臨界接觸參數連續的粗糙表面法向接觸剛度彈塑性分形模型

王南山，張學良，蘭國生，溫淑花，陳永會，劉麗琴，牛作證

(太原科技大學 機械工程學院,太原 030024)

由零件、組件、部件之間相互聯接的粗糙接觸表面即為結合面,機器或機械結構大量存在著各種各樣的結合面。結合面屬于“柔性結合”,其既存儲能量又消耗能量,表現出既有彈性又有阻尼,即存在接觸剛度和接觸阻尼[1]。結合面的接觸剛度常常是機械結構整體剛度的重要組成部分,有時甚至成為整體剛度的薄弱環節；對于行業重要設備機床而言,其結合面的接觸剛度約占機床總剛度的60%～80%,對不同的機床,這個比例的具體值也不盡相同[1-2]。

粗糙表面形貌對結合面接觸剛度有重要的影響,而結合面的接觸剛度在機械結構靜動態特性中(占顯著地位[3]。接觸界面的存在導致組合結構局部剛度降低,直接影響結構的機械性能。為準確進行組合結構的動力分析,必須獲得粗糙表面的接觸剛度[4]。接觸剛度的確定是許多工程結構在振動分析中常遇到的問題,如拉桿轉子各葉輪輪盤間的接觸剛度[5],機床導軌與工作臺之間的接觸剛度等[6]。在對裝配體進行模態分析時,裝配體接觸面間的法向接觸剛度對計算結果具有很大影響[7]。

文獻[1,3-11]對粗糙表面的接觸剛度的進行了相應的研究,但主要基于彈性和塑性變形機制下進行的。文獻[12-18]對粗糙表面的接觸機制進行了相關研究,并且均指出把結合面的接觸機制考慮為單一的完全彈性或完全塑性變形以及同時考慮彈性和塑性變形的情況時均存在著一定的缺陷,結合面的接觸需要經歷彈性、彈塑性、塑性變形的三種變形機制,但并未給出臨界點處接觸參數連續的彈塑性分形接觸剛度模型。本文基于接觸分形理論及其修正模型,改善接觸臨界點處接觸參數不連續情況,建立了計及微接觸面積分布的域擴展因子影響的結合面法向接觸剛度彈塑性分形模型。數值仿真揭示了彈塑性過渡變形機制及相關參數對結合面法向接觸剛度的影響。

1 結合面接觸理論建模

1.1 接觸變形機制

結合面是由兩個粗糙表面接觸形成,兩粗糙表面的接觸實質為分布于兩接觸表面上的微凸體間的相互作用；通常將兩粗糙表面的接觸簡化為一粗糙表面和一剛性平面的接觸,對于粗糙表面的單個微凸體,將其等效為半球體,其等效曲率半徑為R,如圖1(a)所示。當在法向預加載荷p作用下,接觸區域半徑為r,法向變形為δ,如圖1(b)所示。

1.1.1 完全彈性變形機制

當微凸體的變形在彈性范圍內時,即根據赫茲接觸理論,單個微凸體法向接觸載荷[9,18-19]

(1)

1.1.2 完全塑性變形機制

當微凸體法向變形量進入完全塑性變形范圍,即δ≥76.4δc時[20](δc為微凸體由完全彈性變形進入彈塑性過渡變形階段的臨界變形量),微凸體將處于完全塑性變形機制,此時接觸載荷可表示為[18]

pp=2HπRδ

(2)

而從完全彈性變形進入彈塑性過渡變形階段的的臨界變形量δc為[13,18]:

(3)

式中：H為軟材料的硬度(H=2.8Y,Y為軟材料的屈服強度),K為硬度系數,其值與軟材料的泊松比有關，K=0.454+0.41ν。

1.1.3 彈塑性過渡變形機制

當微凸體的變形量位于δc≤δ≤76.4δc范圍時,即處于彈塑性過渡變形階段；此階段的接觸載荷為[20]

(4)

1.2 彈塑性接觸參數的分形模型

實際工程表面并非理想的平面,其上總是分布著無數的微凸體,所有微凸體相互作用的接觸面積之和為結合面的真實接觸面積,真實接觸面積往往遠小于名義接觸面積。為了能夠更準確地表達結合面最大微接觸點的實際接觸面積al與粗糙表面的真實接觸面積Ar之比al/Ar,Wang等[21]在MB分形模型基礎上引入了微接觸點大小分布域擴展因子ψ,給出了微接觸截面積為a′的接觸點大小的分布函數為

(5)

圖2 當量粗糙表面1與理想剛性表面2的接觸

根據文獻[10-11、21]微凸體頂端的變形量δ、微凸體的曲率半徑R分別可表示為:

(6)

(7)

式中:G為分形粗糙度參數;γ為大于1的常數,對于服從正態分布的隨機表面,γ=1.5較符合高頻密度和相位隨機的情況。

由式(3)、式(6)、式(7)可得

(8)

1.2.1 接觸面積

結合面的真實接觸面積應為完全彈性真實接觸面積、完全塑性真實接觸面積、彈塑性真實接觸面之和,即為

(9)

將式(5)代入式(9)有

(10)

1.2.2 接觸載荷

整個結合面上的法向接觸載荷應為完全彈性接觸載荷、塑性接觸載荷、彈塑性接觸載荷之和。

結合面上完全彈性接觸載荷可表達為

(11)

將式(1)、(5)～(7)代入式(11)可得：

(12)

同理可得：

結合面上完全塑性接觸載荷為

(13)

結合面上彈塑性接觸載荷為

(14)

則整個結合面上的法向接觸載荷可表示為

P=Pp+Pep+Pe

(15)

將式(12)～(14)代入式(15),則當1

(D≠1.5)

(16)

(D=1.5)

(17)

根據彈性接觸點的實際接觸面積a與截斷面積a′之間的關系[17]

a′=2a

(18)

可以得出如下關系

(19)

(20)

將式(19)、(20)分別代入式(16)、(17),并對(16)、(17)進行無量綱化處理,則有

(D≠1.5)

(21)

(D=1.5)

(22)

2 結合面法向接觸剛度彈塑性分形模型

當結合面上的微凸體法向變形量δ≥76.4δc時,將處于完全塑性變形范圍,即當接觸機制處于彈性和彈塑性階段時存在法向接觸剛度。

對于單個微凸體,根據文獻[23]可得：

完全彈性階段的法向接觸剛度

(23)

彈塑性階段的法向接觸剛度

(24)

將式(7)、(8)代入式(24)則有

(25)

則整個結合面的法向接觸剛度為

(26)

將式(9)、(23)、(25)代入式(26)則有

(27)

將式(27)無量綱化處理

(28)

式中：

至此,建立了臨界接觸參數連續條件下的法向剛度彈塑性的分形模型；由(21)、(22)、(28)可以看出,數學模型表明了無量綱法向接觸剛度、結合面分形參數以及結合面材料特性參數之間的復雜非線性關系。

3 結合面法向接觸剛度彈塑性分形模型數值仿真

3.1 數值仿真

圖3 無量綱法向接觸剛度隨無量綱法向接觸總載荷P*的變化規律以及分形維數D對無量綱法向接觸剛度的影響(G*=1.0E-10,φ=1.5)

圖4 分形粗糙度G*對無量綱法向接觸剛度的影響(φ=1.5)

圖5 塑性指數φ對無量綱法向接觸剛度的影響(G*=1.0E-10)

3.2 仿真結果分析

(2)結合圖3(a)、(b)可以看出,當分形維數D=1.1～1.5時,無量綱法向接觸剛度隨著分形維數D的增大而增大；而當分形維數D=1.5～1.9時,無量綱法向接觸剛度隨著分形維數D的增大而減小,這一點與文獻[3、10]結果有所差異,主要原因在于彈塑性過渡變形機制的引入。

(3)根據圖3(a)、(b)無量綱法向接觸剛度隨無量綱法向接觸總載荷的變化情況以及分形維數對于無量綱法向接觸剛度的影響,分別選取兩代表性的分形維數取值D=1.3、1.7,并對無量綱分形粗糙度G*和塑性指數φ對無量綱法向接觸剛度的影響進行了仿真分析。無量綱法向接觸剛度隨著分形粗糙度G*的增大而減小,如圖4(a)、(b)所示；無量綱法向接觸剛度隨著塑性指數G*的增大而增大,如圖5(a)、(b)所示；這與文獻文獻[3、10]結果一致。

4 結 論

(1)建立了臨界接觸參數連續條件下計及微接觸面積分布域擴展因子影響的結合面法向接觸剛度彈塑性分形模型。

(2)數據仿真表明彈塑性過渡變形機制對法向接觸剛度影響明顯；且彈塑性過渡變形機制下的法向接觸剛度大于僅考慮彈性和塑性接觸機制下對應的法向接觸剛度,這將有助于得到精確的機械結構接觸剛度模型,從而提高動力學分析的準確性,對機械結構的靜動態特性進行更為準確的分析。

(3)無量綱法向接觸剛度隨著無量綱法向接觸載荷的增大而增大且因分形維數取值不同而呈凸弧性的非線性關系或近似線性關系,隨著分形維數增大而增大(分形維數D=1.1～1.5)或者減小(分形維數D=1.5～1.9)；隨著分形粗糙度的增大而減小；隨著塑性指數的增大而增大。

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