具有焊接殘余應(yīng)力的矩形薄板固有頻率計算方法研究

高永毅，唐 果，萬 文

(湖南科技大學(xué),1.物理與電子科學(xué)學(xué)院 2.數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院3、能源與安全工程學(xué)院,湖南 湘潭 411201)

殘余應(yīng)力問題是目前國內(nèi)外機(jī)械制造、加工工程研究領(lǐng)域的重點(diǎn)研究問題之一,已有不少關(guān)于殘余應(yīng)力研究的文獻(xiàn)資料；其研究主要是在殘余應(yīng)力的試驗測定[1]、評估與評價[2]、數(shù)值模擬[3]、有限元分析[4]和消除方法[5]等方面,而從理論上討論殘余應(yīng)力對構(gòu)件固有參數(shù)影響的文獻(xiàn)還很少見到。本文作者在文獻(xiàn)[6]中以軸焊縫存在殘余應(yīng)力的矩形薄板為例,建立其殘余應(yīng)力的數(shù)學(xué)模型；疊加矩形薄板各階振型函數(shù)構(gòu)成其位移模式,獲得以振型函數(shù)疊加系數(shù)表示的存在殘余應(yīng)力時四邊簡支矩形薄板固有頻率一種計算方法；該方法計算麻煩,反應(yīng)問題不直觀,很難在實際中應(yīng)用。所以本文將仍以對接焊接殘余應(yīng)力為研究對象,研究一種簡單、方便和實用的具有對接焊接殘余應(yīng)力的矩形薄板固有頻率計算方法；并在該方法的基礎(chǔ)上分析討論焊接殘余應(yīng)力對矩形薄板固有頻率的影響。本文的研究將對殘余應(yīng)力的評估和判斷以及振動時效的研究有很大的幫助。

1 具有焊接殘余應(yīng)力矩形簿板的振動微分方程

圖1 矩形薄板

討論如圖1所示的邊長為a,b的等厚矩形薄板。假設(shè)有沿x軸的焊縫；因此有殘余應(yīng)力分布在板內(nèi)。該殘余應(yīng)力的分布,由參考文獻(xiàn)[7]測出。參考文獻(xiàn)[6]在參考文獻(xiàn)[7]的基礎(chǔ)上,建立了該殘余應(yīng)力的數(shù)學(xué)模型為

(1)

式中：F,G為幅值；σx表示平行于x軸,即平行接合方向的殘余應(yīng)力；σy表示垂直于x軸,即垂直于接合方向的殘余應(yīng)力。

根據(jù)文獻(xiàn)[8],薄板振動微分方程為

(2)

當(dāng)板彎曲時在板內(nèi)與x軸平行和垂直的殘余應(yīng)力有z方向的分量,參考文獻(xiàn)[6]得出了殘余應(yīng)力在z方向所產(chǎn)生的單位面積力q為

(3)

將式(3)代入式(2)得考慮殘余應(yīng)力影響的振動微分方程為

(4)

式(4)為具有焊接殘余應(yīng)力矩形簿板的振動微分方程。

2 具有焊接殘余應(yīng)力矩形簿板固有頻率的計算方法

2.1 計算方法

設(shè)圖1所示的矩形簿板四邊為簡支邊,其邊界條件為

(5)

因此,取滿足邊界條件的位移模式為[4-5]：

w(x,y,t)=T(t)W(x,y)

(6)

其中：

(7)

由Galerkin原理有：

(8)

將式(3)、(6)、(7)代入式(8)積分可得：

(9)

式(9)為具有焊接殘余應(yīng)力矩形簿板的自由振動方程。

由式(9)可得振型函數(shù)(7)所對應(yīng)的固有頻率為

(10)

在彈性力學(xué)中已得出沒有殘余應(yīng)力時四邊簡支矩形薄板的振型函數(shù)為

(11)

對應(yīng)的固有頻率公式為

(12)

將式(7)和式(11)、式(10)和式(12)比較可知,式(7)是具有焊接殘余應(yīng)力矩形簿板的第一階振型函數(shù),式(10)是m=1,n=1所對應(yīng)的第一階固有頻率。由于式(11)給出的各階振型函數(shù)都滿足式(5)給出的邊界條件,所以分別取式(11)對應(yīng)的各階振型函數(shù)為式(7),并將式(3)、(6)、(7)代入式(8)積分可得各階振型函數(shù)所對應(yīng)的具有焊接殘余應(yīng)力矩形簿板的自由振動方程和固有頻率,例如：當(dāng)m=2,n=1時,對應(yīng)的式(7)為

(13)

將式(3)、(6)、(13)代入式(8)積分可得：

(14)

式(14)是當(dāng)振型函數(shù)為式(13)時,具有焊接殘余應(yīng)力矩形簿板的自由振動方程。

由式(14)可得振型函數(shù)式(13)所對應(yīng)的固有頻率為

(15)

當(dāng)m=1,n=3時,對應(yīng)的式(7)為

(16)

將式(3)、(6)、(16)代入式(8)積分可得：

(17)

式(17)是當(dāng)振型函數(shù)為式(16)時,具有焊接殘余應(yīng)力矩形簿板的自由振動方程。

由式(17)可得振型函數(shù)式(16)所對應(yīng)的固有頻率為

(18)

以此類推可以得出具有焊接殘余應(yīng)力矩形簿板的各階固有頻率。由此得出了具有焊接殘余應(yīng)力矩形簿板的固有頻率計算方法,即：分別取沒有殘余應(yīng)力時矩形薄板的各階振型函數(shù)構(gòu)成其位移模式,然后利用Galerkin原理獲得各階振型函數(shù)所對應(yīng)的具有焊接殘余應(yīng)力矩形簿板的自由振動方程,最后得出其固有頻率。

2.2 焊接殘余應(yīng)力對矩形簿板固有頻率的影響分析

將式(10)、(15)和(18)與式(12)比較可知焊接殘余應(yīng)力對矩形簿板m=1,n=1對應(yīng)的第一階固有頻率的影響部分為

(19)

與m=2,n=1對應(yīng)的固有頻率的影響部分為：

(20)

與m=1,n=3對應(yīng)的固有頻率的影響部分為：

(21)

取與參考文獻(xiàn)(6)相同的參數(shù)a=b=1 m，h=0.004 m，E=200×109N/m2，ρ=7.7×103kg/m3，μ=0.3,F=39.2×106N/m2，G=19.6×106N/m2。利用式(12)可以計算出沒有殘余應(yīng)力影響時矩形簿板各階固有頻率；利用式(10)、(15)、(18)有殘余應(yīng)力影響時矩形簿板各階固有頻率；具體計算結(jié)果見表1。

表1 矩形薄板(1 000 mm×1 000 mm×4 mm)理論計算結(jié)果

將表1的計算結(jié)果與參考文獻(xiàn)(6)的計算和實驗結(jié)果比較,其結(jié)果基本一致,所體現(xiàn)出的規(guī)律也是一致的,從而驗證了本文提出的具有焊接殘余應(yīng)力的矩形簿板固有頻率計算方法是正確的。

3 結(jié) 論

通過對式(19)、(20)和(21)以及表1的理論計算結(jié)果的分析可得出如下結(jié)論:

(1)得出了計算具有對接焊接殘余應(yīng)力的矩形薄板固有頻率的簡單實用的方法。

(2)與無焊接殘余應(yīng)力矩形簿板比較,具有焊接殘余應(yīng)力矩形簿板的各階固有頻率都可能增加,其對應(yīng)的幅頻特性曲線將發(fā)生右移。

(3)殘余應(yīng)力越大,矩形簿板固有頻率變化越大。

(4)階數(shù)m、n越高,矩形簿板固有頻率受殘余應(yīng)力影響越大。

(5)在相同殘余應(yīng)力的條件下,材料密度越大的矩形簿板固有頻率受殘余應(yīng)力的影響越小。

(6)在相同殘余應(yīng)力和材料不變的條件下,尺寸a、b越大的矩形簿板固有頻率受殘余應(yīng)力的影響越小。

由所得出的結(jié)論(1)、(2)可知,當(dāng)消除殘余應(yīng)力后,矩形簿板固有頻率將減少,其幅頻特性曲線將發(fā)生左移；這就是為什么在振動時效后,判斷是否有效果必須看固有頻率是否左移的原因。

[1]劉川,莊棟.基于輪廓法測試焊接件內(nèi)部殘余應(yīng)力[J].機(jī)械工程學(xué)報,2012,48(8)：54-59.

LIU Chuan,ZHUANG Dong.Internal welding residual stress measurement based on contour method[J].Journal of Mechanical Engineering,2012,48(8)：54-59.

[2]張亦良,石顯,趙建平,等.基于新型回火焊道的焊接殘余應(yīng)力評價[J].焊接學(xué)報,2012,33(7)：50-53.

ZHANG Yi-liang,SHI Xian,ZHAO Jian-ping,et al.Evaluation of weld-pass process on eliminating weld residual stress[J].Transactions of The China Welding Institution，2012,33(7)：50-53.

[3]趙秋,吳沖.U肋加勁板焊接殘余應(yīng)力數(shù)值模擬分析[J].工程力學(xué),2012,29(8)：262-268.

ZHAO Qiu，WU Chong.Numerical analysis of welding residual stress of U-RIB stiffened plate[J].Engineering Mechanics，2012,29(8)：262-268.

[4]Dean D，Hidekazu,Murakawa． Prediction of welding distortion and residual stress in a thin plate butt-welded Joint[J]．Compuational Materials Scienee,2008( 43):353-365．

[5]Alfredsson K S，Josefson B L．Harmonies response of a spot welded box beam-influence of welding residual stresses and deformations[J]．Proc.IUTAM Symposium on the Mechanical Effects of Welding.Lulea,Sweden,June,1991: 1-8．

[6]高永毅,蘇志霄,焦群英,等.殘余應(yīng)力對構(gòu)件固有頻率影響的討論[J].機(jī)械強(qiáng)度,2002,24(2)：289-292.

GAO Yong-yi,SU Zhi-xiao，JIAO Qun-ying，et al.Influence on the natural frequency of component with residual stress[J].Journal of Mechanical Strength，2002,24(2):289-292.

[7][日]米谷茂著,朱荊璞,邵會孟,譯.殘余應(yīng)力的產(chǎn)生和對策[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,1983：252-254.

[8]曹志遠(yuǎn).板殼振動理論[M].北京:中國鐵道出版社,1989:195-100.

[9]王盛春,鄧兆祥,王攀,等.四邊簡支條件下正交各向異性蜂窩夾層板的固有特性分析[J].振動與沖擊,2012,31(9):73-77.

WANG Sheng-chun,DENG Zhao-xiang,WANG Pan,et al.Connatural characteristics analysis of rectangular orthotropic honeycomb sandwich panels with all edges simply supported[J].Journal of Vibration and Shock,2012,31(9):73-77.