基于顆粒阻尼的旋轉平板葉片結構動力學特性研究

夏兆旺，溫華兵，劉獻棟

(1.江蘇科技大學 能源與動力工程學院，江蘇 鎮江 212003；2.北京航空航天大學 交通科學與工程學院，北京 100191)

顆粒阻尼是一種被動形式阻尼，是在結構內部適當位置加工出一系列孔腔，也可以是附加在振動結構上的獨立腔體，在這些腔體中填入一定數量的顆?；蛘叻勰┎牧?，顆粒常為碳化鎢、陶瓷、鐵、鉛等金屬材料，其形狀可以是球形、橢球形或者不規則形狀[1-2]。當結構發生振動時，通過結構孔壁與顆粒的接觸、碰撞將其部分動能傳遞給顆粒，顆粒在振動結構的孔腔中運動，進而顆粒間、顆粒與結構孔壁間發生摩擦和碰撞，這些摩擦與碰撞作用將導致能量損耗，振動結構的振動能量降低，振動幅值減小，從而達到增大系統阻尼的目的[3]。顆粒阻尼技術具有強非線性，其數值仿真技術具有挑戰性。

顆粒阻尼技術已被廣泛研究，其起源于沖擊阻尼技術[4]。Panossian等[5-6]對微顆粒阻尼進行了大量研究，研究結果表明：顆粒阻尼減振效果顯著，在不同種類的顆粒阻尼技術中顆粒密度越大，效果越好。之后他們將顆粒阻尼用于鋁質梁減振以及高頻大振幅的航天飛機主發動機進口分流葉片上，施加顆粒阻尼后的最大振幅大幅度降低，取得了明顯的減振效果。但對顆粒阻尼的減振機理研究不夠深入。

研究表明顆粒阻尼技術是極端惡劣環境下結構減振的合適選擇，如飛機發動機葉片。近幾十年，研究者廣泛研究了顆粒阻尼技術在航天主發動機液氧噴口、航空天線和運動設備等領域的減振作用[7-9]。但目前，還未見顆粒阻尼技術應用于旋轉結構減振的理論研究報道。

為了研究顆粒阻尼技術在葉片結構減振上應用的可行性，同時便于計算，本文將分析顆粒阻尼技術在平板葉片結構減振上的應用研究。數值仿真研究能加深對顆粒阻尼減振復雜機理的理解，也能降低顆粒阻尼技術應用的設計成本。本文將研究基于離散元和有限元耦合算法的帶顆粒阻尼的旋轉平板葉片結構動力學模型，分析不同參數對顆粒阻尼減振效果的影響規律。

1 耦合仿真算法

本文針對帶顆粒阻尼器的平板葉片結構,將擅長計算復雜連續結構的有限元法與擅長計算離散顆粒運動的離散元法結合起來，提出了基于有限元—離散元的耦合仿真算法。應用DMAP語言對工程有限元軟件NASTRAN進行二次開發，通過MATLAB將有限元法與離散元法進行耦合。

圖1 仿真算法流程圖

帶顆粒阻尼器旋轉結構的振動特性計算流程如圖1所示，主要通過MATLAB調用相應的有限元和離散元計算結果進行循環計算，其整個流程分為：①建立帶顆粒阻尼器結構的有限元模型，并根據顆粒大小、相對速度及顆粒阻尼器孔腔尺寸，通過MATLAB隨機生成各個顆粒的初始位置，并設置顆粒初始速度為零。 ②利用有限元軟件NASTRAN計算結構在激振力作用下的響應，提取結構相應有限元節點的位移、速度、加速度等信息。其中，提取結構上合適位置的加速度用于研究結構振動特性；提取孔腔周圍各點的位移和速度用于計算孔腔與顆粒間的接觸力。③通過MATLAB調用孔腔周圍各點的位移和速度，根據位移關系判斷顆粒與孔腔間是否接觸。若接觸，即根據疊合量和相對速度求出顆粒間的接觸力，計算一個步長內各個顆粒在接觸力作用下的位移、速度，更新各個顆粒的位移和速度，并計算結構的孔壁各個位置受到顆粒的接觸力。④通過MATLAB將接觸力賦予NASTRAN軟件計算程序，計算結構在激振力和接觸力共同作用下一個步長的響應，并提取相應點的位移、速度、加速度等信息。⑤根據計算時間判斷循環是否結束。如果結束,輸出結構相應點的加速度，一般需計算在激振力作用下十個以上周期響應，否則繼續循環執行第③，④，⑤步驟，直到程序結束。

1.1 接觸力學模型

圖2 顆粒接觸模型

離散元法可以模擬運動在顆粒集合中傳播的過程。顆粒運動必然會導致顆粒之間的相互碰撞，顆粒之間也必然有接觸力產生。球狀顆粒間產生接觸力的條件是兩球心之間的距離小于兩球半徑之和。兩球狀顆粒接觸時的相對運動有三種：在連心線方向上的法向運動；在兩接觸面的相對切向運動；兩球的相對轉動。本文在計算顆粒間的接觸力時，只考慮法向和切向接觸力，并分別采用不同的接觸力學模型計算，因為顆粒接觸面積很小，由兩球球心方向相對轉動引起的力矩可忽略不計。顆粒單元之間的接觸可以簡化為彈簧-阻尼器-滑塊模型，如圖2所示。彈簧代表單元的彈性，阻尼器代表單元的粘性，用滑塊來表示單元之間的摩擦。

赫茲公式只適用于無摩擦的彈性接觸，所以，它只能對顆粒接觸的法向應力進行計算。赫茲黏彈性模型表示的法向作用力為

(1)

式中:kn為法向剛度系數，cn為法向阻尼系數，δn為疊合量。

如果法向位移恒定，法向力和接觸面半徑都將保持不變，則切向力隨實際的切向位移而變。但法向位移與切向位移往往同時發生變化，此時可以通過切向的位移增量與接觸力增量間的關系得到切向力，其粘彈性力學模型為

Fs(t)=Fns(t-Δt)+ksvsΔt+csvs

(2)

切向力還需滿足庫侖定律，即:

(3)

式中:ks為切向剛度系數，vs為切向速度，cs為切向阻尼系數。Fs(t)為t時刻接觸兩體間的切向作用力；Fns(t-Δt)為t-Δt時刻接觸兩體間的切向作用力；Δt為計算時間步長；ks為接觸兩體的切向剛度系數，可由經驗或實驗確定，也可由下式計算

帶顆粒阻尼器結構在旋轉運動時，顆粒除了受到顆粒間及顆粒與孔腔間的接觸力外，還受到離心力作用。其離心力的大小為

P=mω2r

(4)

其中:m為顆粒的質量；ω為結構的轉速；r為顆粒的離心半徑。

1.2 顆粒接觸時步

在計算中，時步必須取得很小，以保證在一個時步內每個顆粒的動量只能傳播給其臨近的顆粒，以及顆粒加速度是近似恒定的。實際中，通常根據瑞利波的傳播特性確定時步。根據瑞利波沿著顆粒表面的傳播速度得到臨界時間步長為

(5)

式中:G為剪切模量，ρ為顆粒密度，γ為泊松比，Rmin為顆粒最小半徑。

根據瑞利波確定的時步一般能滿足數值仿真收斂的要求。對于顆粒之間相對速度很大的情況，當與一個顆粒接觸的顆粒數大于等于4時，此時這個顆粒的接觸時間取公式中的20%較為合適；當與一個顆粒接觸的顆粒數小于4時，此時這個顆粒的接觸時間取公式中的40%較為合適。事實上，盡管很多學者對合理時步的選取做了大量工作，但由于時步的選取與很多因素有關，因此在實際計算時還應結合實際情況通過試算來確定。

1.3 顆粒運動方程

離散元法的原理和計算過程是根據單元間力的相互作用和牛頓運動定律，采用動態松弛法進行循環迭代計算，在每一個時步都更新單元的位置，并遍及整個單元集合。通過對系統中每個單元的微觀運動過程進行跟蹤研究，考慮每個單元對結構系統的作用力，即可得到整個系統的宏觀運動規律。對于球形單元在任意坐標軸、任意時刻t，考慮每一單元受力作用后產生的平動和轉動。由牛頓第二定律得到

(6)

式中:xi(t)為平動位移、∑F(t)為合力,mi為質量，∑M(t)為合力矩，θi(t)為角位移，Ii為轉動慣量。

由中心差分法可得t+Δt/2時刻顆粒的速度和加速度

(7)

(8)

這樣，經過Δt后單元i就移動到一個新的位置，并產生新的接觸力和接觸力矩，計算其所受的合力∑F(t+Δt/2)和合力矩∑M(t+Δt/2)后返回式(8)計算，重復這一過程，即可得到每個單元以及整個顆粒群體的運動特性。

2 旋轉平板葉片結構減振仿真結果

平板葉片結構選擇密度為78 000 kg/m3的鑄鋼，其尺寸為250 mm×60 mm×4 mm。顆粒之間及顆粒與平板葉片結構之間的彈性恢復系數都為0.78，顆粒選擇直徑為2 mm的鋼球和20目碳化鎢兩種材料。

通過模態實驗確定懸臂平板葉片結構的打孔位置。平板葉片結構的前三階模態振型如圖3所示，模態振型顯示了平板葉片結構的最大和最小位移的位置。為研究顆粒阻尼器的孔腔布置方式和減振效果之間的關系，顆粒阻尼器的孔腔布置方式選擇如圖4所示。

圖3 懸臂平板葉片結構模態圖

平板葉片結構布置3個孔腔，正弦激振力的幅值為0.8 N，激振力的頻率范圍分別選擇為30～60 Hz/300～365 Hz/460～550 Hz以覆蓋前三階模態頻率，平板葉片的旋轉速度分別選擇0 r/min和1 000 r/min，激振力位置如圖5所示。顆粒填充率分別為0%(無顆粒)和70%。圖5～7顯示了旋轉平板葉片自由端的響應均方根值與激振力頻率之間的關系及不同填充顆粒對減振效果的影響。結果表明：本文提出的方法用于計算帶顆粒阻尼的旋轉板結構響應是可行的。

圖4 旋轉平板葉片結構的孔腔布置方式

圖5 旋轉速度對平板葉片結構一階響應的影響

圖6 旋轉速度對平板葉片結構二階響應的影響

圖7 旋轉速度對平板葉片結構三階響應的影響

圖8 豎向各組打孔位置示意圖

下面仿真分析平板葉片在旋轉狀態下帶顆粒阻尼器的減振效果。為研究孔洞位置對振動特性的影響，孔洞位置分豎向打孔和橫向打孔兩種情況，豎向打孔又分三組位置——A組、B組、C組,如圖8所示。豎向A組的位置：中間孔腔軸線與固定端的距離為220 mm；豎向B、C組的位置分別是：中間孔腔底部與固定端的距離分別為120 mm和60 mm。無論橫向還是豎向打孔，每組都是打3個孔。各種布置的顆粒阻尼器填充率均為70%，填充顆粒為2 mm鋼球，正弦激振力幅值為0.8 N。旋轉平板葉片的固有頻率隨轉速改變而改變，本文激振力的頻率分別為各轉速下的第一階、第二階、第三階固有頻率，旋轉葉片在激振力作用下的響應曲線分別如圖9～圖11所示。

從圖9～圖11可以看出：平板葉片一、二階響應在轉速較低時較小，但隨著轉速的增加而增加，當轉速達到一定值時,轉速對響應的影響趨于穩定，其原因是：在轉速低時顆粒受到的離心力小，顆粒發生積聚后彼此之間壓力還小、約束小，顆粒從孔壁獲得動能尚能在聚積的顆粒堆中運動、并與其它顆粒碰撞、摩擦，使得更多顆粒運動起來通過碰撞、摩擦消耗掉動能。然而隨著轉速的提高，由于離心力變大使得顆粒之間的壓緊力增加，顆粒之間的約束也增加，與孔壁直接接觸的顆粒獲得的動能減少，顆粒之間的碰撞和動能的傳遞減少，相對運動的顆粒減少，因此在耗能機制中碰撞耗能大幅減少，同時相對運動的顆粒數量減少，摩擦消耗也減少，故此表現出的阻尼減少，振動響應變大；在轉速達到一定值時，顆粒在較大離心力作用下聚積在一起，顆粒的約束大，顆粒之間幾乎無碰撞，顆粒與旋轉平板葉片的相對速度接近零，只能依靠結構在外界激勵下發生彈性變形處顆粒間的相對運動和摩擦消耗能量，此時消耗的能量受轉速影響很小，由于顆粒之間摩擦耗能大于結構內耗能，因此仍表現出一定的阻尼效果。此外，還可從圖中看出，平板葉片的第三階響應曲線隨轉速的增加先減小后增加，然后趨于平穩，其原因是葉片在三階共振時系統的能量主要依靠顆粒及顆粒與孔壁間的摩擦消耗掉，隨著轉速由零逐漸增大，離心力使顆粒間的相互作用力增加，顆粒之間的摩擦作用更加明顯，但隨著轉速的進一步加大，巨大的離心力使得顆粒間的相互運動很小，系統的能量消耗也隨之降低。

圖9 平板葉片旋轉狀態下響應與轉速的關系(一階)

圖10 平板葉片旋轉狀態下響應與轉速的關系(二階)

圖11 平板葉片旋轉狀態下響應與轉速的關系(三階)

從圖9～圖11還可看出，各種不同形式的顆粒阻尼器布置對各階振動的抑制規律基本一致，即在轉速較低時抑制效果好，隨著轉速提高抑制效果迅速減弱，在轉速達到一定值時，抑制效果趨于穩定，基本不隨轉速提高而改變，但在各種轉速下抑制效果有所不同，總體來說橫向布置顆粒阻尼器的減振效果相對較好。

3 結 論

本文針對帶顆粒阻尼器的旋轉平板葉片結構提出了基于離散元和有限元的耦合仿真算法。仿真結果表明：①所提出的耦合仿真算法在很寬的頻帶范圍內都是可行的；②帶顆粒阻尼器的旋轉平板葉片結構的減振效果受平板葉片的轉速影響很大，帶顆粒阻尼器的旋轉平板葉片結構的第一、二階振動響應隨轉速的提高而增加，即阻尼作用有所降低。第三階振動響應先降低，在轉速為600 r/min時達到最低，然后振動響應隨轉速提高迅速增加，在轉速達到1 000 r/min后趨于平穩。

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