods and Applications，2009，2: 81-87.

[16]解可新，韓健，林友聯.最優化方法[M].天津：天津大學，1998：22-24，110-120.

[17]盧秀山.Ⅱ類病態系統分析理論及其應用研究[D].青島：山東科技大學，2006.

[18]張磊，曹躍云，楊自春，等.雙層圓柱殼體水下振動噪聲結構傳遞路徑分析[J].振動與沖擊，2012，31(20)：12-16.

ZHANG Lei，CAO Yue-yun，YANG Zi-chun，et al.Structural transfer path analysis for vibration and noise of a submerged cylindrical double-shell[J].Journal of Vibration and Shock，2012，31(20)：12-16.